第3讲几何概型

第3讲 几何概型[学生用书 P182]1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)＝判断正误(正确的打“√”，错误的打“×” )(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零． ( )几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． ( )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( )(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)如图，转盘的指针落在A区域的概率为()1B.1A.6911C.12D．18答案：C(教材习题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( )解析：选A.如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A)3，P(B)＝2，P(C)＝2，P(D)＝1，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．8863(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是()1B.2A.5534C.5D．5解析：选B.P＝30＝2，故选B.30＋5＋405(教材习题改编)如图，在一边长为 2的正方形 ABCD内有一曲线 L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n<m)，则L围成的区域面积(阴影部分)为()2n4nA.mB.mnnC.2mD．4m解析：选B.S阴影落在L围成的区域的豆子数n正方形＝落在正方形中的豆子数m，S所以S阴影＝n×22＝4n.mm与长度、角度有关的几何概型[学生用书 P182][典例引领](1)(2016高·考全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30发车，小明在 7：至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()1B.1A.3223C.3D．4(2)在区间ππ上随机取一个数x，则cosx的值介于0到1之间的概率为________．－，222(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为1.2(2)当－ππ1ππππ≤x≤时，由0≤cosx≤，得－≤x≤－3或≤x≤，根据几何概型概率公式222232得所求概率为1.3(3)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝ 3，∠B＝60°，所以BD＝AD＝1，∠BAD＝30°.tan60°记事件N为“在∠BAC内作射线 AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得：30° 2P(N)＝75°＝5.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.在本例(2)中，若将“cosx的值介于0到1”改为“cosx的值介于0到3”，则概率22如何？π π解：当－ ≤x≤时，2由0≤cosx≤23，πππ得－≤x≤－或≤x≤，2 6 6 2根据几何概型概率公式得所求概率为 23.2.在本例(3)中，若将“在∠ BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段 BC上找一点M”，则BM<1的概率是多少？解：依题意知BC＝BD＋DC＝1＋3，P(BM<1)＝1＝3－1.1＋32与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．[通关练习]1．(2017高·考江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）＝5－（－4）5.95答案：92．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：如题图，因为射线 OA在坐标系内是等可能分布的，则 OA落在∠yOT内的概率为60°＝1.360°6答案：16与面积有关的几何概型 (高频考点)[学生用书 P183]与面积有关的几何概型是高考命题的热点， 多以选择题或填空题的形式呈现， 多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)与平面图形面积有关的几何概型；(2)与线性规划交汇命题的几何概型．[典例引领]角度一 与平面图形面积有关的几何概型(1)(2017·考全国卷高Ⅰ)如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称． 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是()1B.πA.481πC.2D．4(2)(2016高·考全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，，xn，y1，y2，，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()4n2nA.mB.m4m2mC.nD．n(3)一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上空飞过，其中AD＝2，DC＝2，BC＝1，它可能随机落在草原上任何一处 (点)．若落在扇形沼泽区域 ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是 ( )A.1－πB.1－π21510π3πC．1－6D．1－10【解析】(1)设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，π所以黑色部分的面积为.2π根据几何概型的概率公式，得所求概率2πP＝＝.故选B.480≤xn≤122构成的图形的面积为S′，所以S′(2)设由构成的正方形的面积为S，xn＋yn＜1＝0≤yn≤1S1π＝m，所以π＝4m，故选C.1 n n(3)过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△AFD中，易知AF＝1，∠A＝45°.梯形的面积S1151×(2ππP＝＝×(2＋2＋1)×1＝，扇形ADE的面积S2＝2)×＝，则丹顶鹤生还的概率222445πS1－S2＝2－4＝1－π，故选B.S15102【答案】(1)B(2)C(3)B角度二与线性规划交汇命题的几何概型(2018广·州综合测试)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()11A.4B.223C.3D．4S阴影1×1×1【解析】依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝221.S正方形＝2＝14【答案】 A与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[通关练习]π1．(2018石·家庄市教学质量检测)如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形3AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为()A．100B.200C．400D．450解析：选C.如图所示，作 CD⊥OA于点D，连接OC并延长交扇形于点 E，设扇形半径为 R，圆Cπr2半径为r，所以R＝r＋2r＝3r，所以落入圆内的点的个数估计值为 600· ＝400.1 6π（3r）2．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤1”的概率，p2为事件“xy≤1”22的概率，则()11A．p1<p2<2B.p2<2<p111C.2<p2<p1D．p1<2<p2解析：选D.如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事111×11111”件“x＋y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为×22＝，故p1＝<，事件“xy≤228822对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于1，故p2＞1，则p1<1<p2，故选D.222与体积有关的几何概型[学生用书 P184][典例引领](1)在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．(2)在体积为 V的三棱锥 S－ABC的棱AB上任取一点 P，则三棱锥 S－APC的体积大于V的概率是________．3【解析】 (1)正方体的体积为 2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的2半球的体积为14πr31432π，则点P到点O的距离大于1的概率为1－3ππ2×＝×π×1＝＝1－.3233812(2)由题意可知VS－APC>1，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于VS－ABC3M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，VS－APCS△APCPM1，所以S－ABC＝△ABC＝BN>3VS又PM＝AP，所以AP>1，BNABAB3故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】(1)1－π(2)2123与体积有关的几何概型求法的关键对于与体积有关的几何概型问题， 关键是计算问题的总体积 (总空间)以及事件的体积 (事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[通关练习

]一个多面体的直观图和三视图如图所示，点

M是

AB的中点，一只蝴蝶在几何体

ADF-BCE

内自由飞翔，则它飞入几何体

F-AMCD

内的概率为

(

)3B.2A.4311C.3D．2解析：选D.由题图可知11313VF-AMCD＝×SAMCD×DF＝a，VADF-BCE＝a，所以它飞入几3421a34 1何体F-AMCD内的概率为 ＝.13 2判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题时，一般与面积有关系．当题干是单变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．解决几何概型问题时 ，有两点容易造成失分(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；(2)利用几何概型的概率公式时，忽视基本事件是否等可能．[学生用书 P331(单独成册)]11．在区间[0，2]上随机地取出一个数 x，则事件“－ 1≤log1x＋2≤1”发生的概率为2()3B.2A.4311C.3D．4解析：选A.不等式－1≤log1x＋1≤1可化为log12≤log1x＋1≤log11，即1≤x＋1≤2，222222222解得0≤x≤3，故由几何概型的概率公式得3－03.P＝2＝22－042．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()11A.6B.324C.3D．5解析：选C.设AC＝x(0<x<12)，则CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得0<x<4或8<x<12.4＋4 2所以P＝ ＝.12 33.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π，若3在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()3363A．2－πB.4－πC.1－3D．232π3解析：选B.设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝241πr2－3r2＝4πr2－63r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的64概率为S＝4－6 3，故选B.S′ π4．已知平面区域 D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域 D内任取一点，则取到的点位于直线 y＝kx(k∈R)下方的概率为 ( )11A.2B.323C.3D．4解析：选A.由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，所求概率为1.25.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为 ( )A.1B.32211C.3D．4π解析：选C.当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝3，A′点在A点左右都可取得，2π故由几何概型的概率计算公式得P＝3＝1，故选C.2π36.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为3a2.4由正弦定理得2R＝a，即R＝3sin60°3a，212所以圆的面积S＝πR＝3πa.32a4 3 3由几何概型的概率计算公式得概率 P＝ ＝ .3 3答案：7.如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于1的概率为________．41111解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于4，则2×1×1×sin∠AOB<4，所以sin∠AOB<2，π5π1的概率为1.所以0<∠AOB<或π，所以△AOB66<∠AOB<的面积小于43答案：138．一只昆虫在边长分别为 5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于 2的概率为________．解析：如图，△ABC为直角三角形，且BC＝5，AC＝12.图中阴影部分是三个分别以A，B，C为圆心，2为半径的扇形，所以12所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率PS阴＝π×2＝2π.2＝S阴＝2π＝π.S△ABC1×12×5152答案：15π9．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M.1(1)求四棱锥 M-ABCD的体积小于6的概率；(2)求M落在三棱柱 ABC-A1B1C1内的概率．解：(1)正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，令1×S四边形ABCD×h＝1.36因为S四边形ABCD＝1，所以h＝1.2若体积小于1，61则h<，即点M在正方体的下半部分，1V正方体所以P＝2 ＝1.V正方体2(2)因为V三棱柱ABC-ABC＝1×12×1＝1，11122V三棱柱ABC-A1B1C11所以所求概率P1＝V正方体＝2.10．已知集合 A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于2的概率．2解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，S1 π故所求概率为 P1＝ ＝.S 8(2)由题意|x＋y|≤2，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，22S2 1故所求概率为 P2＝S＝2.1．已知P是△ABC所在平面内一点，→→→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABCPB＋PC＋2PA内，则黄豆落在△PBC内的概率是()11A.4B.312C.2D．3解析：选C.如图所示，设点M是BC边的中点，因为→→→PB＋PC＋2PA＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝S△PBC＝1，故选C.S△ABC22．任取实数a、b∈[－1，1]，则a、b满足|a－2b|≤2的概率为()A.1B.18437C.4D．8解析：选D.建立如图所示的坐标系，因为 |a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a－2b|≤2的概率为S阴影＝7.正方形S83．在区间ππx，则sinx＋cosx∈[1，2]的概率是()－，上随机取一个数6213A.2B.435C.8D．8ππ解析：选B.因为x∈－， ，6 2ππ3π所以x＋∈，，4124由sinx＋cosx＝2sinx＋π∈[1，2]，4得

2≤sinx＋π≤1，2 4π所以x∈0，2，π－03故要求的概率为ππ＝4.－2 64.我国古代数学家赵爽在 《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明． 如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形 (即直角三角形 )之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱 (红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A．866B.500C．300D．134解析：选D.设勾为a，则股为3a，所以弦为2a，小正方形的边长为3a－a，所以题图中大正方形的面积为2(224a，小正方形的面积为3－1)a，所以小正方形与大正方形的面（3－1）23(小正方形)内的图钉数大约为3积比为4＝1－2，所以落在黄色图形1－2×1000≈134.5．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为

0的小球

1个，标号为

1的小球

1个，标号为

2的小球

n个．若从袋子中随机抽取

1个小球，取到标号为

2的小球的概率是12.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件 A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．n 1解：(1)依题意 ＝，得n＝2.(2)①记标号为 0的小球为 s，标号为 1的小球为 t，标号为 2的小球为 k，h，则取出 2个小球的可能情况有： (s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t