初中数学千题解-全等100题（教师版）

第一部分全等100题

1.如图1.1所示，在ROA8C中，ZACB=90°,ZA=30°,8。是NABC的角平分线，QEL48于点E.

(1)如图(a)所示，连接EC,求证：4EBC为正三角形.

(2)如图(“)所示，点朋是线段C。上一点(与点C、。不重合)，以为BM一边,在的下方作/

BMG=6Q0,MG交DE的延长线于点G,求证：AD^DM+DG.

(3)如图(c)所示，点仞是线段4。上的一点(与点4、。不重合)，以为一边，在的下方作

/BMG=60。，MG交DE的延长线于点G,求证：探究。M、OG和4。之间的数量关系，并说明理由.

(a)(b)(c)

图1」

【答案】证：(1)VZACB=90°,/4=30。，如图2.1所示，

图2.1

Z.ZABC=60°,BC=-AB.

2

平分NABC,

.•./l=ZDBA=/H=30°,

:.DA=DB.

于点E,

：.AE=BE=-AB,

2

:.BC=BE,

:.AEBC为正三角形.

(2)结论：AD=DG+DM.

延长ED至点W,使得OW=OM,连接MW,如图2.2所示,

图2.2

NACB=90。，/A=30。，8。是/ABC的角平分线，OE_LAB于点£NADE=NBDE=6G°,AD=BD.

又DM=DW,

AWA/D是等边三角形

：.MW=DM.

,:ZWMG^ZWMD+ZDMG=60°+ZDMG,

NDMB=ZBMG+Z£)MG=90°+ZDMG,

:./WMG=/DMB.

ZW=ZMDB=60°,

•：\MW=DM,

ZWMG^ZDMB,

：.^WGM^^DBM(ASA).

：.BD=WG^DG+DW=DG+DM.

：.AD=DG+DM.

(3))结论：DG=AD+DM.

延长BD至点H,使得DH=DM,连接"M,如图2.3所示,

图2.3

NCDB=NHDM=60°,

是等边三角形.

：.MH=MD,ZMHB=ZMDG=60°,

'：NHMB=ZHMD+ZBMD=60°+4BMD,

ZDMG=ZBMG+ZBMD=90°+ZBMD,

：.NHMB=NDMG.

NMHB=NMDG,

'：＜MH=MD,

\AHMB=ZDMG,

：.4MHB迫AMDG(ASA)..".HB=DG.

\"HB=HD+DB=MD+AD.

：.DG=MD+AD.

【思路点拨】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知作出正确

辅助线是解题的关键.

2.如图1.2所示，在AABC中，AB=AC,BD_LAC于点。，点E为线段A£＞上一点，点尸为线段B£＞上一

点，满足CE=B凡且BE平分/ABD

求证：NEBC=NBEF=45°.

A

图1.2

【答案】证：设NA8E=NDBE=a,ZDBC=^,如图2.4所示,

AZABC=ZACB=2a+fi,ZA=90°~2a,

：.2(2a+0)+(90°-2a)=180°,

，a+夕=45。，

:./EBC=45°.

图2.4图2.5

作EG〃8c交48于点G,如图2.5所示,

.'.ZGEB=ZEBC,

乂四边形GBCE为等腰梯形，

：.BG=CE=BF,

BG=BF,

"：\ZGBE=NFBE,

BE=BE,

'△GBEdFBE(SAS),

:.NGEB=NFEB,

；./EBC=NBEF=45°.

【思路点拨】本题是角平分线模型.先通过导角可得/EBC=45。，接下来利用角平分线模型证明AGBE畛

△FBE,再由平行线条件可得NEBC=/BEF=45。.

3.如图1.3所示，在菱形A8CD中，ZBAD=60°,M为对角线AC上异于A、C的一点，以AM为边，作

等近4AMN,线段MN与A。交于点G,连接NC、DM,Q为线段NC的中点，连接。0、MQ.求证：(1)

DM=2DQ；(2)DQ1MQ.

DC

N

图1.3

【答案】证：(1)延长CO至点P,使得QP=OC,连接尸4、PN,如图2.6所示,

VZP£)A=60°,DP=DC=AD,

•♦•△PDA为等边三角形，

：.PA=DA,NPAD=90。,

:・NPAN+/NAD=90。,ZDAM+ZNAD=90°,

:,NPAN=/DAM.

PA=DA,

/PAN=/DAM,

AN=AM,

:,〉PAN2DAM(SAS),

；・PN=DM,NAPN=/ADM.

■:PD=DC,NQ=CQ,

・・・£>。为ACPN的中位线.

:・DQ=；PN=gDM,DQ//PN,

：.DM=2DQ.

图2.8

(2)*：DQ//PN,

:・/NPD=NQDC.

•；/APN+/NPD=90。,/APN=/ADM,如图2.7所示,

・•・4DW+NQOC=90。，

AZM£>e=120°-60°=60°.

取。”的中点E,连接E。，如图2.8所示，

•:DM=2DQ,

:・DQ=DE=EM,

•♦.△OEQ为等边三角形，

：.ZDEQ=60°,

；.EQ=EM,

：.NEMQ=|ZDEQ=30°,

:・DQLMQ.

【思路点拨】第一问，证明线段两倍关系时，构造中位线是常规套路，点Q为CN的中点，倍长CO至点

P,可使。。为中位线，BPPN=2DQ,现只需证即可.

第二问，DM=2DQ成立,通过平行线和全等结论转移角度关系，可知NMQQ=60。，那么可构造等边三角

形证明NEMQ=30°.

4.如图1.4所示，凸四边形48C。中，AB>AD,AC平分/BA。，过点C作。于点E,并且4E=

-(AB+AD).

2

求证：NABC与NAQC互补.

图1.4

【答案】证：过点C作A。的垂线交A。的延长线于点尸，如图2.9所示,

图2.9

平分NBAD,

：.^FAC=ZEAC.

ZFAC=ZEAC,

ZAFC=NAEC,

AC-AC,

/.△AFC^AAEC(AAS)

：.FC=EC,AF=AE.

'：AB=BE+AE,AF=AD+DF,

：.AB+AD=BE+AE+AF-DF=(BE-DF)+2AE,

.•.AE=g[(AB+AD)-(BE-DF)]

'：AE=~(AB+AD),

2

:.DF=BE.

DF=BE,

'：IZCFD=^CEB,

CF=CE,

.,.△CTO丝ACEB(SAS),

：.4CDF=ZABC.

VZCDF+ZADC=180°,

ZABC+ZADC=180°.

【思路点拨】本题是角平分线模型与对角互补模型的合体.

对于全等而言，一条角平分线就会提供两个必要条件，只要再找出一个等角关系，即可证明全等.

对角互补模型是常考题型，通常通过构造补角寻求等角关系，这是一般性规律.

5.如图1.5所示，在等腰放A43C中，NACB=90。，点E是AC上一点，连接3E,点。是线段5E延长

线上一点，过点A作A凡于点尸，连接CD、CF.

当AF=O/时，求证：DC=BC.

ZFAE+ZAEF=90°,ZGBC+ZBEC=90°,/AEF=/BEC,

:・NFAC=/GBC.

VZACF+ZECG=90°fNBCG+NECG=90。,

:.ZACF=ZBCG.

ZFAC=ZGBC,

•:1/ACF=NBCG,

AC=BC,

：・&FAC9AGBC(AAS),

:.FC=GC,

•••△FCG为等腰直角三角形，

/.ZGFC=45°,

・•・ZAFC=135°,

・・・ZDFC=360°-90°-135°=135°,

・・・ZAFC=ZDFC,

AF=DF,

VJZAFC=ZDFC,

CF=CF,

.•.△AFC^ADFC(SAS),如图2.11所示,

：.AC=DC=BC.

【思路点拨】本题通过构造共角互余模型解决问题，通过构造共角互余来达到证明△尸CG

为等腰直角三角形的目的，为证明△AFC0△。尸。创造必要条件.

6.如图1.6所示，在等腰放A4BC中，A。为斜边上的中线，以。为端点任作两条互相垂直的射线与两腰

相交于点£、F,连接E尸与相交于点G.求证：ZAED=ZAGF.

A

证明：,•,△ABC是等腰直角三角形，AO是斜边上的高，如图所示

：.AD=CD,ZDAE=ZDCF=45°

•?ZADE+ZADF=ZCDF+ZADF=90°

NADE=/CDF

ZDAE=ZDCF

\AD=CD

/ADE=/CDF

：.^ADE^hCDF(ASA)

：.DE=DF

・・・△£/小为等腰直角三角形

:.NDEF=45。

•?ZAGF=ZAEG+ZBAD=ZAEG+450

ZAED=ZAEG+ZDEF=ZAEG+450

：./AED=ZAGF

思路点拨

根据图形特征，本题是典型的共角互余模型.

同时，逆向推导结论对于解题常常起到推进的作用，以本题为例:

'/ZAED=ZAEG+ZDEF

NAGF=ZAEG+ZBAD

：.ZAED=ZAGF^>ZDEF=ZBAD=45°^>DE=DF

那么，接下来只需证明△AOEZZkCOF,命题即可得证.

7.如图1.7所示，AO是△A8C的中线，点、E、”分别在48、AC上，SLDELDF,求证：BE+CF>EF.

解：延长EO至点G,使得£D=OG,连接CG、FG,如图2.13所示.

ED=GD,

•・[NEOF=NG。凡

FD=FD,

：.&EFDdGFD(SAS)

：.EF=GF

ED=GD,

;(NEDB=/GDG,

BD=CD,

:.AEDB沿^GDC(SAS)

：.BE=GC

：.BE+CF=GC+CF>GF=EF

思路点拨

由于三条线段比较分散，不利于比较大小，因此采用儿何变换的手段将三条线段规整到一个三角形中,

就便于比较大小了，本题采用的是中心旋转对称的几何变换.

8.如图1.8所示，已知正方形A3CQ,点E为边45上异于点A、8的一动点，EF//AC,交BC于点F,

点G为D4延长线上一定点，满足AG=A。，GE的延长线与。尸交于点H,连接8H.

探究：ZEHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由.

解：结论：NE”B=45。为定值.

证：VEF//AC,如图2。14所示，

；・NEFB=NACB=45。,

：.LEBF为等腰直角三角形，

：.BE=BF

：.AE=CF

AG=CD,

9：\ZGAE=ZDCF,

AE=CFf

.•.△GAEgZkOCXSAS)

：.GEA=ZDFC

过点8作8”的垂线交。尸的延长线于点K,如图2.15所示,

：.ZHEB=ZKFB

'：ZEBH+ZHBF=90°fNFBK+ZHBF=90°

：.ZEBH=ZFBK

2HEB=NKFB,

：.BE=BF,

NEBH=NFBK,

：.4BEH沿4BFK(ASA)

:.BH=BK,NEHB=NFKB

：■&BHK为等腰直角三角形

:.NEHB=NFKB=45°

思路点拨

本题先证明AGAE也△£>•,为证明ABE，段ABFK提供了充分条件,利用两次全等关系完美解决问题，

特别是第二次全等图形的构造，本质上时将△BE“绕点B顺时针旋转90°.

9.如图1.9所示，在KfAABC中，ZACfi=90°,点。是线段AC上一点，BC=CD,过点A作AE_LBO交

BD的延长线于点E.

(1)如图(a)所示，若BC=3,AE=y/2,求AB.

(2)如图(b)所示，点尸是AB的中点，连接FC、FE,探究CF、EF的位置关系与数量关系.

(3)如图(c)所示，EF与AC交于点H,若AO=B£>,求生.

AE

AA

i'

B后C/V

BC

(a)(b)(c)

解：(1)VZC=90°,BC=DC,

・・・△BCD为等腰直角三角形

：.ZBDC=45°=ZADE

*.•ZE=90°

•••△AQE为等腰直角三角形

：.AD=y[2AE=2

：.AC=5

A£>=VAC3+BC2-V34.

(2)结论：CF-LEF,EF=CF

证：・・・CF为放AABC斜边上的中线，如图2.17所示

：.CF=-AB

2

同理，EF=-AB

2

：.EF=CF

设NB4C=a,NABC=B

・・・a+尸=90。

・・♦ZDA£=45°

：.ZFAE=a+45°

*：EF=FA

：.ZFAE=ZFEA=a+45°

：.NAFE=180。-2(a+45。)=90°-2a

■:BF=CF,/ABC=0

AZBFC=189°-2^

・•・ZAFE+ZBFC=270°-2(a+^)=90°,

・・・ZCFE=90°

：.CF.LEF

ZADE=NBDC,

(3)V\ZBCD=ZAED,

AD=BD,

：.^ADE^^BDC(AAS),如图2.18所示

：.DE=DC

连接CE,EPLAC交AC于点G,交CF的延长线于点尸，如图2.19所示

VCF±EF,EF=CF

•••△CFE为等腰直角三角形

・•・ZFCE=45°

VZy4DE=45°,DE=DC,

：.ZDCE=-ZADE=22.5°

2

•'AC平分NFCE

又ACLPE

・・・△PEC为等腰三角形

:.PC=EC,PG=EG

VZPEF+ZGHE=90°,ZHCF+ZFHC=90Q,NGHE=/FHC

：.ZPEF=ZHCF

ZPEF=ZHCF,

\NPFE=ZHFC,

CF=EF,

：.^PEF^AHCF(AAS)

:ZEF心HCF(AAS)

：.CH=PE=2GE

":APEF2HCF(AAS)

：.CH=PE=2GE

・・・AAGE为等腰直角三角形

：.AE=y[2GE

AEV2GE

思路点拨

第一问，根据等腰直角三角形的三边关系和勾股定理求解，第二问，利用“直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半”，得出等量关系，再通过等腰三角形底角与顶角的关系并导角即可证明垂直关系.第三问，

通过全等证明，可以得出AC既是角平分线也是垂线，那么根据等腰三角形三线合一的性质，可知AC垂

直平分PE,再通过碟状导角，为全等证明提供充分的条件，从而证明C”=PE=2GE,最后由等腰直角三

角形的三边关系求出空=血.

AE

10.如图1.10所示，已知矩形中，点E为上一点，连接CE,在CE上找一点F,连接AF,使

得NFAC=NECB,且NOCA=ND4?求证：CF=2EB.

证明：延长AB至点G,使得EB=GB,连接CG,如图2.20所示

EB=GB,

v]zEBC=ZGBC=90?,

BC=BC,

：.〉EBgAGBC(SAS)

:・CE=CG,NECB=NGCB

设NFAC=/ECB=/GCB=a,/EAF=0

：.ZDCA=ZDAF=a+p

：.ZDAC=NACB=ZDAF-/FAC=(a+B)—a=B

：.ZACF=ZACB-ZECB=p-a

：.NAFE=ZFAC+NAC尸=。+8一a)=ZEAF

：.AE=EF

*：NGAC=a+4

ZACG=ZACF+2ZGCB=(/i-a>)+2a=a+/3

：.ZGAC=ZACG

：.CG=AC

：.CE=AG

：.CF+EF=AE+2EB

：.CF=2EB

C

思路点拨

本题的关键在于，通过轴对称构造ABCG,然后在错综复杂的边角关系中，通过两次导角判定△AEF、

△AGC为等腰三角形，那么问题便迎刃而解.

11.如图1.11所示，点E是正方形ABCQ边CQ上一动点，BE的垂直平分线交对角线AC于点G,垂足为

点H,连接8G,并延长交于点F,连接EF；若AC=&a,探究：ADFE的周长L是否为定值？如果

是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由

图1.11

答案：结论：△OFE的周长为定值，等于2a

证：如图2.21所示，过点G作A8的垂线，交AB于点、N,交。C于点P；过点G作8c的垂线，交BC于

点Q,交AQ于点连接GE

图2.21

VAC为正方形ABCD的对角线

・・・N84C=ND4C=45。

・・・四边形ANGM为正方形

：.AN=AM

：.BN=DM

・・•四边形MGP。为矩形

：.DM=PG

：.BN=PG

〈GH垂直平分BE

：.BG=GE

..(BN=PG

・=GE

：.RmBNGWAR小GPE(HL)

：.ZNBG=ZPGE

•?NNBG+NNGB=90。

如图2.22所示

AFD

图2.22

・•・NPGE+NNGB=90。

：.ZBG£=90°

•••△3GE为等腰直角三角形

・•・NGBE=NGEB=450

延长D4至点K,使得AK二CE,如图2.23所示

AK=CE

乙KAB=乙ECB

.AB=CB

：./\KAB^/\ECB(SAS)

：・BK=BE,/KBA=/EBC

：.ZEBC+ZABE=900

：.ZKBA+ZABE=ZKBE=90°

・・•NG诋45。

・・・NKBF=/EBF=45。

BK=BE

=乙EBF

BF=BF

:.4KBF咨AEBFISAS)(如图2.24所示)

AFD

图2.24

・•・KF=EF=AF+AK=AF+EC

：.L=EF^rFD+DE=AF^EC^FD+DE={AF^FD)+(EC^DE)=2AB

VAC=V2a

•\AB=a

L=2a

思路点拨：本题首先通过构造一线三直角，证明△8GE为等腰直角三角形，那么就将问题转化为半角模型,

通过半角模型最终解决定值问题

12.如图1.12所示，AQ为△ABC的角平分线，直线于点A,点、E为MN上一动点、,且不与A重

合，若ZVIBC的周长记为以，ZkEBC的周长记为乙，探究P4、PB的大小关系

答案：结论：PA<PB

证：(1)当点E在点4右侧时，延长R4至点F,使得AF=AC,连接FE,如图2.25所示

•?ZCAE+ZDAC=900=ZFAE+ZBAD

ZDAC=ZBAD

：.ZFAE=ZCAE

AF=AC

・.•4FAE=Z.CAE

.AE=AE

：.AFAE^/\CAE)SAS)

：.FE=CE

,?AB+AC=BF<BE+FE=BE+CE

：.AB+AC^BC<BE+CE^-BC

•*,A<PB

(2)如图2.26所示，当点E在点A左侧时，同理可证P^VPB

思路点拨：当三角形内角平分线与过该角顶点的直线垂直时，解决此类问题的常用方法是延长该角的一边,

得到两边的线段和，从而构造全等三角形，通过全等解决问题

13.如图1.13所示，在△A3C中，ZBAC=120°,AO为中线，将AO绕点A顺时针旋转120。得到AE,点、F

为AC上一点，连接8尸，NABE二NAFB,若4尸=6,BE=7；求C尸

图1.13

答案：过点。作。M〃3/交AC于点M,如图2.27所示

图2.27图2.28

*：DM〃BF

：./AFB=/AND

丁NABE=NAFB

：.ZABE=ZAMD

VZBAE+ZBAD=120o,ZAfAD+ZBAD=120°

：.ZBAE=ZMAD

Z-BAE=匕MAD

AE=AD

Z-ABE=乙AMD

・•・AAEB^AADM(ASA)

：.AB=AMfBE=MD

♦：BD=CD

・・・£>M为△3FC的中位线

：.BF=2MD=2BE=\4,FM=MC

过点B作BN1.AC交CA的延长线于点N,如图2.28所示

VZBAC=120°

/.NBAN=6Q°

:.BN“AN,AB=2AN

设AN=x,则在R/A8NF中，BN=^3x,BF=14,FN=AF+AN=6+x

142—(V3x)2+(x+6)2—>x2+3x—40=0-(x-5)(x+8)=0

：.AN=5,AB=AM=10

：.FM=AM-AF=4

：.CF=2MF=S

思路点拨：本题的关键在于构造中位线DM,将角度相等的关系转化到AAD例中，这样即构造了全等三角

形也构造了平行线，再根据NBAC=120。，解放AANB得AB=10,这样一来，图形中线段的数量关系一目了

然

14.如图1.14所示，在ZkABC中，AO平分/8AC,CG垂直平分BC于点G,OELAB于点E,连接。C,

若AB=A,AC=B(A>8),求BE(用含A、B的代数式表示)

图L14

答案：作。PLAC交AC延长线于点凡连接BO,如图2.29所示

图2.29

TA。平分N3AC,DFLAC,DELAB

♦：DE=DF,AE=AF

YOG垂直平分BC

:,BD=CD

・・・R3DBEqRdDCF(HF)

：.BE=CF

U：AE=AB-BE,AF=AC+CF=AC+BE

：.AB-BE=AC+BE

门厂AB-ACA-B

BE=----------=--------

22

思路点拨：角平分线的性质与中垂线的性质是解题的关键，角平分线上的任意一点到角的两边距离相等，

线段的中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，图形中原本缺少两条关键线段，只要补上了，自然“柳

暗花明又一村”

15.如图1.15所示，在等腰放ZkABC中，NAC8=90。，点。、E是斜边A8(不包括点A、B)上的两点,

>ZDCE=45°；求证：DE2=AD2+BE2

答案：将△ACQ沿CO翻折得到△FQC,连接尸E,如图2.30所示

・・・4ACD经AFCD

：.AD=DFf/DFC=NCAD=45。,AC=FC=BC

又NACD+NBCE=45。,ZFCD+ZFCE=45°,NACD=NFCD

：.ZBCE=ZFCE

FC=BC

VZFCF=乙BCE

CE=CE

：.MCE注△BCE(SAS)

：.NCFE=NCBE=45。

△DEF,AD=DF,BE=FE,ZDFE=45°+45o=90°

：.DE2=DF2+EF2=AD2+BE2

思路点拨：本题是典型的半角模型，半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大

角的两边相等，解决半角模型的方法主要是通过旋转或翻折，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进

一步构造全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，把握问题的本质

另解：将"CQ绕点。顺时针旋转90。得到△8%,连接ER如图2.31所示

图2.31

，/\ACD%ABFaDCEW4FCE

：.AD=BF,EF二ED,NEBF=900

：.DE2=AD2+BE2

16.如图1.16所示，在AABO中，/AB£)=60。，点C为AABD外部一点，满足A8=AC,连接。C、BC,

DELAD交BC于点E,且DE平分NBOC,若40=〃(〃>l),求显2L.

BDS^CDE

图L16

答案：

延长至点G,使得0G=£>C,连接AG,如图2.32所示，

设N8OC=2a,^\ZBDE=ZCDE=a,；.NAQC=90°+a,ZADB=90°-a,

：./AOG=180°—(90°-a)=90°+a,；.NAOG=NAOC.

'：AD=AD,ZADC=ZADG,DC=DG,

.♦.△ADC丝△A£)G(S4S),如图2.33所示，J.AG^AC^AB.

VZA£?D=60°,.♦.△48G为等边三角形，：.AB=BG=BD+DG=BD+DC.

V—=n(n>l),：.AB=nBD,：,nBD=BD+DC\—=—J—.

BDDCn-1

由三角形内角平分线定理得处=些，...2口=些=」一.

DCCES^CDECEn-1

思路点拨

因为屋眸=些,由角平分线定理可知殷=匹，本题要解决面积比的问题，其实就是解决线段比

S&CDECEDCCE

的问题，根本上是解决AB、BD、C。三者之间数量关系的问题.由于存在60。角，构造等边三角形寻求全等

是首选的思路.

17.如图1.17所示，在等腰放AABC中，/8AC=90。，点E在RdABC外部，连接5E,以8E为直角边作

等腰用ABED,连接A。、AE,点”是AE的中点，过点C作CF〃AO,过点。作QF〃AC,两线交于点

F,连接AF,点G是AF的四等分点.

求证:“GJ_AF.

A

图1.17

答案：

延长尸。交A8于点尸，连接EF,如图2.34所示.

'：CF//AD,DF//AC,，四边形49FC为平行四边形，：.FD=AC=AB,

,：ACA.AB,：.FPLAB.

■:NBED=90°,:.点B、E、D、P在以BO为直径的圆上，

.,.四边形BEDP为圆的内接四边形，，NABE=ZFDE.

,:AB=FD,NABE=NFDE,BE=DE,二△ABE岭△FDE(SAS),

如图2.35所示，：.AE^FE,NAEB=/FED.

：.ZAEB+ZAED=90°,NFED+NAED=ZAEF=90°,

.♦.△4E尸为等腰直角三角形，/.ZEAF=45°.

取A尸的中点。，连接“。，如图2.36所示，

,:AH=HE,为△AEF的中位线，：.HQ//EF,：.HQ±AE,

为等腰直角三角形.

'：AG=-AF,AQ=-AF,：.AG=-AQ,

422

.•.点G为等腰Rt/XAHQ斜边的中点，,HGLAF.

思路点拨

本题的关键在于证明延长尸。交AB于点P,由于四点共圆，根据圆内接四边形的一

个外角等于它的内对角可得NABE=NFDE.那么△ABEZ△尸DE可证，继而为等腰直角三角形可

证，构造中位线后，△4HQ为等腰直角三角形可证.从而证明“GLAF.

18.如图1.18所示，在等腰心△ABC中，NBAC=90。，点。是△4BC内一点，且/D4c=NDC4=15。.若

BD=spla)求S&ABC-

\D\

A图1.18C

答案：

以AD为边，在△ADB内作等边△ACE,连接8E,如图2.37所示.

"：ZDAC=ZDCA=\5°,：.AD=CD=AE=ED,：.ZBAE=90°-60°-15°=15°.

；A8=AC,ZBAE^ZDAC,AE^AD,：.ABAE^/\CAD(SAS),NAEB=NAZ)C=150。，

ZB£D=360°-60°-150°=150°,，ZAEB=ZBED.

•:AE=DE,NAEB=NDEB,BE=BE,：./^AEB^ADEB(SAS),；.A8=8O=岳，：.S&ABC=-AB2=a.

2

图2.37

思路点拨

对于等腰直角三角形而言，只要知其腰或底即可求面积.那么，本题实际上是求等腰Rt^ABC的腰或

底与B。的数量关系.从图形上看:我们大胆猜测48=8。，只要这个猜测能被证明，自然就水到渠成.接下

来我们试着构造分别以A3、8。为边的两个全等三角形.在已知的图形中，除了△ABQ本身，还有△8CC

和△4DC.如果试图构造与aBOC全等的三角形，那么辅助线必定在△ABC外部，这样一来，图形更加复

杂，并且破坏了原来等腰直角三角形的图形结构，实在是得不偿失.那么，必然先考虑构造与△AOC全等的

等腰三角形.由于ND4C=/OC4=15。，必然要构造出15。的角，考虑到等腰且底角为15。，那么以4。为

边构造等边三角形是最佳方案，既构造了等边也构造了等角.

19.如图1.19所示，在△4BC中，NABC=45。，AOJ_BC于点。，点E在上，CD=DE,连接BE并延

长交AC于点F,延长FD到点G,连接BG.

若尸G=BG,求证:BGJ_FG.

图1.19

答案：

如图2.38所示，

"：AD=BD,NADC=NBDE,CD=ED,，zMOC丝△8£>£(SAS),:.NCAD=NEBD.

作。HJ_FD交F8于点H,如图2.39所示.

VZADF+ZADH=90°,ZBDH+ZADH=90°,：.ZADF=ZBDH.

ZFAD^ZHBD,AD=BD,ZADF=ZBDH,：.^ADF^^BDH(ASA),:.DF=DH,

.♦.△FDH为等腰直角三角形，AZGFB=45°,：.FG=BG,

.".△PGS为等腰直角三角形，.-.BG1FG.

思路点拨

从结论出发，如果命题成立，那么△尸GB为等腰直角三角形，则NGF8=45。.通过构造共角互余模型,

即可证明△FDH为等腰直角三角形，从而解决问题.

20.如图1.20所示，在矩形A8C。中，点。为AC的中点，AO=AE=CF.若OE=4四，OF=6,求AE.

图1.20

答案：

以A。为直角边，以点A为直角顶点，作等腰心△AOH,连接如图2.40所示.

：.AH=AO=CO=AE=CF,HO=0AE.

VNHAE+Nft4C=90°,ZFCO+N£)AC=90°,NHAE=ZFCO.

'：AH=CO,NHAE=NFCO,AE=CF,:AHAE名LFCO(SAS),：.HE=FO=6.

•.,AH=4E=AO,.•.点H、E、O在以点A为圆心、以AO为半径的圆上

,：ZHAO=90°,：.HEO=90°,N4EO=(360°-90°)+2=135°.

作“G_LOE交Of的延长线于点G,如图2.41所示，NHEG=45。，

...△”EG为等腰直角三角形.：”E=6,:.GE=GH=30,，GO=GE+EO=7&.

设AE=x,则HO=&x,.*.(T5x)2=(3&)2+(7&)2|W=58|x=屈.

图2.40图2.41

思路点拨

本题的关键在于构造R/Z\A。”，将相关线段规整到一个三角形中，最终通过解出△4OG求出AE的

长度.

21.如图1.21所示，在aABC中，点P为BC上一动点，且不与点8、C重合，AP_L8E于点E,AP

LCD于点O,点尸为BC的中点.

求证：EF=DF.

证：延长交。C于点G,如图2.42所示.；AP_L8E,4P_LCD,..BE〃CO,二NEBF=NGCF.：

NEBF=NGCF

<NBFE=NCFG,；./\EBF冬AGCF(AAS),:.EF=GF.，；APLCD,；./\EDG为直角三角形，DF为

BF=CF

斜边上的中线，，后尸二^尸.

思路点拨：证明线段相等之类的题目有很多，证明等腰或全等都是证明线段相等的手段之一.斜边的

中点模型也是常见题型.在本题中，点尸是中点，BE//CD,这就为中心旋转提供了两个必备条件.那么,

延长EF交。C于点G就是顺理成章的事情.

22.如图1.22所示，菱形ABC。是由两个正三角形拼成的，点P是△ABO内任意一点，现把△8PD

绕点B旋转到△BQC的位置.

(1)若四边形BPOQ是平行四边形，求NBPD.

(2)若△PQ。是等腰直角三角形，求/8PD.

(3)若NAPB=100°,且△P。。是等腰三角形，求NBPD.

图1.22

解：连接。。、PQ、AP,如图2.43所示.据题意，△BPO绕点8旋转到aaQC的位置，那么旋转角

NPBQ=60°.根据旋转定义，PB=QB,得△「时是等边三角形.(1)当四边形BP。。是平行四边形时，Z

BPD+ZPBQ=\^.•••△PB。是等边三角形，二NPBQ=60°,NBPO=120°.

(2)当△P。。是等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当。P=。。，NPDQ=90°时，ZDPQ=45°,

ZBPD=105°.②当£>Q=P。，NPQO=90°时、ZDPQ=45°,ZBPD=105°.③当PD=PQ,NQPQ=90°时，

ZBPD=150°.NBPD=105°或150°.

(3)当乙4P8=100°,且△PQD是等腰三角形时，•••△物B丝二ZAPB=ZDQB=\00n.V

△P8Q是等边三角形，,ZBQP=6CP,：.NOQP=40°.这时也有以下三种情况:①当尸0=P。时，ZDPQ=l00°,

ZBPD=160°.②当PQ=DQ时，NQPQ=70°,ZBPD=130°.③当PD=DQ时，NQPQ=40°,ZBPL>=100°./.

NBPO=1600或130°或100°.

图2.43

思路点拨：本题涉及初中几何的难点：几何图形的变换——旋转，以及数学中的分类讨论思想.这是

一道经典试题，对应试者要求较高，不仅要分析变化中的不确定的数量关系，也要分析变化中的确定的数

量关系，“以不变应万变”且不能疏漏.本题中，“确定的关系“至少有两个：(1)不论点P在何位置，△P8Q

都是等边三角形.(2)不论点P在何位置，△出B丝△QOB(SAS).只有牢牢地把握以上两点，才能“以静

制动”，从而“柳暗花明

23.如图1.23所示，AB=AC,ZABC=p,EC=ED,NCE£)=2/，点尸为B。的中点，连接AE、

AF

PE.当夕=60°时，求把.

PE

解：作8/〃EZ)交EP的延长线于点F,连接AF,延长AB交ED的延长线于点G,如图2.44所示.：

NBFP=ZDEP

BF//ED,：.ZBFP=ZDEP.•/<BP=DP,：./\FBP冬△EDP(AAS),：.BF=DE=CE,FP=EP.；

NBPF=NDPE

在△ABC中，ZBAC+2/?=1800,又在四边形ACEG中，ZCED=2/3,：.ZBAC+ZCEG^\S00,：.ZACE+

AB^AC

ZG=180°.---BF//ED,ZABF+ZG=180°,ZACE=ZABF.•：<Z.ABF=Z.ACE,：./XABF^^ACE

BF=CE

(SAS),AF-AE,NFAB=NEAC,:.NFAB+NBAE=NEAC+NBAE,:.NFAE=/BAC,.1等腰△ABC

的顶角与等腰△AFE的顶角相等，二这两个等腰三角形的底角必然相等，.•.£=NAEP,.•.当月=60°时，

AJ7

ZAEP=60°,.•.△Af'E为正三角形，・•.——=2.

图2.44

思路点拨：本题的关键是证明/ABF=N4CE,这就是作交点G的根本原因.同时，本题出现中点模

型，利用中点构造全等三角形，基本方法就是中心旋转对称，但是这需要两个必要条件：一是出现中点；

二是有平行线的条件，这就是作BF〃ED的原因.

24.如图1.24所示，在等边△ABC中，点F在AC的延长线上，点。在BC上，延长BF与射线D4

交于点E,连接EC,S.AF+CD=AD,OE=15,AF=4.

s

求：(1)/BEC；(2)―a'"。；(3)S\REC♦

^AAEB

AF=CG

解：(1)延长BC至点G,使得CG=AF,如图2.45所示.=NACG=120°,二.△ABF也

AB=CA

△CAG(SAS),二N8/弘=/G,ZABF=ZCAG.VAF+CD=AD,：.CD+CG=AD,：.AD=DG,：.ZG=Z

DAG=ZDAC+ZCAG.vZBFA=ZFEA+ZFAE=ZFEA+ZDAC,：.ZDAC+ZCAG=ZFEA+ZDAC,：.

/ABF=/C4G=/FE4,，AB=AE=AC,.,.点B、C、E在以点A为圆心，以AB为半径的圆上.•；N

BAC=60°,：.ZBEC=30°.

(2)作AH_L8C于点H,如图2.46所示.设BH=HC=x,贝i」AH=V^x,BC=AE=2x,：.AD^DG=DE

-AE=\5~2x,：.DC^DG~CG=DG~AF=15-2x~4=\l~2x,：.HD=HC~DC=x~1~2x)=3x~H.在

：2((2负

出△AQ”中，AEr=AH2+HD2,.(15-2%)=6x]+3x-ll)=(x—4)(4x+13)=0,.\x=4(

S.DC3

值舍去)，.•.8C=8,DC=3,/.BD=5,：.AFC=——=-.

S.EBBD5

2

(3)•••BC=8,如图2.47所示，S^BC=BC=1673.AE=8,^D=15~AE=1,：

240百

StMD7

思路点拨：第一问，主要是通过构造全等三角形，再导角证明AB=AC=AE,最终由圆心角与圆周角的

关系求解.第二问，通过勾股定理求解△A8C的边长和CQ的长度，由燕尾定理求解.第三问，根据等比

性质求解.

25.如图1.25所示，在等边△ABC中，BOJ_AC于点。，BE平分NC8力交AC于点E,在BC上取一

点G,连接EG,JiEG=2DE,点尸是aABC外一点，连接AF、BF、EF,满足NFBE=NE4B=60°,连接

GF交BE于点、H,求证：GFLBE.

证：•/ZFBA+ZABE=ZFB£=60°,ZEBC+ZABE=ZABC=60°,如图2.48所示，二NFBA=NEBC.；

ZFBA=ZEBC

<AB=CB,：.△FBA丝ZXEBC(ASA),FB=EB.：ZFB£=60°,AFBE为等边三角形，

ZFAB=NECB=60°

FB=FE.作EP_LBC于点P,如图2.49所示.：BE平分NCBO,EDLBD,EPLBC,：.DE=PE,Z

EBG=15°,:.GE=2DE=2PE,，/EGP=30°,:・NBEG=NEGP—NEBG=15°,:.NEBG=NBEG,：.

FB=FE

BG=EG.<BG=EG,丛BEG*AEFG(SSS),如图2.50所示，NBFG=NEFG,；.GF为等MFBE

FG=FG

的角平分线，r.GFJ_BE.

思路点拨：本题是等边三角形手拉手模型，利用手拉手模型证明aFBE为等边三角形，这就为证明△

创造了一个必要条件，由于G尸为公共边，要么证明BG=EG,要么证明夹角相等，从题目

条件上看，由于8E平分/CBD,ED^BD,这是明显的角平分线模型第一种类型，故作EPLBC于点P是

顺理成章的事情.这就将灰）转化到m/XGEP中，可得NEGP=30°,再由角度关系，得到8G=EG,所以

△BFGgAEFG,则GF1.BE.

26.如图1.26所示，在△ABC中，AB=a,AC=b,分别以AB、AC为边作正方形ABE。、ACGF,连接

BD,点、H、/分别是B。、BC的中点，连接H/.若HI=c,求△