线性代数教案(正式打印版)

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

第(1）次课授课时间（)

教学章节第一章第一、二、三节学时2学时

教材和

1。《线性代数》(第4版)同济大学编

参考书

1.教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算；

掌握逆序数的定义,并会计算；

掌握n阶行列式的定义；

2.教学重点：逆序数的计算;

3.教学难点：逆序数的计算。

1.教学内容：二、三阶行列式的定义;全排列及其逆序数;n阶行列式的定

义

2。时间安排：2学时；

3。教学方法:讲授与讨论相结合;

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

基本内容备注

1

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

第一节二、三阶行列式的定义

一、二阶行列式的定义

从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

axaxb

设二元线性方程组1111221

axaxb

2122222

用消元法，当aaaa0时,解得

11221221

abababab

x221122,x112211

1aaaa2aaaa

1122122111221221

aa

令1112aaaa，称为二阶行列式,则

aa11221221

2122

如果将D中第一列的元素a，a换成常数项b,b，则

112112

可得到另一个行列式，用字母D表示，于是有

1

ba

D112

1ba

222

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和:baba,这就

122221

是公式（2）中x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a

1

，a换成常数项b,b，可得到另一个行列式，用字母D表

1222122

示,于是有

ab

D111

2ab

212

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：abab，这就

112211

是公式（2）中x的表达式的分子。

2

于是二元方程组的解的公式又可写为

2

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D

x1

1D

其中D0

D

x2

2D

3x2x12

解线性方程组12

例1..

2xx1

12

axaxaxb

1111221331

同样,在解三元一次方程组axaxaxb时,要用

2112222332

axaxaxb

3113223333

到“三阶行列式",这里可采用如下的定义。

二、三阶行列式的定义

axaxaxb

1111221331

设三元线性方程组axaxaxb

2112222332

axaxaxb

3113223333

用消元法解得

定义设有9个数排成3行3列的数表

aaa

111213

aaa

212223

aaa

313233

记

aaa

111213,称为

Daaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

212223112233122331132132132231112332122133

aaa

313233

三阶行列式，则

3

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三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记

忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下

角三个元素取负号，即

124

例2.计算三阶行列式D221.（—14）

342

111

例3。求解方程23x0（x2或x3)

49x2

2xyz2

例4.解线性方程组xy4z0.

3x7y5z5

解先计算系数行列式

211

D114101273565690

375

再计算D,D,D

123

4

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211，221，212

D01451D10431D1105

123

575355375

D17D31D5

得x1，y2，z3

D23D69D69

第二节全排列及其逆序数

引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的

三位数？

一、全排列

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(简

称排列）.

可将n个不同元素按1~n进行编号,则n个不同元素的全

排列可看成这n个自然数的全排列.

n个不同元素的全排列共有n!种.

二、逆序及逆序数

逆序的定义:取一个排列为标准排列,其它排列中某两个

元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称有一

个逆序.

通常取从小到大的排列为标准排列,即1~n的全排列中取

123(n1)n为标准排列.

逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排

列的逆序数.

逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称

为奇排列，标准排列规定为偶排列.

5

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例1：讨论1,2,3的全排列.

全排列123231312132213321

逆序数022113

奇偶性偶奇

逆序数的计算:设ppp为123(n1)n的一个全排列，则

12n

n

其逆序数为ttttt。

12ni

i1

其中t为排在p前,且比p大的数的个数。

iii

例2：求排列54321的逆序数。

n

解：t0,t1,t2,t3,t4,tt10.

2345i

i1

(对于逆序数的计算介绍另一种算法）

第三节n阶行列式的定义

下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式。

aa

二阶行列式1112aaaa

aa11221221

2122

aa

1112aaaa(1)taa.

112212211p2p

aa12

2122

其中：①pp是1,2的全排列,②t是pp的逆序数,③

1212

是对所有1,2的全排列求和。

三阶行列式

aaa

111213

Daaaaaaaaaaaa

212223112233122331132132

aaa

313233

aaaaaaaaa

132231112332122133

6

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其中：①ppp是1,2,3的全排列，②t是ppp的逆序数，

123123

③是对所有1,2,3的全排列求和.

aaa

111213

aaa(1)taaa.

2122231p2p3'p

aaa12n

313233

其中:①ppp是1,2,,n的全排列，②t是ppp的逆

12n12n

序数,③是对所有1,2,,n的全排列求和。

0001

0020

例1。计算对角行列式：(24)

0300

4000

例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是,未写出的

i

元素都为0）

11

nn1

2，2

12

12n12n

nn

证明:按定义式

123

23

1212n

1

n

nn

12

3

211n311n11n1

112

n

nn

nn1

12

12n

例3。证明下三角行列式

7

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a0

11

aa.

D2122aaa

1122nn

aaa

n1n2nn

证明：按定义式得

a0

a033

22a。

aa43aaa

Da3233aa1122nn

111122

aaaaaa

n2n3nnn3n4nn

以上，n阶行列式的定义式，是利用行列式的第一行元素来定

义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开

式.

8

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小结：

1。二三阶行列式的定义;

回顾和小结

2.全排列及其逆序数;

3。n阶行列式的定义.

思考题：

123

1.计算三阶行列式D789

复习思考题或作业456

题

2。求排列54321的逆序数.

作业题：

习题一：第1（1,3）、2（2,4，6）

1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全

排列及的定义概念，会计算二、三阶行列式；

实施情况及分析2。对其逆序数等方面的应用有待加强。

9

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第（2）次课授课时间（）

10

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教学章节第一章第四、五节学时2学时

教材和

《线性代数》(第4版）同济大学编

参考书

n

1.教学目的：掌握对换的概念；掌握阶行列式的性质,会利用n阶行列

式的性质计算n阶行列式的值；

2.教学重点：行列式的性质；

3.教学难点：行列式的性质。

1.教学内容：对换;行列式的性质；

2.时间安排：2学时;

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段:黑板讲解与多媒体演示.

基本内容备注

11

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第四节对换

对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元

素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．

例:aaabbb-—aababb。

1l11l1

定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇

偶性。

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，

偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证明：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的

变化次数,而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知推论成

立

定理2：n阶行列式为：

aaa

111213

aaa

212223(1)taaa.

p1p2pn

12n

aaa

n1n2n1

其中t为ppp的逆序数。

12n

12

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（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）

（补充）定理3n阶行列式也可定义为

aaa

111213

aaa

212223(1)taaa.

pqpqpqn

11212n1

aaa

n1n2n1

其中ppp和qqq是两个n级排列,t为行标排列逆

12n12n

序数与列标排列逆序数的和.

练习：试判断aaaaaa和aaaaaa是否都是

142331425665324314512566

六阶行列式中的项。

第五节行列式的性质

转置行列式的定义

aaa

11211naaa

aaa1121n1

记21222nT=aaa(）

DD1222n2D

aaaaaa

n1n2nn1n2nnn

行列式DT称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）

一、n阶行列式的性质

性质1：行列式与它的转置行列式相等.

由此知，行与列具有同等地位。关于行的性质，对列也同

样成立，反之亦然。

abac

如:DDT

cdbd

13

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以r表示第i行,c表示第j列。交换i,j两行记为rr，

ijij

交换i,j两列记

作cc.

ij

性质2：行列式互换两行(列），行列式变号.

推论：行列式有两行(列）相同，则此行列式为

零。

性质3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k，

等于用数k乘以该行列式。

推论:行列式的某一行（列）所有元素的公因子

可以提到行列式符号外。

性质4：行列式中有两行（列）的元素对应成比例，

则此行列式为零。

性质5:若行列式中某一行(列）的元素都是两数之

和,则此行列式等于两个行列式之和.

aa(aa)a

11121i1i1n

aaaaa

即若D21222i2i2n

aaaaa

n1n2nininn

aaaaaaaa

11121i1n11121i1n

aaaaaaaa

则D21222i2n+21222i2n.

aaaaaaaa

n1n2ninnn1n2ninn

性质6：把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加

到另一行(列)上，则该行列式不变.

二、n阶行列式的计算：

14

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2512

3714

例1。计算D。

5927

4612

251215221522

3714cc1734rr0216

解：D1321

59272957r2r0113

r3r1

46121642410120

15221522

rr

r2r

240036240120。

9

rr

3400330030

01200003

abbba3ba3ba3ba3b

babbrrrrbabb

例2。D1234

bbabbbab

bbbabbba

111111111

r

1a3brbr

babbi10ab00

a3ba3b

bbabi2,3,400ab0

bbba000ab

(a3b)(ab)。

(推广至n阶，总结一般方法)

pqqrrppqr

例3.证明:pqqrrp2pqr.

111111111

pqqrrppqr

222222222

pqrrpqqrrp

证明：左端第一列pqrrpqqrrp

1111111111

性质5pqrrpqqrrp

2222222222

pqrrqrrppqrqrp

pqrrqrrppqrqrp

11111111111111

pqrrqrrppqrqrp

22222222222222

15

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pqr

2pqr.

111

pqr

222

例4.计算2n阶行列式.

ab

ab

ab

D(adbc)n

cd

cd

cd

(利用递推法计算）

aa

111k

0

aa

例5。Dk1kk,

ccbb

111k111n

ccbb

n1nkn1nn

bb

aa111n

111k

Ddet(a),Ddet(b).

1ij2ij

aa

k1kkbb

n1nn

证明：DDD。

12

16

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

小结:

对换和n阶行列式的性质与计算

回顾和小结

1。对换的定义及两个定理；

2。n阶行列式的性质与计算；

思考题：

1.把排列54132作一次对换变为24135，问

相当于作几次相邻对换?把排列12345作偶

数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排

复习思考题或作业

题列？

0aba

2.计算：

a0ab.

D

ba0a

aba0

作业题：

习题一：第3，4（2，4）,5（2，4，5）

17

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

1.通过学习学员掌握了n阶行列式的定义和

对换的概念;

实施情况及分析2。对利用n阶行列式的定义和对换等方面的

应用有待加强.

18

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第（3）次课授课时间（）

教学章节第一章第六节学时2学时

教材和

1.《线性代数》（第4版)同济大学编；

参考书

1.教学目的:了解余子式和代数余子式的概念;掌握行列式按行（列）展

开；

2.教学重点：行列式按行（列）展开；

3.教学难点：行列式按行（列）展开.

19

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

1.教学内容:行列式按行（列）展开；

2.时间安排：2学时；

3.教学方法：讲授与讨论相结合;

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

基本内容备注

20

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第六节行列式按行(列）展开

定义在n阶行列式中，把元素a所处的第i行、第j列划去,

ij

剩下的元素按原排列构成的n1阶行列式，称为a的余子式，记

ij

为M；而A(1)ijM称为a的代数余子式。

ijijijij

引理如果n阶行列式中的第i行除a外其余元素均为零，

ij

aaa

111j1n

即：。

D0a0

ij

aaa

n1njnn

则：DaA。

ijij

a00

11

证先证简单情形：aaa

D21222n

aaa

n1n2nn

再证一般情形：

定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的

代数余子式乘积之和,即

按行：aAaAaA0ij

i1j1i2j2injn

按列:aAaAaA0ij

1i1j2i2jninj

证：

21

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

（此定理称为行列式按行（列）展开定理)

aaa

11121n

Da000a000a

i1i2in

aaa

n1n2nn

aaaaaaaaa

11121n11121n11121n

a000a000a

i1i2in

aaaaaaaaa

n1n2nnn1n2nnn1n2nn

aAaAaA(i1,2,n).

i1i1i2i2inin

3112

例1：5134。

D

2011

1533

解:

21

12

例2：D

n

21

12

22

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

211001

1212

rr

解：D12n

n

2121

1212

Dn1。

n

从而解得Dn1。

n

例3．证明范德蒙行列式

111

xxx

12n.

Dx2x2x2xx

n12nij

nij1

xn1xn1xn1

12n

其中，记号“"表示全体同类因子的乘积。

证用归纳法

11

因为Dxxxx

2xx21ij

2ij1

12

所以，当n2n=2时，(4）式成立.

现设(4)式对n1时成立,要证对n时也成立。为此，设法把

D降阶；从第n行开始，后行减去前行的x倍，有

n1

1111

0xxxxxx

2131n1

D0xxxxxxxxx

n221331nn1

0

0xn2xxxn2xxxn2xx

221331nn1

（按第一列展开，并提出因子xx）

i1

23

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

111

xxx

xxxxxx23nn1阶范德蒙行列式

2131n1

xn2xn2xn2

23n

由假设

xxxxxxxx=xx

2131n1ijij

nij2nij1

定理的推论行列式一行(列）的各元素与另一行（列)

对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即

aAaAaA0ij

i1j1i2j2injn

按列：aAaAaA0ij

1i1j2i2jninj

结合定理及推论,得

nn1,(ij)

aAD,aAD,，其中.

ikjkijkikjijij0(ij)

k1k1

53120

17252

例4。计算行列式D02310的值。

04140

02350

24

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

小结:

行列式按行（列）展开。

回顾和小结

1.余子式和代数余子式的概念；

2.行列式按行（列）展开；

123n

1200

思考题:设：

D1030,

n

100n

复习思考题或作业题

求第一行各元素的代数余子式之和

作业题：

习题一：第7(2，3,5,6）

1。通过学习学员理解了余子式和代数余子

式的概念，掌握行列式按行（列）展开；

实施情况及分析

2。对利用行列式按行（列）展开的方法计

算行列式等方面的应用有待加强.

25

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

第(4）次课授课时间（）

教学章节第一章第七节学时2学时

教材和

《线性代数》（第4版）同济大学编

参考书

1.教学目的：了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克

拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；

2.教学重点:克拉默法则的应用；

3.教学难点：克拉默法则的应用。

1.教学内容：克拉默法则；

2.时间安排:2学时;

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4。教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

基本内容备注

26

(完整word版)线性代数教案(正式打印版)

第七节克拉默法则

含有n个未知数x,x,...,x的n个方程的线性方程组

12n

axaxaxb

1111221nn1

axaxaxb

2112222n22(1）

axaxaxb

n11n22nnnn

与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示。

定理1（Cramer法则）如果线性方程组（1)的系数行列式不

等于零,即

aa

111n

D0,

aa

n1nn

则方程组(1）有且仅有一组解：

DDD

x1,x2,…,xn(2)

1D2DnD

其中Dj1,2,...,n是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组

j

右端的常数列代替,而其余列不变所得到的n阶行列式

aabaa

111,j111,j11n

aabaa。

D212,j122,j12n

j

aabaa

n1n,j1nn,j1nn

(证明在第二章)

当b,b,...,b全为零时，即

12n

axax