2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷2含答案

2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷（2）

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷

类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知全集U=R,A={x|x<l},B={x|x22},则集合①（AuB）等于（）

A.{x|x〉l}B.{x|x<2}C.{x|l<x<2}D.{x|l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

求出A与B的并集，根据全集U=R,求出并集的补集即可.

【详解】

全集U=R,A={x|x<l},B={x|xN2},.♦.AuB={x|x<l或xN2},贝ij

QJ（AUB）={X[1WX<2},

故选：D.

【点睛】

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.若复数4=l+i,z2=\-i,则下列结论错误的是（）

A.z「Z2是实数B.3是纯虚数C.团=2町D.z；+z；=4i

Z2

【答案】D

【解析】

分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满

足条件的项.

详解：z-Z2=(l+i)(l—i)=l—『=2,是实数，故A正确，

—=——=++；=i>是纯虚数，故B正确，

z2l-i2

上：卜|(1+i)4卜卜(1+i)2]2卜[(万)2卜4,21z22卜21(1-i)2卜21-24=4,故C正确，

2222所以项不正确，故选

Z1+Z2=(1+Z)+(1-Z)=2Z-2Z=0,DD.

点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而

找到正确的结果.

3.己知log：>log：,,则下列结论中不正确的是()

A.m>n>1B.机>0C.1>n>m>0D.1>m>n>0

【答案】c

【解析】

【分析】

11

先化简原不等式为—,再对机,〃分四种情况讨论即得解.

lgnigm

【详解】

Ig5jg5

由题得>

1g/?\gm

11

所以嬴>防

当机>1,〃>1时，lgm>1gn,

所以加>〃,・•・加>〃:>1,所以选项A正确;

当0<m<1,0<力<1时，lgm>1gn,

所以1>帆>〃>0,所以选项D正确；

当〃>1,0<m<1时，不等式log；>log：,显然成立，所以选项B正确;

当0<〃<1,加>1时，不等式log：>log：,显然不成立.所以选项C不正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如

图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

国1*一国2

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

【答案】A

【解析】

【分析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,

相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.

【详解】

250

水费开支占总开支的百分比为-―-x20%=6.25%.

250+450+100

故选：A

【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

5.已知/（工）是定义在R上的奇函数，满足/（］+x）=/（1_若f（1）=［则

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2019)=()

A.IB.0C.1D.2019

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，由函数满足f(l-x)=/(x+l),分析可得/(-无)=/(x+2),结合函数为奇函数可得

/(x)(x+2),则函数/(x)为周期为4的周期函数，又由/(I)、/(-1)与/(2)及/(0)的值

分析可得/(I)=/'(5)=……=f(2017)=1,/(3)=f(7)=……=/(2019)=-1,f(2)=f(4)

=f(6)=f(8)=...=f(2018)=0,

将其相加即可得答案.

【详解】

根据题意，函数/(x)满足/(1-x)=/(x+1),则函数/(x)的图象关于直线x=l对称，则有/

(-x)=fCx+2),

又由函数。(x)为奇函数，则/(-X)=-f(x),则有fG)=-f(x+2),则f(x+2)=-f(x+4),可

得f(x)=f(x+4)

则函数/(x)为周期为4的周期函数，

又由f(l)=1,则f⑴=f(5)=...=f(2017)=1,

/(-I)=-/(1)=-1,则＜(3)=f(7)=……=/(2019)=-1,

又/(-2)=f⑵=式(2),则/(2)=0,且/(0)=0,所以/(2)=f(4)=/(6)=/(8)=……

=/(2018)=0,

则f⑴+f(2)+f(3)+...+f(2019)=505-505+0=0；

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题.

6.若实数x，y满足2%+2丫=1，则X+y的最大值是()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式求x+y的最大值得解.

【详解】

由题得2%+2y>2,2*•2y=2+匕（当且仅当x=y=-l时取等）

所以，

1>2V2*+y,>2x+>',2-2>2*+>

4

所以x+y<-2.

所以x+y的最大值为-2.

故选：B

【点睛】

本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7.等差数列｛4｝中4+%+。12—44+%0—%=8，则％-^“3=（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

13

设等差数列的公差为d,根据题意，求解q+10。=4,进而可求得”9一^。3=1（4+104），即可

得到答案.

【详解】

由题意，设等差数列的公差为d，

则4+为+%2—44+%o一%=%1+20d=2（4+10d）=8,即q+10J=4,

113

又由%—/=q+8d—（q+2d）=—（q+10d）—3,故选D.

444

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为"，利用等差数列的

通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

（

8.已知函数/（x）=As山（8+0）A>0,3>0,阚<不的部分图象如图所示，则下列判断正确

\2）

的是（)

A.函数的图象关于点［-g,0j对称

77

B.函数的图象关于直线无=一一对称

6

C.函数/(2月的最小正周期为乃

■JT-Jjr

D.当二4x4丁时，函数/(X)的图象与直线y=2围成的封闭图形面积为2万

66

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出3,由五点法作图求出(P的值，可得f(x)的解析式,

再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】

(-rr、1Ojr'qr仃

解：函数/(x)=Asz>?(<yx+。)A>0,h>0,例v彳j的部分图象，可得A=2,—•—•=-

.*.(0=2.

TTTTTTTT

再根据五点法作图可得2•二+0)=不，.・・(p=7,f(x)=2sin(2x+—).

6266

7T

令x=—§,求得/(x)=-2,为函数的最小值，故A错误；

7C

令工二一二，求得/G)=-1,不是函数的最值，故8错误；

6

rr27r7i

函数f(2x)=2sin(4A-+-)的最小正周期为丁=丁，故C错误：

642

TT/TTTTTT57r71

当二时，-<2x+-<—,函数/(X)的图象与直线y=2围成的封闭图形为x==、

662626

7)

x==、y=2、y=-2构成的矩形的面积的一半，

6

矩形的面积为叱(2+2)=4w,故函数/(x)的图象与直线y=2围成的封闭图形面积为2兀，

故。正确，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查由函数y=Asin(sx+(p)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A,由周

期求出3,由五点法作图求出平的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题.

9.A4BC中，角A,8,C所对应的边分别为a,4c,S表示三角形A4BC的面积，且满足

5=落〃+/_〃)，则NB=()

【答案】B

【解析】

在△ABC中，VS=

2accos=—acsinB>tanB=5/3，".'Be(0,n),

42

故答案为B.

10.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为约，e2，e3，e4,其大小关系为()

A.2]<02<63<64B.62<约<63<@

C.e1<e2<e4<e3D.e^<e\<e^e3

【答案】c

【解析】

试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断ai、a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3、

他的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案.

解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0<aiVa2<l

根据双曲线开口越大离心率越大得到l〈a3Va4

...可得到ai<a2<a3<a4故选A.

考点：圆锥曲线的共同特征.

11.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直

角三角形的四面体称之为鳌席.在鳌脯P-ABC中，平面ABC,24=4,AB=BC=2,鳌

腌P-ABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是()

A.16万B.20万

C.247D.64兀

【答案】C

【解析】

【分析】

四个面都是直角三角形，由A8=3C得然后证明这样PC中点0,就是

P—ABC外接球球心，易求得其半径，得面积.

【详解】

四棱锥P-A6C的四个面都是直角三角形，

•；A6=8C=2,...又PA_L平面ABC,...AB是PB在平面ABC上的射影，PA1CA,

：.BCA.PB,取PC中点0,则。是P—ABC外接球球心.

由AB=BC=2得AC=20，又9=4,则PC=次+16=2遥,0P=«，

所以球表面积为S=44(OP)?=4万x(#了=24%.

故选：C.

【点睛】

本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心

且与此面垂直的直线上.

12.已知定义域为R的奇函数y=/(x)的导函数为y=/'(x),当x〉0时，#'(x)-/(x)<0,

若。=△^力=/^4,c=止»，则。力,c的大小关系正确的是()

eln2-3

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数g(X)=/@,由g，(x)=必(X)：/"),可得函数g(x)单调递减，再根据函数的

xx

奇偶性得到g(X)为偶函数，即可判断.

【详解】

构造函数g(X)="*),

X

♦•g(x)=——^^2~»

X

,:xf(x)-f(x)<0,

•W(x)<0,

...函数g(x)在(0,+oo)单调递减.

•・•函数/(X)为奇函数，

；.g(X)=13是偶函数，

X

/(-3)

：.c=^_L=g(-3)=g(3),

-3

..〃e)C,/(/〃2)

・ci=----=g(e),h=-------=g(妨2)f

eln2

；.g(3)Vg(e)<g(ln2),

.\c<a<b,

故选O.

【点睛】

本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题.

第U卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.己知向量满足|a|=l，|勿=2,a/的夹角为60°，则|a—6•

【答案】73

【解析】

【分析】

先计算。为，再由|：」|=展开计算即可得解.

【详解】

由|a|=l，I加=2,a,I的夹角为60°，得8s60=1.

所以|a—Z?|=J（；-J）?=4a-2a-b+b=Jl-2+4=6•

故答案为JJ.

【点睛】

本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题.

14.已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列｛”.｝的前10项和，则数列｛6｝的一个通项公式。”=

【答案】—

2n

【解析】

试题分析：程序执行过程中的数据变化如下：

s=0,〃=2次=1,1<10,s=L〃=4,攵=2,2<10,5=—+-

224

〃=6,攵=310<10,5=—+—++'—,〃=22,Z=11,11410不成立，输出

2420

5=-+-+,s是数列」-的和，因此数列通项公式为」-

242024202n

考点：1.程序框图；2.数列通项公式

15.已知函数/(x)(xwR)的导函数为/'(x),且〃3)=7,/'(x)<2,则/(x)<2x+l的解集

为.

【答案】(3,+8)

【解析】

【分析】

先构造函数设g(x)=/(x)—(2x+l),再分析得到g(x)在R上是减函数，且g(3)=0,再解不等

式得解.

【详解】

设g(x)=/(x)—(2x+l),因为/(3)=7J'(x)<2,所以g⑶=/(3)-(2x3+l)=0,

g'(x)=r(x)-2<0,所以g(x)在R上是减函数，且g(3)=0.

所以〃x)<2x+l的解集即是g(x)<0=g(3)的解集。所以x>3.

故答案为：(3,+8)

【点睛】

(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的掌

握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是构造函数设g(x)=/(x)-(2x+l),再分析得到g(x)

在R上是减函数，且g(3)=0.

X2V2尤22

16.已知尸是椭圆=+*=1(4>白>0)和双曲线=一==1>0,a>0)的一个交点,

4b]a2b2

TT

耳，鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，勺，弓分别为椭圆和双曲线的离心率，若N片尸鸟=§，则。

的最小值为.

【答案】

2

【解析】

【分析】

根据题意，不妨设点P在第一象限,那么忸制>户用，根据椭圆与双曲线的定义,得到耳|=4+%,

|P段=4-/，根据余弦定理，整理得到4c②=4+3出2,化为二+3==4,根据基本不等式，即

e\e2

可求出结果.

【详解】

根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，那么归耳|＞归闾，

因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为C,

根据椭圆与双曲线的定义，有：

周+仍闯=阳，|尸用-俨闾=物,

解得耳1=4+4,|PE|=q_/,

在"jpg中，由余弦定理，可得：

忻用2=|呐2+俨用2-2|明|帆|COS0,

22

即4c2=(q+a2)+(4-a2)-(q+%)(4-a2),

整理得4c2=d+3q,

-1cl,

所以—+3丁=4,

e\e2

又4!逋，

ete2e｝e2

所以e,e22-

故答案为且

2

【点睛】

本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单性质，结合基本

不等式，即可求解，属于常考题型.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分

17.记S”为数列｛%｝的前几项和，且满足S“=4%-6.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

，2\11।87

(2)记d=log4，求满足等式工1+T丁++1工=菰的正整数〃的值.

八3)她她%么88

【答案】(1)q=2x=；(2)〃=88

【解析】

【分析】

(1)首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；

(2)先求出"=〃，再利用裂项相消法求出数列的和，解出〃即可.

【详解】

(1)由S”为数列｛4｝的前〃项和，且满足S.=4a,-6.

当〃=1时，S]=4。]-6,得q=2.

当"22时，4=5“-5“_1=(甸-6)-(4%-6)=也-4%,得丁二可,

Un-\)

所以数列｛4｝是以2为首项，以不为公比的等比数列，

则数列｛《,｝的通项公式为例二-2x_•

(2)由2=log/|a,J=lo£"'二〃'

111111

得+++=++1/

,他她hn-\h„1x22x3(〃-

=15m++t

i-\n)n

i87

由1一一=—,解得〃=88.

n88

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，属于基础题.

18.如图，AB是圆的直径，出垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

B

C

⑴求证：平面B4CL平面「8C；

（2）若AB=2,AC=l,PA=\,求二面角C—PB—4的余弦值.

【答案】G）见解析（2）?

【解析】（1）由AB是圆的直径，得ACL8C,

由以_L平面ABC,BCu平面ABC,得出_L8C.

又PAQAC=A,%u平面PAC,ACu平面PAC,

所以BC_L平面PAC.

因为BCu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PAC.

（2）过C作CM〃AP,则CMJ_平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、C例为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

在RtAABC中，因为AB=2,AC=1,所以8C=V1

因为%=1,所以A（O,I,O）,B（V3,0,0）,P（O,I,I）.故而=Q3,0,0）,而=（o,i,i）.

设平面3cp的法向量为的=8，乃，zi）,则卜「巴=°'所以f%+ZL°'

（nj-CP=0（V3Xi=0,

不妨令yi=l，则"i=（0,l,-1）.因为而=（0,0,1）,荏=（V?，-1,0）,

=k，

设平面ABP的法向量为“2=（X2,*，Z2）,则r小.竺一n°,所以L"一°，

（n2,AB=0

不妨令X2=l，则〃2=（1，V3,0）.于是COS3，〃2〉=2=9.

2V24

由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C—PB-4的余弦值为立.

4

19.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；

(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布M57,7).

①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54〜57依之间的概率；

②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54〜57版之间的人数为匕利用(1)的结论，求丫的

分布列.

【答案】(1)(2)①，.②见解析

44

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率得体重超过60炮的频率为后两个小矩

形的面积；(2)①P(54<X<57)=；P(54<X<60)=g[l-2P(X>60)]；

②因为丫〜,根据二项分布求概率并列分布列.

【详解】

(1)这400名学生中，体重超过60依的频率为(0.04+0.01)x5=；,

由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60依的概率为上.

4

(2)①：X〜N(57,4)，P(X>60)=-,AP(X>54)=-,

'/44

AP(54<X<60)=l-2xl=l,p(54<X<57)=-x-=-.

42224

即高一某个学生体重介于54〜57kg之间的概率为上.

4

②因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，

、3-/

其中体重介于54〜57奴之间的人数丫〜,叩=＞呢冏|，/=0,1,2,3.

I47

所以y的分布列为

Y0123

272791

r

64646464

【点睛】

本题考查正态分布，二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真

审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质，将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥

事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

20.已知动圆尸过点尸(1,0)且和直线/：x=-l相切.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)己知点”(-1,0),若过点尸的直线与轨迹E交于A,8两点，求证：直线M4,M3的斜率之

和为定值.

【答案】(1)/=4x；(2)详见解析.

【解析】

【分析】

(1)由抛物线的定义知，点尸的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程；

(2)设直线48的方程为彳=my+1,联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结

论.

【详解】

由题意得：圆心P到点F的距离等于它到直线/的距离，

二圆心P的轨迹是以尸为焦点，直线/为准线的抛物线，

设圆心P的轨迹方程为y2=2px(),

•41,

2

：.p=2.

圆心P的轨迹方程为：/=4%；

(2)证明：设直线A8的方程为％=冲+1,AQq，X),8(%,%)，

联立直线与抛物线可得V-4/肛一4=0,二X+必=4M，y1y2=-4,

X+%)

(%,+l)(x2+l)

即直线M4,M3的斜率之和为定值.

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系，求轨迹方程常用的方法有直接法、相关

点法等，解决直线与圆锥曲线的位置关系常用代数法，属于常考题.

21.已知函数f(x)=x2+(x2-3x)lnx

(1)求函数f(x)在x=e处的切线方程

(2)对任意的xe(0,+")都存在正实数a,使得方程f(x)=a至少有2个实根，求a的最小值

【答案】(1)(5e-6)x-y-3e2+3e=0(2)1

【解析】

分析：(1)求出了'(X),由/(e)的值可得切点坐标，由/'(e)的值，可得切线斜率，利用点斜式可

得曲线y=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程；(2)首先可得x=l是方程的根，只需方程另外至少

一个根即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象，可得函数的极值与最值，从而可得a的

最大值.

2

详解：⑴f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx二切线斜率为:k=f/(e)=5e-6切点为：(e,2e-3e)

切线方程为：y-2e2+3e=(5e-6)(x-e)(5e-6)x-y-3e2+3e=0

(2)令f/(x)=0即3x-3+(2x・3)lnx=0显然x=l是方程的根

31

而f(x)=21nx--+5易知f(x)在(0,8)上递增，容易验证f(一)=3・3e<0f(l)>0,/.存在

xe

一』使得f(xD=0

e；

所以当xd(0.xi)时,f(x)<0,/.f/(x)递减,

当x“X],+。)时，f(x)>0,f(x)递增

且f(X|)</(l)=O,又f(L)=,>0,故存在X26(1,X])使得f(X2)=0,列出下表:

eee

X(0,x2)X2（X2」）1(1,+8)

f/(x)+0-0+

f(X)增极大值减极小值增

所以f（x）在X=X2处取极大值；在X=1处取得极小值.因f（l）=l；Xf0时f（x）—

作出f（x）的示意图可知：a的最小值为1

点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求

曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出丁=/*）在》=七处的导数，即丁=/（乃在点P（%,/（%））

出的切线斜率（当曲线y=/（x）在P处的切线与）’轴平行时，在处导数不存在，切线方程为

》=%）；（2）由点斜式求得切线方程y—%=/（x）・（x—/）・

（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程