浅谈小学数学空间与图形教学

对空间与图形的认识和教学体会《全日制义务教育数学课程标准》（修改稿）指出“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。下面是我在教学中对小学数学中空间与图形的理解和一些体会。一、空间与图形的教学意义空间与图形主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，它们是人们认识和描述生活空间、进行交流的重要工具，在小学阶段，其主要内容包括图形的认识、测量、图形与变换和图形与位置等。这些内容的教学对学生的发展具有重要的意义。(一)是学生进一步学习的必要基础。首先，小学阶段学习的空间与图形知识是学生在中学进一步学习平面几何、立体几何和解析几何的基础，如在小学学习的圆柱、圆锥、球等基本知识，就是学生在中学进一步学习立体图形必不可少的基础。其次，学生在小学空间与图形学习中所经历的观察、操作、想象、交流、推理等活动，将为他们在中学进一步学习空间与图形提供重要的策略。(二)有利于空间观念和形象思维的发展。空间与图形教学的一项重要任务就是促进学生空间观念的形成和发展。在空间与图形的学习中，学生要经历生活经验的回忆、观察与操作、想象与表达等活动，这些活动有利于学生关于物体和图形表象的建立，因此空间与图形的学习特别是其中的观察、操作、想象等活动是发展学生空间观念的主要途径。例如，在认识长方体的教学中，教师引导学生用一个萝卜先切一刀，认识面；然后垂直于这一面再切一刀，认识两面相交所形成的棱；最后垂直这条棱再切一刀，认识三条棱相交所形成的顶点。这样利用操作和观察活动，学生能逐步建立起三维空间的表象，进而形成体的空间观念。在分析和思考的基础上才能获得面、棱、顶点等概念，这个过程的本身又是一个促进学生形象思维能力发展的活动过程。二、空间与图形的教学内容1.图形的认识1．结合实例了解线段、射线和直线。2．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。3．知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。4．结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系。5．通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。6．认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是1800。7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。8.能辨认从不同方向(前而、侧面后面)看到的物体的形状图。9．通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。2.测量1．能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画300，450，600，900角。2.探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。3．认识面积单位：千米2、公顷。4．通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式。5．会用方格纸估计不规则图形的面积。6．通过实例了解体积(包括容积)的意义及度量单位，能进行单位之间的换算，感受1米2、1厘米2以及1升、1毫升的实际意义。7．结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。8．探索某些实物(如土豆等)体积的测量方法。3.图形的运动1．通过观察、操作等，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。2．通过观察实例，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，能在方格纸上将简单图形旋转900。3．能利用方格纸等按一定比例将简单图形放大或缩小。4．欣赏生活中的图案，运用平移、旋转和轴对称在方格纸上设计简单的图案。4.图形与位置1．了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。2．能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。3．会描述简单的路线图。4.在具体情境中，能在方格纸上用数对表示位置，知道数对(限于正整数)与方格纸上点的对应。三、空间与图形的教学体会现在课程强调要着眼于学生空间观念的培养和生成，增加了空间与图形教学的内容。面对这一领域的变化，如何更科学地实施教学，真正达到课标所提出的要求，我始终以学习与思考拓展认识视野，以把握和理解新教材为依托，以案例为突破口，取得了一些进展，收获了一点体会。1.拓展了认识视野只有在观念和思想上有更深入的认识，才能使行动更科学和自觉，也才能居高临下地去辨别实践中的得失、正误。学生在初中学习数轴、平面几何，高中学习立体几何、解析几何等数学内容，非常重要的基础在小学。这些高一级知识，不仅要求学生有一种基础性的几何知识，更是要有清晰的空间观念。例如平面几何中的添辅助线，非常重要的要有一种对图形的切拼构造能力和图形的对称、旋转和平移的几何变换能力。学生要学习和掌握这些复杂的几何知识，需要丰富的空间观念。这种能力一方面当然主要是在学习这些知识的过程中生成的，但另一方面也要依赖于学生在小学阶段的空间与图形的经验、感觉的积累，如果在少儿阶段不积累这些空间感觉和经验，到后来这种感觉就失去了，到要用这种感觉时就困难了。就像施那普拉在离任中国足球队主教练时对中国足球发展的建言中提到的那样：中国足球队员缺少踢球感觉，这些感觉本应在少儿时期于街道、弄堂里就要完成的，而现在要到专业训练时再来寻找，这就困难了。没有这种类似于直觉的引领，球队水平就很难提高，也就是没有练好“童子功”。其实所有的学习都是如此，空间与图形也不例外。2.推动了学习思考。我对空间与图形的教学的理解，不象对问题解决教学的理解那么系统。促使我们比较多地自觉或不自觉地进行着比较，并且在比较过程中去辨析、实践与反思，由此逐步形成了一些共识。（1）空间观念是各方面整体协调的结果。空间观念是对现实中的物体和图形的形状、大小、位置关系及其变换的整体把握。从现实中的物体和图形出发，就会涉及把现实空间中的经验迁移到图形空间中，以此把握几何空间，再用在几何空间中抽象而成的特征、性质来解释现实空间、解决现实空间中的问题，在这样抽象、还原的过程中空间观念才能建立。从几何体与平面图形之间的关系出发，就会涉及到平面从几何体上剥离下来的；如何剥离，就又涉及到视图，从各个不同的方向观察。从方向与位置出发，就会涉及到距离和角度，涉及到前后左右上下、东南西北以及关于垂直与水平方向组成的座标；会涉及到有关变换，平移、旋转与对称，以及这些变换过程中的变化部分与不变部分等等，由此就形成了一条知识链。只有以上这些都能够协调起来，而且各方面之间有一种内在的逻辑联系，由此组合成一个整体，空间观念才能真正得以确立。（2）儿童空间观念的形成有其特定的认知特点。我国的心理学家刘范、张增杰等通过研究得出一些有启示性的结论。其中对儿童几何发展的路径作出了分析，“儿童是先认识一个笼统的三维空间、整体，再分别认识其中的二维、一维空间，或者部分；在已获得了有关概念时，再理解在构成上部分到整体，由一维到二维、三维的关系。后者是前者在高一级认知水平上的逆转”；对感知与概念、感知与推理之间的矛盾作了分析，其本质是“守恒”，提出了概念守恒与多样的两个属性，并由此联系到变式问题等等。只有理解与把握了这些，我们才能更好地组织小学空间与图形的教学，才能使教学走上科学化的道路。3.促进了对教材的理解。教材是结合教学现实，按照学生的心理特点而创造。它是一个全息系统，蕴含着空间与图形教学的所有信息，我在学习和实践中逐步形成了这样几个方面认识。（1）整体推进，线索清晰。教材的整体框架是依据空间与图形的四个方面有序地展开，整体上是螺旋式上升，让学生对几何事实和空间观念有一个逐步深入的过程。围绕两条大的线索：一条是以图形的空间关系研究为线索，主要是研究空间的三个方面：（1）现实空间和几何空间之间的关系。几何空间源于现实空间，是现实空间的抽象，同时在几何空间中获得的认识只有再回到现实中去进一步认识、把握现实空间，才能使抽象空间与现实空间融为一体，推动学生空间观念的生成。（2）体与体、面与面、线与线之间的关系。它们之间的关系就产生了位置、方位与变换，就产生了平行、垂直与角，就有各种不同的拼搭与组合。由此内化成关于空间的若干结构，这是空间观念。（3）体与面、面与线、体与线之间的关系，这些关系的形成依赖于视线与投影、分解与分析、想象与推理，在这些关系的探求就会有三维、二维和一维图形之间的相互转化，这种转化越多、越灵活，空间观念的生成就越迅速与牢固。另一条是以数量关系研究为线索，也主要体现在三个方面：（1）用一维长度研究图形中线段的长短，图形之间的距离；（2）用二维面积来把握图形的大小；（3）用三维体积来研究图形占据空间的多少。以上两条线索不是分离的，而是融合的。（2）综合渗透教材在编写中非常注重综合与渗透。例如在低年级的认识基本的规则图形时，是从长、正方形出发，再通过把长、正方形分割成若干三角形，再由这些三角形通过拼搭形成平行四边形和梯形，这样的设计既渗透了面积守恒的观念，又渗透了拼搭中相等边的理解，这些拼配对以后学习对称、旋转、图形面积的推导都是一个基础。还有在认识三角形，特别是等腰等边三角形时，让学生用一张正方形纸折出一个等边三角形，这不仅是一种实际操作，更可引发学生的平面逻辑推理，而且这种推理还相当重要，要用到图形对称、正方形的特征和边与边的互换。综合产生集聚效应，生成突变；渗透能使认识达到透彻和深入。这样的设计安排，就有可能使学生生成的知识是“一个带钩的原子”，由此形成坚固的知识结构，产生组合质变。4.提升了对经验的总结。围绕空间与图形领域的教学内容，我们进行了有主题、有实践、有反思的案例研究，通过课堂这个充满创造的教学领域，获得了一些认识。（1）空间与图形的学习应该在活动中建构。例如在教学三角形“任意两边之和大于第三边”这条原理时，分两个层次教学：先是让学生从五根小棒中任意抓三根围一围，让学生直观感知到有些是可以围成的，有些是围不成的，同时使学生产生一种空间直觉，当两条较短的边合起来小于最长边是围不成的，当两条较短的边合起来大于最长边是可以围成的；接着让学生边围边有序地记录每根小棒的长度，并对此进行必要的分类；最后让学生在空间直觉引领下形成的三边关系几何模型和基于数据寻找三边关系的代数模型这两者的相互作用中抽象出三角形三边之间的关系。从以上片断中我们可以看出，只有在操作与实践活动的探究中才能把握几何空间特征和性质的实质，也就是把握空间既要有活动，又要有思考。（2）知识是过程与结果的双重建构。新课程强调学生在学习过程中的感受与体验。所以在编写中为了加强教学的探究性，很多地方都只是展示了知识生成和教学活动的过程，对基本的几何知识和概念都不直接出示。例如我校有一位教师上面积和面积单位这一课时，提供了大量资源和素材让学生围绕物