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文档简介
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知识点总结:
1.四边形的内角和与外角和定理:
A
(1)四边形的内角和等于360°;D
(2)四边形的外角和等于360°.
2.多边形的内角和与外角和定理:BC
A4
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°;D
(2)任意多边形的外角和等于360°.3
3.平行四边形的性质:12
BC
(1)两组对边分别平行;
DC
(2)两组对边分别相等;
因为ABCD是平行四边形(3)两组对角分别相等;O
(4)对角线互相平分;
AB
(5)邻角互补.
4.平行四边形的判定:
(1)两组对边分别平行
DC
(2)两组对边分别相等
(3)两组对角分别相等ABCD是平行四边形.O
(4)一组对边平行且相等
AB
(5)对角线互相平分
5.矩形的性质:
DC
(1)具有平行四边形的所有通性;
O
因为ABCD是矩形(2)四个角都是直角;
AB
(3)对角线相等.DC
AB
6.矩形的判定:
(1)平行四边形一个直角DC
(2)三个角都是直角四边形ABCD是矩形.
O
(3)对角线相等的平行四边形
AB
DC
7.菱形的性质:
AB
因为ABCD是菱形D
(1)具有平行四边形的所有通性;
(2)四个边都相等;O
AC
(3)对角线垂直且平分对角.
B
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8.菱形的判定:D
(1)平行四边形一组邻边等
(2)四个边都相等四边形四边形ABCD是菱形.O
AC
(3)对角线垂直的平行四边形
9.正方形的性质:B
因为ABCD是正方形
(1)具有平行四边形的所有通性;
(2)四个边都相等,四个角都是直角;
(3)对角线相等垂直且平分对角.
DCDC
O
AB(1)AB(2)(3)
10.正方形的判定:
(1)平行四边形一组邻边等一个直角
(2)菱形一个直角四边形ABCD是正方形.
(3)矩形一组邻边等
DC
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
AB
例题
例1:如图1,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.求证:
∠BAE=∠DCF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,A
D
∴∠ABE=∠CDF,AB=CD.F
又∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,E
BC
∴△ABE≌△CDF.(图1)
∴∠BAE=∠DCF.
例2:如图2,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD
AD
于F.EF
求证:BE=CF.
O
证明:∵四边形ABCD是矩形,
BC
∴OB=OC.(图2)
又∵BE⊥AC,CF⊥BD,∴∠BEO=∠CFO=90º.
∵∠BOE=∠COF.
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∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.
评注:本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.
例3如图6,E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点,且AE=AED
CF.N
(1)求证:△ABE≌△CDF;M
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、EN,试判断四BFC
边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.(图3)
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.
(2)解析:四边形MFNE是平行四边形.
∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.
又∵M、N分别是BE、DF的中点,∴ME=FN.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠AEB=∠FBE.
∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF,即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
评注:本题是一道猜想型问题.先猜想结论,再证明其结论.
例4如图4,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分
E
别相交于点E,F.AD
求证:四边形AFCE是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,O
BC
∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.F
∵EF是AC的垂直平分线,图4
∴OA=OC,∠EOA=∠FOC,EA=EC.
∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.
∴四边形AFCE是平行四边形.DC
又∵EA=EC,
EF
∴四边形AFCE是菱形.
A
B
图5
例5如图5,四边形ABCD是矩形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点.
(1)如果,则△DEC≌△BFA(请你填上一个能使结论成立的一个条件);
(2)证明你的结论.
解析:本题是一道条件开放型问题,答案不唯一.
(1)①AE=CF;②OE=OF;③DE⊥AC,BF⊥AC;④DE∥BF等.
(2)①证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.
∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF,即AF=CE.
∴△DEC≌△BFA.
例6如图6,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点
O,E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC
交BD于点C.
(1)求证:四边形EFOG的周长等于2OB;
(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC”改为另一种四边形,
AD
OF
G
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其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG的周长等于BC2OB”
E
仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、图6不必证
明.
解析:(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.
又∵BC=CB,AB=DC,
∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.
又∵EG∥AC,∠ACB=∠GEB.
∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.
∵EG∥OC,EF∥OG,
∴四边形EGOF是平行四边形.
∴OE=OF,EF=OG.
∴四边形EGOF的周长=2(OG+GE)=2(OG+GB)=2OB.
()如图,已知在矩形中,对角线和相交于点,
27ABCDACBDOEAD
是边上一个动点(点不与、两点重合),∥交于点,∥
BCEBCEFBDACFEGACO
交BD于点C.GF
求证:四边形EFOG的周长等于2OB
BC
注意:若将矩形改为正方形,原结论成立吗?E
图7
课堂练习:
(一)精心选一选
1.下列命题正确的是()
一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
对角线相等的四边形一定是矩形
两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()
A.6<AC<10;B.6<AC<16;C.10<AC<16;D.4<AC<16
3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是()
(A)1(B)2(C)3(D)4
4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,若∠
DAB=120°,∠CFE=135°,AB=1,则AC的长为()
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3
(A)1(B)1.2(C)(D)1.5
2
5.若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BD的长是()
(A)1cm(B)2cm(C)3cm(D)
4cm
6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么
这个四边形的对角线()
(A)互相垂直(B)相等(C)互相平分(D)互相垂直且相等
7.如图,等腰△ABC中,D是BC边上的一点,DE∥AC,DF∥AB,AB=5
那么四边形AFDE的周长是()
(A)5(B)10(C)15(D)20
8.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC
边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是
().
(A)3cm(B)4cm(C)5cm(D)6cm
9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AC将梯形分成两个三角
形,其中△ACD是周长为18cm的等边三角形,则该梯形的中位线的长是().
(A)9cm(B)12cm(c)9cm(D)18cm
2
10.如图,在周长为20cm的□ABCD中,AB≠AD,AC、BDE
AD
相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为()
O
(A)4cm(B)6cm(C)8cmBC
(D)10cm
二.细心填一填
1.如果四边形四个内角之比1:2:3:4,则这四边形为____形。
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2.若正方形的对角线长为2cm,则正方形的面积为___。
3.若矩形一个内角的平分线,把另一边分为4cm,5cm两部分,则这个矩形周长
是___
4.已知:平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周
长比△BOC的周长长5cm,则这个平行四边形的各边长为_____。
5.已知:平行四边形ABCD中,AE⊥BC交CB的延长线于点E,AF⊥CD交CD
3
的延长线于点F,AB+BC+CD+DA=32cm,BC=AB,∠EAF=2∠C,则BE
5
长为___,则∠C___.
6.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是A(-2,5),B(-3,-1),
C(1,-1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形,那么点D
的坐标是.
7.已知:如图8,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E、F分别是边AB、
BC上的点,若AE=4cm,DF=3cm,且OE⊥OF,则EF的长为。
AB
O
E
CD
F
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