安徽省六安市新安中学八年级数学-上册-同步测试：等腰三角形及其相关证明

八年级数学上册同步教案第七课等腰三角形及其相关证明等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.例1.试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如图所示.求证：BC=AB.例2.如图，已知：在△ABC中，AB=AC,BD=BC,CE⊥AB于E，交BD于H，.求证：△HEB是等腰直角三角形.例3.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．例4.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点,∠ADB=600,E是AD上一点，且DE=DB，求证：AE=BE+BC。例5.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B,C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=900，则∠BCE=度；（2）设，．①如图2，当点D在线段BC上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．课堂练习：1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）．A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm2.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）．A.11cmBC.11cmcmD.以上都不对3.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A.75°或30°B.75°C.15°D.75°和15°4.若等腰三角形的周长为12，则腰长的取值范围是（）A.a>5B.a<5C.4<a<7D.3<a<65.已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③6.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的三角形中()A.B.C.D.7.如右图,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB的度数为()A.144°B.120°C.108°D.100°8.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是（）°°°°9.等腰三角形ABC在直角坐标系中,底边的两端点坐标是(-2,0),(6,0),则其顶点的坐标,能确定的是()A.横坐标B.纵坐标C.横坐标及纵坐标D.横坐标或纵坐标10.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形11.已知△ABC中，AB=AC，且∠B=，则的取值范围是（）A.≤45o．B.0o＜＜90o．C.＝90o．D.90o＜＜180o．12.等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是_________cm．13.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为________14.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM=15.在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为750，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子的倾斜角为450，则这间房子的宽AB是m。16.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B=度.

17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____个18.等腰三角形的两个内角之比是1∶2，那么这个等腰三角形的顶角度数为_______19.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为20.如图所示，△ABC是等边三角形，∠1=∠2=∠3，则∠BEC的度数为21.如图，在ABC中，AB=AC，∠A=500，P是ABC内一点，且PBC=PCA，则BPC=_____22.如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理．23.已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD．24.在△ABC中，由A点向BC边引高线，垂足D落在BC上，如果∠C=2∠B，求证：AC+CD=BD.25.阅读下列题目，回答问题：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D。（1）如图①，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。若BE+CF=9cm，求线段EF的长。分析：利用角的平分线的定义和平行线的性质，可说明△BDE和△CDF都是_______三角形，所以BE=DE，CF=DF。因为BE+CF=9cm，所以EF=______cm(2)如图②，过点D作DE∥AB，交BC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F。若BC=12cm，求△DEF的周长。26.如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AF=AE,求证：AC=BF.27.如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小条件不变，求证：∠CQE=600.28.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？课堂测试：1.已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为（）A.4cmB.8cmC.4cm或8cmD.以上都不对3.如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则ΔPMN的周长是(

)

4.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形5.如图所示，共有等腰三角形（）个 个 个 个6.如图,∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是()°B.40°C.50°D.60°7.如图，在中，∠ACB=900∠ECF=（）000D.不确定8.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是A.过顶点的直线B.顶角平分线所在的直线C.底边上的中线D.底边上的高9.等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为300，则此三角形中腰与底边的关系（）A.腰大于底边B.腰小于底边C.腰等于底边D.不能确定10.如图，若B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20o,则∠FEA=______11.等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为12.等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是13.如图，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=1200，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为图，△ABC是等边三角形，∠CBD=900,BD=BC，则∠1的度数是______15.如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是___________．16.上午8时，一条船从海岛A出发，以25海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B处。从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°。则海岛B到灯塔C的距离为。17.如图，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC延长线于E