离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布第1页，共19页，2023年，2月20日，星期二一、离散型随机变量的概率分布律定义1如果随机变量X的所有可能取到的值是有限个或可列无限个，这种随机变量X叫做离散型随机变量。定义2设离散型随机变量X所有可能取的值为xk(k=12，…)，X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为P{X=xk}=pkk=1，2，…

（1）称pk为离散型随机变量X的概率分布律，简称为分布律或概率分布。分布律有时也用表格的形式来表示：Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…第2页，共19页，2023年，2月20日，星期二例1设有一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通行，以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独立的）。求X的分布律。解设每盏信号灯禁止汽车通过的概率为p，则X的分布律为：X01234pkpp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3（1－p）4或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4以p＝1/2代入即得分布律为P{X=k}＝（1/2）k＋1k=0,1,2,3P{X=4}＝(1/2)4第3页，共19页，2023年，2月20日，星期二由分布律的定义易知概率分布列具有以下性质：1）pk≥0k=1，2，…

2）反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{pk},都有资格作为某一个随机变量的分布律。注：分布律不仅明确地给出了{X=xk}的概率。而且对于任意的实数a<b，事件{a≤X≤b}发生的概率均可由分布律求出。所以P{a≤X≤b}

更一般地，对于任意集合BIB={k:xk∈B}第4页，共19页，2023年，2月20日，星期二二、几种常用的概率分布1、0－1分布(两点分布)定义3设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是

P{X=k}=pk(1-p)1-k，k=0，1(0<p<1)（2）则称X服从(0－1)分布或两点分布。其分布律也可写成：X01pk1-pp

背景:如果一个随机试验的样本空间只有两个结果Ω={e1,e2},则在Ω上我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量来描述试验结果.第5页，共19页，2023年，2月20日，星期二2、二项分布定义4在n重贝努利试验中，设每次试验事件发生的概率，则事件发生的次数是一个随机变量，它的分布律为其中0<p<1,q=1-p，因分布律中的每一项正是二项式展开式中的项，称随机变量服从参数为p的二项分布，记为X~B(n,p)．当n=1时，二项分布就是参数为p的（0—1）分布．

m＝0，1，…，n（3）容易证明：第6页，共19页，2023年，2月20日，星期二（3）*二项分布的最可能数和概率最大值定义5如果二项分布B(n,p)中Pk0＝P{X＝k0}＝Pk{X＝k}＝Pk则称k0为二项分布b(n,p)的最可能数，此时Pk0是概率的最大值。定理1ⅰ)如果(n+1)p不是整数，则k0=[(n+1)p]是二项分布b(n,p)的唯一最可能数，当k≤k0时，概率Pk随k增大而增大；当k≥k0时，它随k增大而递减；当k＝k0时，Pk达到最大值。ⅱ)如果k0=(n+1)p是整数，则k0和k0-1都是b(n,p)的最可能数；当k≤k0-1时，概率Pk随k增大而递增；当k≥k0时，它随k增大而递减；当k＝k0和k＝k0-1时，Pk达到最大值。第7页，共19页，2023年，2月20日，星期二提示

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解

例2设有一大批产品其次品率为0002今从这批产品中随机地抽查100件试求所得次品件数的概率分布律

以X记所抽查的100件产品中次品的件数则X的可能取值是012

100

X的概率分布律为这是不放回抽样但因元件总数很大所抽查的元件数与元件总数之比甚小故可当作放回抽样处理即抽查100件产品可看作每次抽查一件的100重贝努里试验第8页，共19页，2023年，2月20日，星期二

解

例3设某汽车从甲地开往乙地途中有10盏红绿灯而每盏红绿灯独立地以04的概率禁止汽车通行试求

(1)10盏红绿灯全都顺利通过的概率

(2)该车在途中因红灯恰停3次的概率

(3)该车在途中第8盏红绿灯处恰为第4次停车的概率

(1)P1(104)10(06)10(2)

(3)设A为“前面7盏红绿灯处恰有3处停车”

B为“第8盏灯处需停车”则所求概率为P3P(AB)P(A)P(B)第9页，共19页，2023年，2月20日，星期二例4某车间有9台独立工作的车床，在任一时刻用电的概率都是0.3,求:(1)同一时刻用电的车床数X的概率分布；(2)同一时刻至少有一台车床用电的概率;(3)同一时刻最多有一台车床用电的概率.解:(1)把对每台车床是否用电的观察看作一次试验,对9台车床是否用电的观察就是9重贝努里概型,故X~B(9,0.3),其概率分布为第10页，共19页，2023年，2月20日，星期二

定义6

设随机变量X的全部可能取值为非负整数，且

P{X=k}

k=0，1，2，…，λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)

历史上，泊松分布是作为二项分布的近似引入的.实际问题中服从泊松分布的随机变量也是比较常见的.如:一段时间内到达某公园的游客人数，一页书上的印刷错误，电话交换台在一天中收到的呼唤次数,一定容积内的细菌数,放射物质发出的粒子数等等,都服从泊松分布.3、泊松分布定理2（poissonTH）设λ>0是一常数，n是任意正整数，设npn=λ，则对于任一固定的非负整数k，有第11页，共19页，2023年，2月20日，星期二

例5在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金.求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元，20000元的概率.解

(1)保险公司一年的总收入为2500*12元=30000元

设一年中死亡人数为X,则X~B(2500,0.002),保险公司要付出2000X元.要使保险公司亏本，则必须2000X>30000,即X>15第12页，共19页，2023年，2月20日，星期二例6在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金.求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元，20000元的概率.解(1)即P{保险公司亏本}=P{X>15}n很大，p很小,我们可以使用近似公式,此时λ=np=5则第13页，共19页，2023年，2月20日，星期二

例5在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金.求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元，20000元的概率.解(2)P{保险公司获利不少于10000元}类似得P{保险公司获利不少于20000元}第14页，共19页，2023年，2月20日，星期二

例6商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为λ=10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？

解：设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，由题意X~P（10），则由查表知故n=15第15页，共19页，2023年，2月20日，星期二

4、几何分布*定义7设随机变量X可能取值是1,2,3，…它的分布律是

P{X=k}=p(1-p)k-1，k=1,2,3,…(0<p<1)则称X服从参数为p的几何分布,记为X~G(p)。

背景:独立重复试验中首次成功所需试验次数的概率例7已知患色盲者占0.25%,试求:(1)为发现一例患色盲者至少要检查25的概率;(2)为使发现患色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辨色力进行检查?解:设X为发现一例患色盲者所需要检查的人数,则X~G(0.0025),第16页，共19页，2023年，2月20日，星期二例7已知患色盲者占0.25%,试求:(1)为发现一例患色盲者至少要检查25的概率;(2)为使发现患色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辨色力进行检查?解第17页，共19页，2023年，2月20日，星期二例7已知患色盲者占0.25%,试求:(1)为发现一例患色盲者至少要检查25的概率;(2)为使发现患色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辨色力进行检查?解(2)设至少要对n个人的辨色力进行检查,则∴至少要检查920人第18页，共19页，2023年，2月20日，星期二

解

例8某人进行独立射击每次的命中率为0