第3课时函数的值域学案

第二知识块基本初等函数第3课时函数的值域考点：函数的值域的定义；确定函数的值域的原则；求函数的值域的方法．考纲解读理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．重点难点考点梳理1、函数中，与自变量的值的集合.2、常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）3、几种常见函数的值域：（1）一次函数,的值域是________________________(2)二次函数，当>0时的值域是__________________________当<0时的值域是__________________________(3)反比例函数的值域是______________________________(4)指数函数的值域是__________________________（5）对数函数的值域是__________________________（6）正、余弦函数的值域为_____________;正切函数的值域为_____________;（7）“和倒函数”的值域为_____________。典例剖析例1、求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【变式与拓展】1、求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）例2、已知函数(1)当时，求函数的最小值.(2)若对任意,恒成立，试求实数a的取值范围.【变式与拓展】2、已知函数(1)若的定义域为，求实数的取值范围；(2)若的值域为,求实数的取值范围.例3、某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2022年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2022年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2022年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2022年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）【变式与拓展】3、（2022江苏卷14）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。随堂训练1、（2022重庆文数4）函数的值域是（A）（B）（C）（D）2、（2022山东文3）函数的值域为A.B.C.D.3、下列函数中值域为的是()(A)(B)(C)(D)4、函数是奇函数，且在上单调递增，(1)则在上的最大值，(2)若对所有的及都成立，则的取值范围是．．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．思维方法1、求值域时要务必注意定义域的制约；含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。2、求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。参考答案例1、解：（1）分离变量法：，∵，∴，∴函数的值域为．（2）换元法（代数换元法）：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．说明：总结型值域，变形：或（3）三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（4）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．由得：①①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，∴，∴且，∴原函数的值域为．（5），∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．（6）（法一）方程法：原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．【变式与拓展】1、解：（1）配方法[2，4]（2）换元法：（3）三角换元法：（4）判别式法：（5）不等式法：（6）用的单调性：（7）用斜率或三角函数有界性）（8）转化为距离求解(9)高次函数可用导数求解例2、解：(1)当时，∵在区间上为增函数，∴在区间上的最小值为(2)解法一：在区间上，恒成立恒成立.设∵递增，∴当时，,当且仅当时，函数恒成立，故解法二：当时，函数的值恒为正；当时，函数递增，故当时，当且仅当时，函数恒成立，故【变式与拓展】2、解：(1）依题意对一切恒成立，当时，其充要条件是，∴或.又时，满足题意，时不合题意.故或为所求.(2）依题意只要能取到上的任何值，则的值域为，故有,解得,又当即时，符合题意而时不合题意，∴为所求.例3、解析：（1）由题设知：，且时，，∴，即，∴年生产成本为万元，年收入为．∴年利润，∴．（2）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值．∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．设函数【变式与拓展】3、解析：设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值