高一数学必修二课件第十章 第二节排列与组合

第二节排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素的所有不同排列的个数组合数组合的个数3.排列数与组合数公式(1)排列数公式①②(2)组合数公式4.组合数的性质判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.()【解析】(1)错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误.(2)错误.因为相同的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错误.(3)正确.当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相同.(4)正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√1.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法有()(A)36种(B)30种(C)42种(D)60种【解析】选A.3人中至少有1名女生包括1女2男及2女1男两种情况，因此不同的选法种数为＝30+6＝36.2.某电视台在直播2012年伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播，则不同的播放方式有()(A)120种(B)48种(C)36种(D)18种【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2×3×＝36(种)不同的播放方式.3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人座位不变，则不同的调整方式有()(A)12种(B)70种(C)210种(D)105种【解析】选B.分两步完成此事.第一步任选3人共有种不同的方法；第二步这3个人相互交换座位共有2种方法.由分步乘法计数原理可知：共有×2＝70(种)不同的调整方式.【解析】答案：1205.若则x=_____.【解析】由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.答案：7或9

考向1排列问题的应用【典例1】(1)8名学生和2位老师排成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()(2)(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()(A)3×3！(B)3×(3！)3(C)(3！)4(D)9！(3)设a1,a2,…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i=1,2,…,n)，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，2的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，6的顺序数为3的不同排列的种数为()(A)480(B)690(C)720(D)840【思路点拨】(1)采用插空法求解.(2)采取“捆绑法”求解.(3)8的左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第三个位置，6的位置需要根据7的位置而确定，因为除了8和7以外所有数都比它小，需要分类求解.6在7左面和6在7右面，根据分类和分步得到结果.【规范解答】(1)选A.8名学生共有种排法，把两位老师插入到9个空中，有种排法，因此共有种排法.(2)选C.分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全排列，共有

(种)坐法；然后每家3口人，再各自全排列，则有

(种)坐法；据分步乘法计数原理，共有

(种)坐法.(3)选D.8的左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第三个位置；而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大.6可能在第五个位置，因为左边除了8以外，所有的数都比它小时满足它的顺序数为3；6可能排在第六个位置，7排在6的左边时，满足它的顺序数为3，∴要分两种情况进行讨论.当6在第五个位置时，需要在其右边三个位置上排列7，余下的数字在5个位置上全排列，共有种结果；当6排在第六个位置时，需要把7在其左边四个位置上选一个排列，余下的5个数字全排列，共有

(种)结果，根据分类加法计数原理知，共有360+480=840(种).故选D.【互动探究】本例题(2)中“每家人坐在一起”改为“某一家人不相邻，其余两家每家人坐在一起”，则不同的坐法种数是多少？【解析】先让每家人坐在一起的两家坐，共有种方法，再排一家人都不相邻的，采用插空法，有种方法，由分步乘法计数原理可知有

(种)方法.【拓展提升】1.解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法法定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列2.解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置.(2)分排问题直排法处理.(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法.【变式备选】有3张都标着字母A，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成汽车牌号，则可以组成不同牌号的总数等于_______(用数字作答).【解析】若无字母A，则有种；若含有一个字母A，则有种；若含有两个字母A，则有种；若含有三个字母A，则有种.综上所述，共有=4020(种).答案：4020考向2组合问题的应用【典例2】(1)(2013·聊城模拟)2013年某通讯公司推出了一组手机卡号码，卡号的前七位数固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“1”或恰带有两个数字“3”的一律作为“金蛇卡”享受一定的优惠政策.则这组号码中“金蛇卡”的张数为()(A)484(B)972(C)966(D)486(2)6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排2名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()(A)12(B)9(C)6(D)5(3)(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()(A)60种(B)63种(C)65种(D)66种【思路点拨】(1)先分类，然后再排列，其中一类有2个1，另一类有2个3.(2)可依据题目要求进行分类讨论，再利用分类加法计数原理即可得出结论.(3)分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况进行分类讨论.【规范解答】(1)选C.①当后四位数有2个1时，“金蛇卡”共有×9×9=486(张)；②当后四位数有2个3时，“金蛇卡”共有×9×9=486(张)，但这两种情况都包含了2个1和2个3组成的这种情况，∴应减去=6个，即“金蛇卡”共有486×2-6=966(张).(2)选B.当乙、丙中有一人在A社区时有＝6(种)安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有＝3(种)安排方法，所以共有9种不同的安排方法.(3)选D.均为奇数时，有＝5(种)；均为偶数时，有＝1(种)；两奇两偶时，有＝60(种)，由分类加法计数原理可知，共有66种.【拓展提升】1.解决组合应用题的一般思路首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理.2.组合问题的常见题型及解题思路常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题.解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.3.含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解.【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.【变式训练】(2013·广州模拟)如图，∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A2,A3,A4，B1,B2,B3为顶点的三角形个数为()(A)30(B)42(C)54(D)56【解析】选B.方法一：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形个，再减去三点共线的情形即可.方法二：直接法.将点O归到直线ON上，分在ON上取1个点，2个点去解，共有考向3排列、组合问题的综合应用【典例3】(1)2012伦敦奥运会组委会从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()(A)48种(B)36种(C)18种(D)12种(2)(2012·北京高考)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()(A)24(B)18(C)12(D)6(3)(2013·昆明模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为_______.【思路点拨】(1)先分类讨论，再看是否与顺序有关，确定是排列还是组合，从而解决问题.(2)考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十位.个位必须是奇数.(3)可用间接法做，先分组再排列，最后减去甲、乙两人分在同一班的排法.【规范解答】(1)选B.分A和B都选中和只选中一个两种情况：当A和B都选中时，有种选派方案；当A和B只选中一个时，有种选派方案，所以不同的选派方案共有

(种).(2)选B.当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位百位全排列即可，共有

(个).当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有＝6(个).综上，共有12+6＝18(个).(3)∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，用间接法解：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是个元素进行排列，有种，而甲、乙被分在同一个班的有种，∴满足条件的种数是种.答案：30【拓展提升】1.求解排列、组合应用题的一般步骤(1)弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问题或组合问题，其中“有序”是排列问题，“无序”是组合问题.(2)通过分析，对事件进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面情况.(3)分析上述解法中有没有重复和遗漏现象，若有，则计算出重复数和遗漏数.(4)列出算式并计算作答.2.解排列、组合应用题的基本方法(1)直接法：直接列出符合条件的所有排列或组合，再求出排列数或组合数.(2)间接法：不考虑限制条件计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数，余下的就是满足条件的方法数.(3)分类法：选定一个适当的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各类型的方法数，再由分类加法计数原理得出结论.(4)分步法：选定一个适当的标准，将事件分成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法数，再由分步乘法计数原理得出结论.【变式训练】(1)12名同学合影，前排站4人后排站8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()【解析】选C.从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人之间及首尾的5个空中插入一人，有5种插法，余下的一人则要插入前排5人之间及首尾的空中，有6种插法，故为综上故选C.(2)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛,且入选的3名队员中至少有一名老队员,则1，2号中至少有1名新队员的排法有________种.(以数字作答)

【解析】两老一新时,有

(种)排法;两新一老时,有

(种)排法,即共有48种排法.答案：48【创新体验】排列、组合的新定义问题【典例】(2012·湖南高考)设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个位置和后个位置，得到排列P1＝x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1，例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N＝16时，x7位于P2中的第______个位置.(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第______个位置.【思路点拨】

找准创新点C变换：将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个位置和后

个位置，得到新排列

寻找突破口由C变换的定义及(1)中的具体解法，找规律，再推广到(2)中求解

【规范解答】(1)当N=16时，P0=x1x2…x16.由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16，又将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，由此知x7位于P2中的第6个位置.(2)考察C变换的定义及(1)计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4为公差的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1,9,5,13,…,由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n(n≥8)，故每段的数字有2n-4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n-4+11个位置.答案：(1)6(2)3×2n－4＋11【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了演绎推理、归纳推理的方法在解题中的应用，即依据C变换的定义，推出当N＝16时x7位于P2中的位置；然后依据(1)的解题方法，归纳出N＝2n时x173的具体位置.2.技巧提升：对于排列、组合类新定义问题，常见的类型有新定义下排列数、组合数的个数，新定义下的排列方式如何等.新定义问题构思巧妙，隐蔽性强，问题的背景新颖，考查的内容除了理解新定义、应用新定义外，还考查数学中的基础知识和基本技能，解题的关键是抓住新定义及新概念的特征，将新信息与所学知识结合起来，转化为已知的或所学过的数学知识解决，本题是转化为演绎推理与归纳推理两种方法解决.1.(2013·兰州模拟)市内某公共汽车站10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是()(A)240(B)480(C)600(D)720【解析】选B.先让各人坐好，这样还有6把椅子，恰好有五个连续空座位，可将空椅子分成二组插空，共有=480(种)候车方法.2.(2013·衡阳模拟)把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有()(A)2680种(B)4320种(C)4920种(D)5140种【解析】选B.先将7盆花全排列，共有种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有种，故所求摆放方法有

(种).3.(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()(A)232(B)252(C)472(D)484【解析】选C.从16张不同的卡片中任取3张共有＝