广东省梅州市梅北中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

广东省梅州市梅北中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中A>0,）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（

）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

参考答案：A2.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（)

参考答案：C略3.已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．【解答】解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．4.已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：B曲线右焦点为F，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=

故选B

5.定义在上的函数满足，当时，，则时，的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知tanx=2，则1+2sin2x=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．

【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据tanx=2，利用同角三角函数的商数关系算出cosx=sinx，代入sin2x+cos2x=1解出sin2x=，由此即可得出1+2sin2x的值．【解答】解：∵tanx=2，∴=2，得cosx=sinx．又∵sin2x+cos2x=1，∴sin2x+（sinx）2=1，得sin2x=1，解得sin2x=．由此可得1+2sin2x=1+2×=．故选：D【点评】本题给出x的正切之值，求1+2sin2x的值，着重考查了同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．7.已知，则sinθ﹣cosθ的值为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件求得2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C程序运行过程中，各变量的值如下表示：

是否继续循环

i

S

循环前

1

0

第一圈

是

2-1

第二圈

是

3

3第三圈

是

4-6第四圈

是

5

10第五圈

否故最后输出的S值为109.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①参考答案：A10.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题正确的是(

)A．若，，则

B．若，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为4，则输出的y值为．参考答案：2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出y=的值，根据x的取值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由于x=4＞1，可得：y=log24=2，则输出的y值为2．故答案为：2．12.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．参考答案：2【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意画出图形并求出角A的值，根据正弦、余弦定理分别列出方程，化简后求出边AC、AB，由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：如图：设AB=c、AC=b，且BD=DC=，∵AD⊥AB，∠CAD=30°，∴AD2=7﹣c2，∠BAC=120°，在△ABC中，由正弦定理得，∴sinB===，在RT△ABD中，sinB===，∴AC=b=，在△ADC中，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC，则7=7﹣c2+﹣2×××，化简得，c2=4，则c=2，代入b=得，b=4，∴△ABC的面积S===2，故答案为：2．【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，考查了方程思想，以及化简、计算能力，属于中档题．13.函数的部分图像如图，则=

。参考答案：14.复数（其中是虚数单位）的虚部为 .参考答案：15.已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（0＜X≤1）=0.3，则P（X≥2）=

．参考答案：0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于X=1称，根据曲线的对称性得到P（X≥2）=P（X≤0）=0.5﹣P（0＜X≤1），根据概率的性质得到结果．解答： 解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于X=1对称，∴P（X≥2）=P（X≤0）=0.5﹣P（0＜X≤1）=0.2故答案为：0.2．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．16.设圆C位于抛物线与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为

▲

.参考答案：-117.平面向量，则向量在向量方向上的投影为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.(1）当，且有最小值2时，求的值；(2）当时，有恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1），

又在单调递增，

当，解得

当，

解得（舍去）

所以

(2），即

，，，，，依题意有

而函数

因为，，所以.19.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（2）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）减函数极小值增函数所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），因为g′（a）=＞0，所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．…20.已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由，得.经检验，当时取到极小值，故.（Ⅱ）由，即对任意恒成立.（1）当时，有；（2）当时，得令，得；若，则；若，则.得在上递增，在上递减。故的最大值为所以综合（1）（2）得21.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．参考答案：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．解答：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．点评：本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行