高考数学大一轮复习立体几何中的向量方法一证明平行与垂直理苏教版

高考数学大一轮复习立体几何中的向量方法一证明平行与垂直理苏教版第1页/共108页基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分第2页/共108页1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一

向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为非零第3页/共108页2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔

.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔

.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔

.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔

.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1

∥u2第4页/共108页3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔

⇔

.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔

.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔

⇔

.v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0第5页/共108页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.(

)(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(

)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(

)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.(

)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行.(

)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.(

)××√√××返回第6页/共108页题号答案解析1234

Enterl∥α或l

α①2∶3∶(－4)第7页/共108页解析第8页/共108页解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.第9页/共108页证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量.题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.解析思维升华思维点拨第10页/共108页题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.设点C的坐标为(x0，y0,0).解析思维升华思维点拨第11页/共108页题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.解析思维升华思维点拨第12页/共108页题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0).解析思维升华思维点拨第13页/共108页题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.解析思维升华思维点拨第14页/共108页题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD.解析思维升华思维点拨第15页/共108页用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.题型一证明平行问题例1

(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.解析思维升华思维点拨第16页/共108页跟踪训练1(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.第17页/共108页方法一(1)证明如图(1)，连结AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.图(1)第18页/共108页(2)解如图(2)，连结BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，图(2)第19页/共108页在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝

，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连结OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.第20页/共108页连结EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN，知四边形EFNM是平行四边形.连结GH，因为H，G分别是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.由OG2＋OH2＝GH2，第21页/共108页方法二以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系D－xyz.图(3)第22页/共108页由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，第23页/共108页而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.第24页/共108页(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，于是可取n＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1).第25页/共108页若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，第26页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第27页/共108页证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第28页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，解析思维升华思维点拨第29页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第30页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.方法二如图所示，取BC的中点O，连结AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.解析思维升华思维点拨第31页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.取B1C1的中点O1，以O为原点，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，解析思维升华思维点拨第32页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第33页/共108页题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.故AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第34页/共108页用向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第35页/共108页(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨第36页/共108页跟踪训练2

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角.(1)求证：CM∥平面PAD；第37页/共108页证明以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.第38页/共108页令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，第39页/共108页∴CM∥平面PAD.第40页/共108页(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.第41页/共108页题型三解决探索性问题例3如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；思维点拨解析第42页/共108页题型三解决探索性问题例3如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；思维点拨解析第43页/共108页题型三解决探索性问题例3如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；解设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连结A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O⊥AO.思维点拨解析第44页/共108页思维点拨解析题型三解决探索性问题例3如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第45页/共108页思维点拨解析题型三解决探索性问题例3如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；第46页/共108页思维点拨解析例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；第47页/共108页例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；思维点拨解析第48页/共108页例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；解由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(1,0,0).设n2＝(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，思维点拨解析第49页/共108页思维点拨解析例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；取n2＝(1，

，－1)，则〈n1，n2〉即为二面角D－A1A－C的平面角，第50页/共108页思维点拨解析例3

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；所以，二面角D－A1A－C的余弦值为.第51页/共108页思维点拨解析思维升华例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.第52页/共108页例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.思维点拨解析思维升华第53页/共108页例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.思维点拨解析思维升华第54页/共108页解假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.思维点拨解析思维升华第55页/共108页例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.设n3⊥平面DA1C1，思维点拨解析思维升华第56页/共108页例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.取n3＝(1,0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，思维点拨解析思维升华第57页/共108页例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.思维点拨解析思维升华第58页/共108页例3

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证.另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.思维点拨解析思维升华第59页/共108页跟踪训练3

如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD.证明连结BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.第60页/共108页跟踪训练3

如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD.以O为坐标原点，

所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.第61页/共108页跟踪训练3

如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD.第62页/共108页跟踪训练3

如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.第63页/共108页(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.解棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：第64页/共108页(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.第65页/共108页(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.第66页/共108页思想与方法系列14利用向量法解决立体几何问题典例：(14分)(2014·课标全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；温馨提醒规范解答第67页/共108页证明连结BD交AC于点O，连结EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.2分

4分

温馨提醒规范解答第68页/共108页(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.温馨提醒规范解答第69页/共108页温馨提醒规范解答(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝

，求三棱锥E－ACD的体积.第70页/共108页解因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.6分

温馨提醒规范解答第71页/共108页设B(m,0,0)(m>0)，7分

设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，温馨提醒规范解答第72页/共108页又n2＝(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，9分

11分

温馨提醒规范解答第73页/共108页14分

因为E为PD的中点，三棱锥E－ACD的体积温馨提醒规范解答第74页/共108页(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.返回温馨提醒规范解答第75页/共108页方法与技巧1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.第76页/共108页失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.返回第77页/共108页234567891011.设平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为________.∴h＝－4，k＝4，∴h＋k＝0.0第78页/共108页23456789101∴AB与平面CDE平行或在平面CDE内.平行或在平面内第79页/共108页234567891013.已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是___________.所以x＝5，y＝13，z＝－3，即D(5,13，－3).(5,13，－3)第80页/共108页234567891014.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，第81页/共108页234567891015.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝

，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM所成的角为________.解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，第82页/共108页23456789101答案90°第83页/共108页345678910126.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.解析设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.平行第84页/共108页345678910127.设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，第85页/共108页34567891012答案16第86页/共108页345678910128.设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t＝________.解析∵α⊥β，∴u⊥v，∴u·v＝0，∴－12－8＋4t＝0，t＝5.5第87页/共108页345678910129.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.第88页/共108页34567891012又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.第89页/共108页10.如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；34567891012证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第90页/共108页34567891012则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，第91页/共108页34567891012又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.第92页/共108页34567891012(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.第93页/共108页1.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为________.解析设