2023中考数学圆的综合题压轴题圆的专题复习题及练习题答案

2023中考数学圆的综合题压轴题圆的专题复习题及练习题答案二．垂径定理（共9小题）31．（2023•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．523 B．33 C．32 D．32．（2023•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．1533．（2023•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．29134．（2023•南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．35．（2023•鸡西）在半径为5的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝．36．（2023•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为cm．37．（2023•牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝23，则弦AB的长为．38．（2023•甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．39．（2023•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是．三．垂径定理的应用（共2小题）40．（2023•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm41．（2023•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）42．（2023•广安）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40° B．60° C．56° D．68°43．（2023•内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°五．圆周角定理（共7小题）44．（2023•巴中）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB=22，则⊙O的半径OAA．2 B．2 C．22 D．45．（2023•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°46．（2023•柳州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（）A．35° B．40° C．55° D．70°47．（2023•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25° B．30° C．40° D．50°48．（2023•兰州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A．40° B．60° C．70° D．80°49．（2023•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57° B．52° C．38° D．26°50．（2023•赤峰）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A．35 B．-34 C．34一．圆内接四边形的性质（共6小题）1．（2023•广西）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH=3，∠ABC＝120°，则AB+BCA．2 B．3 C．2 D．52．（2023•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54° B．62° C．72° D．82°3．（2023•张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°4．（2023•牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若AC=BC，∠BDC＝50°，则∠A．125° B．130° C．135° D．140°5．（2023•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°6．（2023•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．二．点与圆的位置关系（共3小题）7．（2023•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．2+1 B．2+12 C．22+18．（2023•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．9．（2023•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为，线段DH长度的最小值为．三．三角形的外接圆与外心（共19小题）10．（2023•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30° B．25° C．15° D．10°11．（2023•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π12．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．55 B．255 C．1213．（2023•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°14．（2023•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4 B．43 C．833 D．16．（2023•嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A．23 B．343 C．32317．（2023•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则AC的长为．18．（2023•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则BC的长等于．19．（2023•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为．20．（2023•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝．21．（2023•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝°．22．（2023•广元）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB＝．23．（2023•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝°．24．（2023•安顺）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．25．（2023•南充）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝．26．（2023•遵义）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．27．（2023•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A=b（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．（2023•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求CD的长．四．直线与圆的位置关系（共11小题）29．（2023•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定30．（2023•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为．31．（2023•上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．32．（2023•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠FBC=13，DF＝2，求⊙33．（2023•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．34．（2023•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝23，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．35．（2023•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．36．（2023•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=337．（2023•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．38．（2023•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．39．（2023•南充）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．五．切线的性质（共11小题）40．（2023•西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（）A．3 B．2 C．23 D．41．（2023•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°42．（2023•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62° B．31° C．28° D．56°43．（2023•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点FA．1-π4 B．π-14 C．2-π444．（2023•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108° B．72° C．54° D．36°45．（2023•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线46．（2023•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（）A．75° B．70° C．65° D．60°47．（2023•天水）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°48．（2023•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）49．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）A．20° B．25° C．30° D．50°50．（2023•达州）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的AB恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（）A．53π B．52π C．54π D一．切线的性质（共41小题）1．（2023•哈尔滨）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（）A．25° B．20° C．30° D．35°2．（2023•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（）A．65° B．55° C．45° D．35°3．（2023•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．（2023•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2A．4-π2 B．2-π2 C．2﹣π 5．（2023•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C．2 D．36．（2023•西宁）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板的一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，AB对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC长为3，则图中扇形AOB的面积是．7．（2023•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为．8．（2023•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝23，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．9．（2023•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD=12r，②若△AOC为正三角形，则CD=32r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为10．（2023•鄂州）如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2-3）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（23π-3）11．（2023•鄂州）如图，已知直线y=-3x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为12．（2023•菏泽）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，MN的长为π，则图中阴影部分的面积为．14．（2023•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝．15．（2023•苏州）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是°．16．（2023•自贡）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．17．（2023•台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．18．（2023•宁波）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．19．（2023•杭州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC=13，则tan∠BOC＝20．（2023•陕西）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．21．（2023•济南）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．22．（2023•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB=512，BC＝1，求23．（2023•鞍山）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF=35，求⊙24．（2023•包头）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=34，5BF﹣5AD＝4（1）求AE的长；（2）求cos∠CAG的值及CG的长．25．（2023•十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．26．（2023•益阳）如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D．求证：AC＝BD．27．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD=245，求⊙28．（2023•山西）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．29．（2023•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．30．（2023•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．31．（2023•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．32．（2023•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．33．（2023•金昌）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．34．（2023•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．35．（2023•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sinC=13，BD＝8，求36．（2023•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．37．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．38．（2023•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．39．（2023•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．40．（2023•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠CAB；（2）若ADAB=23，AC＝241．（2023•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．二．切线的判定（共4小题）42．（2023•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．43．（2023•宜昌）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．44．（2023•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分AC；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．45．（2023•新疆）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若AC＝5，sin∠APC=513，求三．切线的判定与性质（共5小题）46．（2023•广西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若CE＝1，OA=3，求∠ACB47．（2023•广安）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．（1）求证：直线DE是⊙O的切线．（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．48．（2023•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB＝26，AD＝3，求直径AE的长．49．（2023•兰州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OC＝2，求OA的长．50．（2023•西藏）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．圆二．垂径定理（共9小题）31．（2023•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．523 B．33 C．32 D．【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC＝DF＝【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF=12∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∠DFE=∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF=12∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC=AB2故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．32．（2023•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．【解答】解：如图所示：连接OD，∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC=DO∴DE＝2DC＝12．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．33．（2023•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．291【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，∴OC＝10，OM＝6，∵AB⊥CD，∴AM=OA2∴AB＝2AM＝16．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．34．（2023•南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为12cm．【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC＝BC=12AB＝5，然后利用勾股定理计算【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC=12AB＝在Rt△OAC中，OC=13所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．35．（2023•鸡西）在半径为5的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝12或32或9【分析】如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12如图1，在Rt△OBE中，∵OB=5，BE＝2∴OE=OB同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴PA＝PC＝1，∴S△APC=1如图2，同理：S△APC=1如图3，同理：S△APC=1故答案为：12或32或【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．36．（2023•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝4cm，CF＝DF=12CD在Rt△OAE中，OE=AO2在Rt△OCF中，OF=CO2当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．37．（2023•牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝23，则弦AB的长为12或4．【分析】分∠OAM＝30°，∠AOM＝30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可．【解答】解：∵OM⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，则tan∠OAM=OM∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，则tan∠AOM=AM∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．故答案为：12或4．【点评】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论．38．（2023•甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=12CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH=12CD=12∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH=OC故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．39．（2023•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是3．【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝在Rt△OCH中，OH=52所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．三．垂径定理的应用（共2小题）40．（2023•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD=12AB=12×48∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD=OB2-B∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．41．（2023•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+5【解答】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴AD=BD=12AB=设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）42．（2023•广安）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40° B．60° C．56° D．68°【分析】接OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD＝68°，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD＝68°，求得∠COD＝44°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．【解答】解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOD＝68°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝68°，∴∠COD＝44°，∴∠AOC＝112°，∴∠B=12∠AOC＝故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．43．（2023•内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB=12∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠【解答】解：连接OB，如图，∵点B是AC的中点，∴∠AOB=12∠AOC=12∴∠D=12∠AOB＝故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．五．圆周角定理（共7小题）44．（2023•巴中）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB=22，则⊙O的半径OAA．2 B．2 C．22 D．【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，再求出OA即可．【解答】解：根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵AB＝22，OA＝OB，∴2OA2＝AB2，∴OA＝OB＝2，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，能求出△AOB是直角三角形是解此题的关键．45．（2023•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论【解答】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠D＝100°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．46．（2023•柳州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（）A．35° B．40° C．55° D．70°【分析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案．【解答】解：∵如图，∠BOC＝70°，∴∠A=12∠BOC＝故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键47．（2023•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25° B．30° C．40° D．50°【分析】由平行线的性质得∠ACB＝∠A＝25°，由平行线的性质和圆周角定理得∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，由圆周角定理得∠BCD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵BC∥OA，∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题的关键．48．（2023•兰州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A．40° B．60° C．70° D．80°【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．49．（2023•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57° B．52° C．38° D．26°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．50．（2023•赤峰）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A．35 B．-34 C．34【分析】连接BC，如图，先利用勾股定理计算出BC＝5，再根据正弦的定义得到sin∠OBC=35，再根据圆周角定理得到∠ODC＝∠OBC，从而得到sin∠【解答】解：连接BC，如图，∵B（﹣4，0），C（0，3），∴OB＝4，OC＝3，∴BC=32∴sin∠OBC=OC∵∠ODC＝∠OBC，∴sin∠CDO＝sin∠OBC=3故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．一．圆内接四边形的性质（共6小题）1．（2023•广西）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH=3，∠ABC＝120°，则AB+BCA．2 B．3 C．2 D．5【分析】延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，再判断△DAC为等边三角形得到DA＝DC，于是可证明△ADE≌△BCD，所以∠E＝∠DBC＝60°，接着判断△DBE为等边三角形，所以BH＝EH，然后计算出BH得到BE的长，从而得到AB+BC的长．【解答】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，∵BD平分∠ABC，2023中考数学圆的综合题压轴题圆的专题复习题及练习题答案∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC=12∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，∴△DAC为等边三角形，∴DA＝DC，在△ADE和△BCD中，AE=BC∠DAE=∠DCB∴△ADE≌△BCD（SAS），∴∠E＝∠DBC＝60°，而∠DBA＝60°，∴△DBE为等边三角形，∵DH⊥AB，∴BH＝EH，在Rt△BDH中，BH=33DH=∴BE＝2BH＝2，∴AB+BC＝2．故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了圆周角定理．2．（2023•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54° B．62° C．72° D．82°【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．3．（2023•张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．（2023•牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若AC=BC，∠BDC＝50°，则∠A．125° B．130° C．135° D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据AC=BC得到∠AOC，从而得到∠【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵AC=∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC=12∠AOC＝∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．5．（2023•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．6．（2023•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积=25【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM=12AD＝1，AM∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD=12CD•AMRt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC=A∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC=19∴BN=32BC∴S△ABC=1∴四边形ABCD的面积=19∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，∠E=∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积=25【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二．点与圆的位置关系（共3小题）7．（2023•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．2+1 B．2+12 C．22+1【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．2023中考数学圆的综合题压轴题圆的专题复习题及练习题答案【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝22，∴CD＝22+1∴OM=12CD=2+1故选：B．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．8．（2023•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为25-2【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=22+∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE=12MN＝∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为25-2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥25-故答案为25-2【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（2023•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为32，线段DH长度的最小值为13-2【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM＝2FN，推出EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=AE2+ME2∴PQ＝32，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12∴OD=D∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM∵DH≥OD﹣OH，∴DH≥13-2，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D∴DH的最小值为13-故答案为32，13-【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．三角形的外接圆与外心（共19小题）10．（2023•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30° B．25° C．15° D．10°【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A=12∠BOC＝故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．11．（2023•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．12．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．55 B．255 C．12【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD=22+在Rt△BDC中，cos∠BDC=CD由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC=2故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．13．（2023•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．14．（2023•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4 B．43 C．833 D．【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD=12AD＝∴AC=AD2故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．16．（2023•嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A．23 B．343 C．323【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．2023中考数学圆的综合题压轴题圆的专题复习题及练习题答案【解答】解：作AM⊥BC于M，如图：重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM=12BC=32，∠∴AM=3BM=∴△ABC的面积=12BC×AM=1∴重叠部分的面积=69△ABC的面积故选：C．【点评】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．17．（2023•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则AC的长为2π．【分析】连接OC，OA．证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：连接OC，OA．∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝6，∴AC的长=60⋅π⋅6180=故答案为2π．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明△AOC是等边三角形．18．（2023•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则BC的长等于52π【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出BC的长了．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝25，AC=10，BC=∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，∵OB=5∴BC的长为：90⋅π×5180故答案为：52π【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．19．（2023•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为92+9【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=∴OA=OM2∴CM＝OC+OM＝32+3∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+故答案为：92+9【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键．20．（2023•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝1．【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD．【解答】解：连接OB和OC，∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD=12OB＝故答案为：1．【点评】本题考查了圆周角定理、三角形外接圆的性质、等腰三角形三线合一、30°的直角三角形的性质等知识，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理．21．（2023•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝50°．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．（2023•广元）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB＝565【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：作直径AD，连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，∴∠ABD＝∠AHC，由圆周角定理得，∠D＝∠C，∴△ABD∽△AHC，∴ABAH=AD解得，AB=56故答案为：565【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2023•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝50°．【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．（2023•安顺）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是120度．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．（2023•南充）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝103【分析】根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，根据旋转的性质得到AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，设CE＝3x，CD＝x，由勾股定理得到DE=10x，根据相似三角形的性质得到BD=【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，∵tanD=CECD∴设CE＝3x，CD＝x，∴DE=10x∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，∴△ACE∽△BCD，∴ACBC=CECD=AE∵AE＝2，∴BD=∵∠EAC+∠CBE＝180°，∴∠CBD+∠CBE＝180°，∴D，B，E三点共线，∴BE＝DE﹣