有限元理论方法

关于有限元分析法及其应用举例摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用 啤酒瓶的应力分析和优化，表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的未来发展趋势进行阐述。关键词：有限元分析法软件啤酒瓶Abstract:Thisthesismainlyintroducesthefiniteelementanalysis,asamoderndesigntheoryandmethodsusedwidelyininmostrespects.Andthispaperintroducesitsoriginsanddevelopmentinworld.ItalsoexpoundsthebasicthinkingandapproachofFEM..Proceedfromtheactualsituation,thistextholdstheasimpleapplicationoffinite-elementmethod theanalysisandoptimizedofanbeerbottleandindicatethethenumerousbenefitsoffiniteelementanalysis.Ascomputersmatureandbasedonthefiniteelementanalysisofthesoftwaredevelopmentisgrowing.Thisarticleintroducesitsapplicationinthesoftwaredevelopmentaspectsaswell,andbrieflystatesthedevelopmentandscopeofthemainstreamsoftware.Andit’salsoprospectfuturedevelopmenttendencyinthisarea.Key:FiniteElementAnalysisSoftwareBeerbottle0绪论有限元法(FiniteElementMethod，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域;然后对单元(小区域)进行力学分析，最后再整体分析。这种化整为零，集零为整的方法就是有限元的基本思路。就国外发展来说，20世纪50年代，有限元法作为处理固体力学问题的方法出现。1943年，Courant第一次提出单元概念［1］。1945〜1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展…。1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题…。1960年，Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法-D］，并描绘为“有限元法一RayleighRitz法+分片函数”。FEM理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。自2。世纪6O年代以来，人们加强了对FEM数学基础的研究。如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。FEM理论研究成果为其应用奠定了基础，计算机技术的发展为其提供了条件。20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA：FiniteElementAnalysis)系统，如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析，从而推动了FEM在工程中的实际应用。20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用，原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统，如ANSYS—PC、NISA，SUPERSAP等［。20世纪90年代以来，随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。就我国有限元法的发展，是从八十年代开始的。在1981年ADINA飞线性结构分析程序的引进，一时间许多一直无法解决的工程难题都迎刃而解。大家也都开始认识到有限元分析程序的确是工程师应用计算机进行分析计算的重要工具。但是当时限于国内大中型计算机很少，大约只有杭州汽轮器厂的Siemens7738和沈阳鼓风机厂的IBM4310安装有上述程序，所以用户算题非常不方便，而且费用昂贵。PC机的出现及其性能奇迹般的提高，为移植和发展PC版的有限元程序提高了必要的运行平台，可以说国内FEA软件的发展一直是围绕着PC平台做文章。在国内开发比较成功并拥有较多用户的有限元分析系统有大连理工大学工程力学系的FIFEX95、北京大学力学与科学工程系的SAP84,中国农机科学研究院的MAS5.0和杭州自动化技术研究院的MFEP4.0等。我们现在正处在学习和追赶世界发展水平的阶段。1有限元分析法的基本思想和设计方法1.1有限元基本思想有限元分析(FEA，FiniteElementAnalysis)的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。（1） 物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一部称作单元部分。离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。（2） 分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。（3） 选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力 法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。（4） 计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。（5） 单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程：KU=F式中：K是结构的总体刚度矩阵；U是节点位移列阵；F是载荷列阵。确定总体刚度方程的方法有三种：直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力和节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法只在简单情况下才能米用。集成法将整体坐标系的单元刚度矩阵按照节点编码顺序对号入座，迭加形成总体刚度矩阵。利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数Kij等于连接节点i和节点j之间几个单元的刚度系数之和。（6） 求解未知节点位移可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。节点的支撑条件有两种：一种是节点沿某个方向的位移为零，另一种是节点沿某个方向的唯一为一给定值。（7） 计算单元内部应力和应变根据求解的节点位移，采用所选定的位移函数，计算单元内非节点处的应力和应变。通过上述分析，可以看出，有限元法的基础思想是“一分一合”。分是为了进行单元划分，合则是为了对整体结构进行综合分析。1.2设计方法（1） 划分单元网格，并按照一定的规律对单元和结点编号（2） 选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。（3） 使用已经编好的程序进行上机计算。计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算。（4） 对计算成果进行整理、分析，用表格或图线示出所需的位移及应力。事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。2有限元分析法的应用优点有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于，按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释。对计算中出现的一些误差也难以进行改进。有限元法在工程中最主要的应用形式是结构的优化，如结构形状的最优化，结构强度的分析，振动的分析等等。有限元法在超过五十年的发展历史中，解决了大量的工程实际问题，创造了巨大的经济效益。有限元法的出现，使得传统的基于经验的结构设计趋于理性，设计出的产品越来越精细，尤为突出的一点是，产品设计过程的样机试制次数大为减少，产品的可靠性大为提高。压力容器的结构应力分析和形状优化，机床切削过程中的振动分析及减振，汽车试制过程中的碰撞模拟，发动机设计过程中的减振降噪分析，武器设计过程中爆轰过程的模拟、弹头形状的优化等等，都是目前有限元法在工程中典型的应用。经过半个多世纪的发展和在工程实际中的应用，有限元法被证明是一种行之有效的工程问题的模拟仿真方法，解决了大量的工程实际问题，为工业技术的进步起到了巨大的推动作用。但是有限元法本身并不是一种万能的分析、计算方法，并不适用于所有的工程问题。对于工程中遇到的实际问题，有限元法的使用取决于如下条件：产品实验或制做样机成本太高，实验无法实现，而有限元计算能够有效地模拟出实验效果、达到实验目的，计算成本也远低于实验成本时，有限元法才成为一种有效的选择3有限元分析法应用举例3.1案例的提出从目前国内啤酒生产厂家来看，采用玻璃瓶装的占绝大多数（超过95）.玻璃瓶作为周转瓶能够多次使用，而且玻璃容器各种各样的形状、大小和颜色对用户都颇具吸引力.啤酒瓶是受压容器，为易碎品，在啤酒瓶包装车间的洗瓶、压盖和杀菌等工序中容易炸裂，此外在销售和消费过程中也经常发生炸裂.啤酒瓶爆炸的原因很多，其根本原因在于啤酒瓶强度不够.啤酒瓶内由于二氧化碳气体的存在，常保持着内压，温度升高则内压上升.因此，研究罐装啤酒瓶在内压力作用下的应力分布，改进其造型结构，增加其强度，对于提高啤酒瓶的使用寿命，避免啤酒瓶的突然爆炸，进而控制啤酒瓶的数量，减少环境污染具有重要的社会

意义，又有其潜在的经济价值.啤酒瓶按瓶型式分有溜肩和端肩两种，按容量分为355mI和640mI,本文就此两种瓶型进行了分析.有限元分析是将机械结构系统转化成由节点及元素所组合的有限元模型，该有限元模型与机械结构系统的几何外形一致.有限元模型的建立是将结构转换成许多节点和元素相连接，通过点、线、面、体积，先建立结构系统的几何外形，再通过360度的旋转得到实体模型.ANSYS作为一个成功的有限元分析软件，在机械、电机、土木、电子以及航空领域得到了广泛的应用.在机械结构分析方面，从静力分析、模态分析、谐振响应分析、瞬态动力分析到结构疲劳分析都可以非常好地完成。3.2建立啤酒瓶的有限元模型与求解3.2.1几何模型的建立通过精确测量啤酒瓶的外形尺寸，结合啤酒瓶的设计规范和理论得到其原始几何尺寸.当节点建立完成后，必须使用适当的元素，将结构按照节点连接成元素，进而建立有限元模型（如图I、图2所示）.图1溜肩瓶节点的建立图2端肩瓶节点的建立图1溜肩瓶节点的建立图2端肩瓶节点的建立3.2.2有限元模型的求解有限元法的思想是“化整为零，集零为整”，它将模型划分成连续的单元网格，单元之间通过节点连接，单元内部的待求量可由节点之间通过选定的函数关系插值求得，简单的单元形状易于由平衡关系或能量关系建立节点之间的方程，给定边界条件便可求解.单元划分越细，计算结果越精确.本文将两个几何模型在ANSYS中网格化生成有限元模型，大约生成几万个单

元.为了计算的方便，利用其轴对称性，本文取其四分之一模型进行分析，约束瓶口端面y方向的移动，约束对称面上的相对移动，从而得到模型的约束条件（如图3、图4所示）.根据文献查阅，罐装啤酒瓶的内压主要是由含二氧化碳的液体引起的，而跟液体的重力产生的压力无关.本文对640ml溜肩瓶用0.5MPa压力作用于瓶体内表面，对355ml端肩瓶用0.4MPa压力作用于内表面，用来模拟实际的罐装内压嘲，在计算机上进行分析之后可以得到其应力分布图.本文采用的玻璃材料物理参数为：杨氏模量E一67.7GPa，泊松比一0.24.由计算结果（表1、表2）可以看出，溜肩瓶在瓶口和瓶颈处的应力分布值较小，肩瓶处开始变大，到了瓶身处应力变得很大，而在瓶底的过渡处应力分布较小.在这个连续变化中，瓶的内表面比外表面的应力分布要大，在瓶底的内表面中心处应力达到了最大值，而在瓶底与瓶身的过渡处的内表面应力分布也是很大的（如图5所示）.作为比较，我们从端肩瓶可以看出，应力分布值在瓶口、瓶肩和瓶身的过渡处、瓶身和瓶底的过渡处是比较小的，而在瓶身以及瓶肩和瓶颈的过渡处分布着较大的应力值（如图6所示）.图3溜肩瓶模型的建立 图4端肩瓶模型的建立表1应力最大值分布列表（溜肩瓶）应力亦向SXSYSZSXYSYZSXZ节点号1992236419921125]27S1933蛹小值15501EH-07—0,156&0E+O7—DM97G6E+06一03昭79E+06一。3翡8SE—07-Dt96&HE+U6节点号190919721772195719591946屣大值0.46146E+O7敏2网47E+07Q,481STE十。？C.136S6E+O70.128&IE+D7Or4632SE4-06表2应力最大值分布列表（端肩瓶）节点号333757511335最小值0.10789E+08-0,54029E+070.10792E!0830235E+070.3E351•:1070.H217K107节点号112686678256最大值0,in95K-I-0B。，63950H+0?0,」14ME+0K0.41554E+070r41651E4-O70,32476E+07图5溜肩瓶应力分布图6端肩瓶应力分布图5溜肩瓶应力分布图6端肩瓶应力分布3.2.3分析与优化（1）计算结果的分析由图5、图6的应力分布图可以看出，两种瓶型的应力最大点都在瓶底的中心点.对于溜肩瓶而言，较大的应力分布区在瓶身，这完全是由内压力产生的应力分布.根据文献及网上的报道，由内压引起的破损或者爆炸产生的放射状裂纹比较多，而且压力越高裂纹越多，破损的区域集中在瓶身处.因为瓶底的厚度比瓶身大，强度较大，而且瓶底产生的应力主要是压应力，瓶身的应力是拉应力，所以破损主要集中在瓶身，这和文献的结论是一致的。对于端肩瓶而言，应力的集中区域在瓶底和瓶肩处.比较端肩瓶和溜肩瓶可以看出，瓶颈与瓶身的过渡越光滑，曲率半径越大，在瓶肩处产生的应力集中就越小，因而改善瓶身和瓶肩的结构，加强其强度对防止啤酒瓶的爆炸是非常有必要的。由表1、表2可见，端肩瓶的应力最大值在10MPa左右，溜肩瓶的最大应力在4MPa左右，可见溜肩瓶比端肩瓶的应力最大值要小一些.（2）优化设计

为了克服溜肩瓶较大应力分布在瓶身的缺点，本文在溜肩瓶的瓶身外表面加了两道环形凸带（如图7、图8所示）.经求解表明，其瓶身应力分布值普遍减小了，整个瓶体的应力分布更均匀，在瓶体外表面应力的减小值是很显著的，在内表面应力的分布也更加连续，相对值差别变小了，应力最大处也由瓶底中部移到瓶底与瓶身的连接处。加强环利于贴标签，其造型与实现也非常容易，所以无论从理论上还是从实际的工艺生产上来说，这都是比较好的强度提高措施.环形加强环能够在啤酒瓶相互撞击时产生缓冲作用，这对防止啤酒瓶的相互冲击产生的破损尤其有非常显著的效果。图7结构优化模型图8优化后应力的分布图7结构优化模型图8优化后应力的分布对于玻璃材料，其抗拉许用应力远远小于抗压许用应力，前者大约是后者的十分之一左右，所以研究玻璃瓶的强度问题只要考虑其拉应力的分布即可.玻璃破损时，通常是从玻璃表面上的伤痕开始破裂的，这称为破坏起点。啤酒瓶的爆炸问题是由于啤酒瓶的强度不够引起的，而其最根本的原因在于瓶体微裂纹的存在。在啤酒瓶的使用及回收过程中，剧烈的相互撞击经常发生，频繁的撞击使得啤酒瓶产生微裂纹和疲劳破坏，于是再次使用时只要有一点外界因素（如物理冲击、温度突然改变引起的热冲击等）就会引起破裂或者爆炸，这样的啤酒瓶被人们称为“啤酒炸弹”。本文认为，要使啤酒瓶在使用过程中不产生突然爆炸，危害人身安全，就必须采取措施避免微裂纹的出现和疲劳破坏.为了提高加强环的缓冲性能，可以在环上进行压花处理，使瓶体的相互撞击被加强环缓解掉，避免瓶身其它部位的撞击，这样不仅能够避免微裂纹的出现，也能防止相互撞击产生的疲劳破坏。4国内外著名的有限元软件有限元软件就是有限元法的计算机程序或程序系统，有通用和专用两种。前者通常是商业软件，优点是通用性强，格式规范，输入方法简单，用户无需特殊记忆也不需要太多专业知识和计算机技能，解决问题领域宽，因而流行范围广；缺点是程序通常很长，开发成本高。专用软件的优点是程序相对短，开发价格低，版本升级相对容易，解决专门问题更有效。自20世纪70年代后期，国际上较大型的面向工程的有限元通用程序达到几百种，引入我国的各种大、中型专用和通用有限元著名软件有数十种，主要包括：（1）ADINA 由美国麻省理工学院机械工程系开发的自动动力增量非线性分析有限元程序（2）ALGOR 美国ALGOR公司在SAP5和ADINA有限元分析程序基础上针对微机平台开发的通用有限元分析系统。（3）ANSYS 世界著名力学分析专家、匹兹堡大学教授J.swanson创建的SASI公司开发的大型通用有限元分析软件，世界最具权威的有限元产品。（4）IDEAS 美国SDRC公司开发的机械通用软件集成化设计工程分析系统。它是集成设计、分析、数控加工、塑料模具设计和测试数据分析为一体的工作站用软件。（5）NASTRAN 美国国家航空和宇航局开发的结构分析程序。（6）SAP 美国加州大学伯克利分校M.J.Wilson教授开发的线性静、动力结构分析程序。这些程序的共同点在于：都至少包括杆、梁、板、壳和三维实体单元，热分析能力；分析静力合动力问题；分析线弹性和非线性问题；使用多种载荷：集中力、分布力、力偶、温度和支座沉陷；自动划分网格功能的前处理程序；用图形解释计算结果，如变形前后的模型、应力和温度分布的云图、制定位置的位移和应力等。这些程序有的经过我国工程技术人员消化得到推广和应用，有的经过改进提高形成功能更全更强的通用程序。20世纪90年代以来，随着我国CAD应用工程的兴起，科学和工程技术人员对有限元软件的注意力由引进、消化、推广和应用转向自主开发，也出现了一大批优秀的专用和通用软件，在各行各业创造出巨大的社会效益和经济效益。5未来发展前景纵观当今国际上CAE软件的发展情况，可以看出有限元分析方法的一些发展趋势：（1）与CAD软件的无缝集成当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。（2） 更为强大的网格处理能力（3） 由求解线性问题发展到求解非线性问题随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。（4） 由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解有限元分析方法最早应用于航空航天领域，主要用来求解线性结构问题，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。现在用于求解结构线性问题的有限元方法和软件已经比较成熟，发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即〃热力耦合〃的问题。当流体在弯管中流动时，流体压力会使弯管产生变形，而管的变形又反过来影响到流体的流动……这就需要对结构场和流场的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓〃流固耦合〃的问题。由于有限元的应用越来越深入，人们关注的问题越来越复杂，耦合场的求解必定成为CAE软件的发展方向。（5）程序面向用户的开放性随着商业化的提高，各软件开发商为了扩大自己的市场份额，满足用户的需求，在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资，但由于用户的要求千差万别，不管他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求，因此必须给用户一个开放的环境，允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定义材料本构（结构本构、热本构、流体本构）、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。关注有限元的理论发展，采用最先进的算法技术，扩充软件的能，提高软件性能以满足用户不断增长的需求，是CAE软件开发商的主攻目标，也是其产品持续占有市场，求得生存和发展的根本之道。6结论利用有限元分析法对啤酒瓶的应力分析，可以清楚的看到，啤酒瓶的最大应力点在于它的瓶底，而它的瓶身能承受的最大应力较低。发现这个问题后，就获得了改进啤酒瓶设计的根据。即要满足两个条件：一是尽量增加瓶身所能承受的最大应力，二是使整个瓶子的应力分布均匀。因此采取了增加两个加强环的措施。显然，这是一个较合理的解决啤酒瓶的安全问题的方法。通过这个例子，简单地介绍了有限元分析的整个过程。而这只是有限元分析应用的一个方面，其方法还广泛应用在各个方面。这就启发我们去更多的了解这种方法，掌握这种方法，通过对相关基于有限元分析法开发的软件的学习，能够熟练运用，更好的服务于将来的设计和工作应用。参考文献芮延年.现代设计方法及其应用[M].苏州：苏州大学出版，2005.孙新民，张秋玲，丁洪生.现代设计方法实用教程[M].北京：清华大学出版社，2009.7.张鄂.现代设计理论与方法[M].上海：科学出版社，2007.黄平.现代设计理论与方法[M].北京：清华大学出版社，2010.夸克工作室.有限元分析基础篇ANSYS与Matlab[M].北京：清华大学出版社，2002.刘国庆，杨庆东.ANSYS工程应用教程[M].北京：中国铁道出版社，2003.李卫民.ANSYS工程结构实用案例分析[M].北京：化学工业出版社，2007.莫维尼.有限元分析一ANSYS理论与应用[M].北京：电子工业出版社，2008.张洪信.有限元基础理论与ANSYS应用[M].北京：机械工业出版社，2006.张应迁，张洪才.ANSYS有限元分析从入门到精通[M].人民邮电出版社，2007丁科，陈月顺.有限单元法[M].北京：北京大学出版社，2006.李涛，肖守讷，张卫华.基于APDL高速电力机车转向架构架有限元优化[J].机车电传动，2007(2)：16.邵蕴秋.ANSYS8.0有限元分析实例导航[M].北京：中国铁道出版社，2001.赵叔东.刘友梅.韶场型电力机车[M].北京：中国铁道出版社，2004.庄茁，岑松译.有限元方法[M].北京：清华大学出版社，2006.商跃进.有限元原理与ANSYS应用指南[M].北京：清华大学出版社，2005：11—14.彭德其，许平.120km/h整体焊接转向架构架的疲劳分析[J].铁道机车车辆，1999(1)：28