湖南省衡阳重点大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题及参考答案

PAGEPAGE1衡阳重点大学附中2023年上学期期中考试试卷高一数学考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.）1.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A.B.C.D.2.已知向量，则（）A.B.C.6D.-63.中，，则与的夹角大小为（）A.B.C.D.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.在中，若，则此三角形为（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6.已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（）A.-2B.C.D.7.明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新､最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大.在《大测》中提及割图八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，，）表示而得名.若图中，，则（）A.B.C.D.8.已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设，复数，则下列说法正确的是（）A.若是实数，则B.若是虚数，则C.当时，的模为D.当时，在复平面上对应的点为10.已知下列四个命题为真命题的是（）A.已知非零向量，，，若，，则B.若四边形中有，则四边形为平行四边形C.已知，，，可以作为平面向量的一组基底D.已知向量，，则在方向上的投影向量的模为11.在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（）A.若，则只有一解B.若，则是锐角三角形C.若，则.D.若，则的形状是等腰或直角三角形12.在单位正方体中，O为底面ABCD的中心，M为线段上的动点（不与两个端点重合），P为线段BM的中点，则（）A.直线DP与OM是异面直线B.三棱锥的体积是定值C.存在点M，使平面BDMD.存在点M，使平面BDM三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知复数满足，则在复平面中对应的点构成的图形的面积为__________.14.如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是__________.15.已知向量，若，则的最小值为__________.16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知向量与的夹角为，，.（1）若；（2）若，求实数t的值.18.已知复数.（1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；（2）求的取值范围.19.如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.（1）求证；（2）求证：平面.20.如图，在四边形ABCD休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，且.（1）求氢能源环保电动步道AC的长：（2）若﹐求花卉种植区域总面积.21.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，.（1）若，求的面积；（2）求周长的最大值.22.如图，在四棱锥中，为等边三角形，为等腰三角形，，为的中点.（1）求证：平面.（2）若底面，且，求点到平面的距离.高一数学参考答案一､选择题题号123456789101112答案AAACCBCCACABDACDBC二､填空题13.14.615.216.；3.A【详解】中，，与的夹角为与的夹角为，故选.5.C【详解】在中，由以及正弦定理可知，，即，所以三角形为直角三角形.故选：C.6.B【详解】正中，，因为中点，则，，则7.C【分析】由已知得出QR的长度，结合正弦定理与题设条件得出RA的长度，再利用余弦定理算出OA，从而得出.【详解】由题意得，，所以.所以.在中，由正弦定理及，得.所以，由余弦定理知.即，解得或（舍去）.所以.8.C【解析】由余弦定理求，再由正弦定理求△的外接圆半径，又面知△的外接圆的圆心与所构成的截面必过三棱锥外接球的球心，即可求出球的半径，根据球的体积公式求体积即可.【详解】由，，，则由余弦定理有：，即，∴由正弦定理知△的外接圆半径：，由题意知：面，又，三棱锥的外接球半径：，由球的体积公式，有：，故选：C【点睛】本题考查了求三棱锥外接球的体积，根据三棱锥一条棱与底面垂直，该底面的外接圆的圆心与棱所成截面过球心即可求球体的半径，进而求体积.9.AC10.ABD对于选项D，，，则，则向量在向量上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为，即选项D正确，11.ACD12.BCA项：因为相交，所以DP，OM共面，故错误；B项：因为，是正方体，所以，因为平面，平面，所以平面，所M到面的距离不变，所以为定值，故正确；C项：当M为中点时，OM为的中位线，，因为平面BDM，平面BDM，所以平面BDM，故正确；D项：当M与重合时，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为，平面BDM，所以平面BDM，又因为M不与端点重合，故错误.故选：BC16.【详解】由题可知，∴，∴，结合以及正六边形的几何特征可知为的中点，所以要使最大，可知当在处时，最大，此时最大，即.17.【详解】（1）向量与的夹角为，，，，，；（2），，即，，解得.18.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）化简得，所以在复平面中所对应的点的坐标为，在直线上，所以，得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.19.（1）证明：在三棱柱中，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）证明：连接，设与的交点为，连接，则为中点，因为点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.20.（1）∵，∴∵，∴由余弦定理得，∵，∴（2）若﹐在中，由余弦定理得，解得或（舍去），∵，∴，∴，∵，∴，故∴花卉种植区域总面积为21.（1）法一：∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.由余弦定理得：，，，∴或4，∴或.综上，的面积为或.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，.由余弦定理得：，，，∴或4，∴或.综上，的面积为或.（2）法一：由正弦定理得：，，其中，所以当时，；法二：由余弦定理得：∵，∴，∵，∴，当且仅当时取到最大值.22.【分析】（1）取的中点，连接，通过证明从而得到平面，再证明平面，最后利用面面平行的判定与性质即可.（2）利用，从而用等体积法求出点到平面的距离为，再结合（1）中平面即可得到答案.【详解】（1）如图所示