2023届安徽省天长市数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题若实数满足，则或，，，则下列命题正确的是()A． B． C． D．2．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知复数且，则的范围为（）A． B．C． D．4．设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A． B． C． D．5．若，则()A． B． C．或 D．或6．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（）A．“两次得到的点数和是12”B．“第二次得到6点”C．“第二次的点数不超过3点”D．“第二次的点数是奇数”7．的展开式中有理项的项数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（）A．, B．,C．, D．,9．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件C． D．10．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（）A．17 B．18 C．111．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．12．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“使得”是______命题.（选填“真”或“假”）14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f（2015）=_____．15．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布,已知成绩在到分之间的学生有名，若该校计划奖励竞赛成绩在分以上（含分）的学生，估计获奖的学生有________.人（填一个整数）（参考数据：若有，16．已知抛物线的焦点为，点在上，以为圆心的圆与轴相切，且交于点，若，则圆截线段的垂直平分线所得弦长为，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）北京市政府为做好会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.（1）求该海产品不能销售的概率.（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望.18．（12分）已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若对恒成立，求正整数的最小值.19．（12分）己知抛物线的顶点在原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是抛物线上一点，过点的直线交于另一点，满足与在点处的切线垂直，求面积的最小值，并求此时点的坐标。20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程：（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.21．（12分）已知动圆既与圆：外切，又与圆：内切，求动圆的圆心的轨迹方程.22．（10分）如图，在四边形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可知，p是真命题，q是假命题，则是真命题.本题选择C选项.2、A【解析】

将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.【详解】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A【点睛】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.2.若方程有根，则的范围即为函数的值域3、C【解析】

转化为，设，即直线和圆有公共点，联立，即得解.【详解】由于设联立：由于直线和圆有公共点，故的范围为故选：C【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4、D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．5、B【解析】

根据组合数的公式，列出方程，求出的值即可．【详解】∵，∴，或，解得（不合题意，舍去），或；∴的值是1．故选：B．【点睛】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．6、A【解析】

利用独立事件的概念即可判断．【详解】“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，故选D．【点睛】本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．7、B【解析】

求得二项式展开式的通项公式，由此判断出有理项的项数.【详解】的展开式通项为，当或时，为有理项，所以有理项共有项.故选：B【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.8、A【解析】该程序是求数列的前16项和，①处变量每次增加2，②处是循环控制条件，循环体共执行了16次，故时，退出循环，选A.9、D【解析】分析：由题意，，是两两互斥事件，条件概率公式求出，，对照选项即可求出答案.详解：由题意，，是两两互斥事件，,,,,而.所以D不正确.故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.10、A【解析】

设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择,计算P(AB)和P(A),再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择P(AB)=P(B故答案选A【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.11、C【解析】

构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，脱离即可求得相关解集.【详解】根据题意，可设，则为奇函数，又当时，所以在R上为增函数，且，转化为,当时，则，当，则，则，故解集是，故选C.【点睛】本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式，意在考查学生的分析能力和转化能力，难度中等.12、D【解析】

设，根据已知可得，由，得到，结合双曲线的定义，得出，再由已知求出，即可求解.【详解】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为.故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、真.【解析】分析：存在命题只需验证存在即可.详解：由题可知：令x=0，则符合题意故原命题是真命题.点睛：考查存在性命题的真假判断，属于基础题.14、0【解析】当x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴此时f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=﹣，∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，即f（2015）=﹣=﹣1，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣2013）=f（503×4+1）=f（1）=1，∴f（﹣2013）+f（2015）=1﹣1=0，故答案为015、20【解析】

根据正态分布函数可知，，从而可确定竞赛分数在到分之间的概率为，进而求得参赛学生总数；利用竞赛成绩在分以上所对应的概率可求得获奖学生数.【详解】由题意可得：，若参赛学生的竞赛分数记为，则参赛的学生总数为：人获奖的学生有：人本题正确结果：【点睛】本题考查正态分布的实际应用问题，关键是能够利用原则确定区间所对应的概率，从而求得总数，属于基础题.16、【解析】

根据条件以A为圆心的圆与y轴相切，且交AF于点B，，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设，以为圆心的圆与轴相切，则半径，由抛物线的定义可知，，又，∴，解得，则，圆A截线段AF的垂直平分线所得弦长为，即，解得．故答案为1．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析，期望为1.【解析】

（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知的可能取值为，，，1，160；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【详解】（1）记“该产品不能销售”为事件，则（A），所以，该产品不能销售的概率为；（2）由已知，的可能取值为，，，1，160计算，，，，；所以的分布列为1160；所以均值为1．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18、(1)在上单调递增，在上单调递减;(2)5.【解析】分析：（1）对函数求导，分类讨论即可；（2）∵对恒成立，∴，解得或，则正整数的最小值为.即只需要证明当时，对恒成立即可.详解：（1），当时，在上单调递增.当或时，，在单调递减.当且时，令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵对恒成立.∴，解得或，则正整数的最小值为.下面证明当时，对恒成立，过程如下：当时，令，得；令，得.故，从而对恒成立.故整数的最小值为.点睛：不等式的证明问题，可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想.19、（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最小值为，此时点坐标为．【解析】

（Ⅰ）设抛物线的方程是，根据焦点为的坐标求得，进而可得抛物线的方程．（Ⅱ）设，进而可得抛物线在点处的切线方程和直线的方程，代入抛物线方程根据韦达定理可求得，从而，又点到直线的距离，可得．利用导数求解．【详解】（Ⅰ）设抛物线的方程是，则，，故所求抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由抛物线方程为，得，则，∴直线方程为：，联立方程，得，由，得，从而，又点到直线的距离，∴．令，则，则，∴在上递减，在上递增，∴，面积的最小值为，此时点坐标为．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系，考查了函数思想，属于中档题．20、（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）最小值为，此时的直角坐标为.【解析】

（Ⅰ）曲线，利用消掉参数即可，曲线，利用化简即可。（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，代入化简即可求出最小值。【详解】解：（I）的普通方程为，的直角坐标方程为.（II）由题意，可设点的直角坐标为.因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，，当且仅当（）时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，掌握互化公式是解本题的关键，属于基础题。21、【解析】

化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心的轨迹方程．【详解