带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)

关于带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)第1页，共19页，2023年，2月20日，星期三当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同——对称性带电粒子在直边界磁场中的运动第2页，共19页，2023年，2月20日，星期三xyOv0例、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）第3页，共19页，2023年，2月20日，星期三所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圆周上，如图所示。

电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速圆周运动解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何关系得由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程x2+(r－y)2=r2。第4页，共19页，2023年，2月20日，星期三解2:设P(x，y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x轴夹角为，则由图可知：x=rsin，

y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线1所示。xyOv01θP(x,y)Orr两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：第5页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、（2009·海南·T16）如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积。ABCDxyOv0第6页，共19页，2023年，2月20日，星期三解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有ev0B=mv02/a，得B=mv0/ea。ABCDEFpqOθ（2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。（3）设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹角为θ的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中圆弧Ap的圆心为O，pq垂直于BC边，圆弧Ap的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中，p点的坐标为(x，y)，则

x=asinθ，y=-acosθ。因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围0≤θ≤π/2内，p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。第7页，共19页，2023年，2月20日，星期三磁聚焦概括：平行会聚于一点一点发散成平行RRrr区域半径R与运动半径r相等迁移与逆向、对称的物理思想！第8页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度大小为g。（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。（3）在这束带电磁微粒初速度变为

2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。xyRO/Ov带点微粒发射装置C第9页，共19页，2023年，2月20日，星期三xyRO/Ov带点微粒发射装置CPQr图(c)xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ图(a)图(b)【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析（3）与x同相交的区域范围是x>0.【解析】略【关键】图示第10页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面内向y轴右侧（x>0）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为R，电子电量为e，质量为m。不计重力及阻力的作用。（1）求电子射入磁场时的速度大小；（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，求它到达y轴所需要的时间；（3）求电子能够射到y轴上的范围。xyOEO′R第11页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、如图所示，在xOy平面上－H<y<H的范围内有一片稀疏的电子，从x轴的负半轴的远外以相同的速率v0沿x

轴正向平行地向y轴射来，试设计一个磁场区域，使得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点O；(2)这一片电子最后扩展到－2H<y<2H范围内，继续沿x轴正向平行地以相同的速率v0向远处射出。已知电子的电量为e，质量为m，不考虑电子间的相互作用。xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0对称思想第12页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、(2008·重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比荷为q/m的离子都能会聚到D，试求：（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；（2）离子沿与CM成θ角的直线

CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；（3）线段CM的长度。第13页，共19页，2023年，2月20日，星期三解：（1）如图所示，设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由R=d

，qv0B=mv02/R可得B=mv0/qd，磁场方向垂直纸面向外。（2）设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t由vcosθ=v0，得v=v0/cosθ。R′=mv/qB=d/cosθ。设弧长为s，t=s/v，s=2(θ+α)R′离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=2π

m/Bq，得：t=(3)

CM=MNcotθ由正弦定理得=R′=mv/qB=d/cosθ。以上3式联立求解得CM=dcotα第14页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、如图，在直角坐标系xOy中，点M(0，1)处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为–q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿－y的方向通过点N(3，0)。（1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；（2）若其中速度为k1v0

和k2v0

的两个粒子同时到达N点(1>k1>k2>0)，求二者发射的时间差。MOabcN123x(mv0/qB)y(mv0/qB)12v0第15页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、（1975IPHO试题）质量均为m的一簇粒子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B将这些粒子聚焦于R点，距离PR=2a，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。xyvPRa磁场OarbA(x,y)解答：在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用作半径为r的圆周运动：设半径为r的圆轨道上运动的粒子，在点A(x，y)离开磁场，沿切线飞向R点。由相似三角形得到：同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程：v2qvB=mrmvrqB=x=y－bya－xx2+(y－b)=r2

y=r2－x2x(a－x)消去(y-b)，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为：第16页，共19页，2023年，2月20日，星期三例、

(第二十届全国预赛试题)从z轴上的O点发射一束电量为q、质量为m的带正电粒子，它们速度方向分布在以O