2019高中数学第二章推理与证明23数学归纳法课后训练新人教B版选修2

2.3数学概括法课后训练1．用数学概括法证明1＋1＋1＋＋1＜(n∈N＋，＞1)时，第一步应考证不232n1nn等式()．A．1+1<2B．1+11<2223C．1+11<3D．1+111<3232342．利用数学概括法证明不等式1＋1＋1＋＋1＜f(n)(n≥2，n∈N)的过程中，232n1＋由n＝k到n＝k＋1时，左侧增加了()项．A．1B．kC．2k－1D．2k3．察看以下式子：1+131+1151+11172，22，2222，，则可归22233344纳出1＋12＋12＋＋12小于()．23n1A．n1B．2n1nn1C．2n1D．2nn1n14．已知f()＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数，使得对随意n∈N＋，都能使整除(n)，nmmf则最大的m的值为()．A．30B．26C．36D．65．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)知足“当f(k)≥k2建即刻总可推出f(k＋1)≥(＋1)2建立．”那么以下命题总建立的是()．kA．若f(3)≥9建立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2建立B．若f(5)≥25建立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2建立C．若f(7)＜49建立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2建立D．若f(4)＝25建立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2建立6．察看以下不等式：1>1，1+11>1,1+1113，22323721＋1＋1＋＋1>2,1＋1＋1＋＋1>5，，由此猜想第n个不等式为________．2315233127．用数学概括法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋＋25n－1是31的倍数”，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增加的项是________________．8．用数学概括法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k1)＋1应变形为________________________．222222229．能否存在常数a，b使等式1＋2＋3＋＋n＋(n－1)＋＋2＋1＝an(bn＋1)关于全部

n∈N＋都建立？若存在，求出

a，b，并证明；若不存在，说明原因．10．已知在数列

{an}中，a1＝2，an＋1＝(

2

－1)(

an＋2)，n＝1,2,3

，.求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝3bn4，n＝1,2，3，.证明：2＜bn≤a4n－3，n＝2bn31,2,3，.参照答案1.答案：BnN＋，＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为11.n22132.答案：D1＋1＋1＋＋1－1111＝1＋1＋＋232k11232k12k2k11，共增加了2k项．2k11n＋1，分子恰巧是第n＋1个正奇数，即2n＋1.3.答案：C所猜想的分式的分母为4.答案：C∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：当n＝1,2时，由上得证，设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36k＋1kk整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3－(2k＋7)·3＝(6k＋27)·3－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)f(k＋1)能被36整除．∵(1)不可以被大于36的数整除，∴所求的最大的的值等于36.fm答案：D由数学概括法原理可得，若f(3)≥9建立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2建立，故A不正确．若f(5)≥25建立，则当k≥5时，均有f(k)≥k2建立，故B不正确．若f(7)＜49建立，则当k≤6时，均有f(k)＜k2建立，故C不正确．若f(4)＝25＞42建立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2建立．6.答案：1＋1＋1＋＋2n1＞n2312不等

由3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜想第n个式为1＋1＋1＋＋1＞n.232n127.答案：7．1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4当n＝1时，原式应加到5×1－142＝2，∴原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋＋25(k＋1)－1.8.答案：25(34k＋22k＋14k＋2当＝k＋4(k＋1)＋22(k＋1)＋14k＋2＋＋5)＋56·31时，3＋5＝81×3n2k＋1＝25(34k＋22k＋14k＋2.25×5＋5)＋56×39.答案：剖析：令n＝1,2解方程组求得a，b的值，再用数学概括法证明，b的值对a全部nN等式都建立．＋解：假定存在a，b使22222222关于全部1＋2＋3＋＋n＋(n－1)＋＋2＋1＝an(bn＋1)ab11,a1n,n解得3＋a4b13b2.下边用数学概括法证明＝1，＝2时等式对全部nN都建立．3＋当n＝1时，已证．假定当n＝k(kN＋)时等式建立，即12＋22＋32＋＋k2＋(k－1)2＋＋22＋12＝1k(2k2＋1)；3则当n＝k＋1时，12＋22＋＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋＋22＋121k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝1k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)233＝1k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝1(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝1(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．333∴当n＝k＋1时，等式也建立．由(1)和(2)，知存在a＝1，b＝2，使等式对全部nN＋都建立．310.答案：解：(1)由题设a＝(2－1)(a＋2)n＋1n＝(2－1)(an－2)＋(2－1)(2＋2)＝(2－1)(an－2)＋2，因此a－2＝(2－1)(a－2)．n＋1n因此数列{an－2}是首项为2－2，公比为2－1的等比数列．则an－2＝2(2－1)n，即an的通项公式为an＝2[(2－1)n＋1]，＝1,2,3，.n用数学概括法证明．①当n＝1时，由于2＜2，b1＝a1＝2，因此2＜b1≤a1，结论建立．②假定当n＝k时，结论建立，即2＜bk≤a4k－3，也即0＜bk－2≤a4k－3－2.则当n＝k＋1时，bk＋1－2＝3bk4－22bk3＝322bk432＝