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文档简介
, 设有一个总体X总体的分布函数为F其中为未知参数可以是向量从该总体抽取容量为n的样本X1X2要依据该样本对参数作出估计,或估计g(). x1x2xn ˆ(X1X2Xn)称为的估计量不引 的情况下,二者统称为的估简记E(X)
E( Xnni
Xi X是参数的估计量现检查了150只纱锭在某一时间段内断头的次数01239425161x
xk1.133
x是参数的估计值
设(X1X2Xn)是来自于总体X则X1X2Xn相互独立同分布
1
X nin
Xi
E(X X1,X2,…,
1 1nAk n
E(Xk)kE(Xk),k1,2,,k n用Ak Xn
去估计 X1X2Xn)是来自总体X的样本求的矩估计EX2
解得2EX以X代EX得参数的矩估计为
2
Xinnin 设总体X~B(m,p),其中m已知,p(0p1)未知,(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本,求p的矩估计量.EXmp,解得pEXm以X代EX得参数p的矩估计量为ˆXm例2(续)p每次从中10X1,X2Xn独立同X~B(10pp的矩估计. E(X)=10p,解得pE(X).以X代EX
得参数p的矩估计为ˆ X若给定n次抽样观测的数据x1x2则p的矩估计值为ˆ x10 设总体X的概率密度f(x) 其他
1X1X2Xn)是来自总体X的样本求的矩估计1解EX)
xf(x)dx
x(1)x1 1
1解得2EX11E(X以X代EX
得的矩估计为2X11<>例4X在(a,b)上服从均匀分布其中ab未知X1X2,Xn是来自总体X的样本,求a,b的矩估计量. aE(X) (b
ab2E(X)D(X)[E(X)]
2 2以X来代EX),以A2来代EX2 设总体分布含有m个122E(X)(,,,2 mm m ,i 得到ˆ(A,A,, ),i i,i=12 设总体X的均值和方差2都存在,且 0,但和2均为未知,又设 ,X,,X X的一个样本求和2的矩估计量 E(X)E(X2)D(X)[E(XE(X
2
E(X2)E(X)2以
X来代EX
以A2来代EX2得参数和2的矩估计分别为
2AA 1 1 1
1
X2nX2
(XX)2nn nn 例如X~N(,22未知ˆX是的矩估计量 1 ( X ni
是的矩估计量
X~U(ab),其中ab未知求ab
计量
E(X)
ab D(X)
,ab2EX12D(X3D(X12D(X3D(X aE(X) 3D(X),即 bE(X) 3D(X).n以n
X
ni
Xi来代EX1 12以
nin
(X
X)来代DXnˆX
3ni1n3n3(iX)i1
X)2ˆX
设(X1X2Xn)X的一个容量为n(x1,x2,…,xn)是相应的样本值. PXx)px;),为待估参数其中是(x1x2…xnn{X1x1X2x2Xnxn}nP(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)P(Xixi i
(Likelihood
max这样得到的与样本值x1x2xn)有关常记为x2,xn称为参数相应的统计量ˆ(X1X2,Xn称为参数的最大似然估计量 X
P(Xx)px(1p)1x,x
nnP(Xixiinn
nnnn
(1p)1xipi
(1
i lnL(p) xlnp
nxln(1
i i(X1X2Xn)X(x1x2xnlnL(p) xlnp
nxln(1p).
id
n
nndplnL(p)i i 1pˆ1
xi
ˆ
nXi X设总体X~fx;为待估参数设(X1X2Xn)Xnn(x1x2xn是相应的样本值.(X1,X2,…,Xn)的联合密度为n“(X1X2Xn在(x1x2xn附近取值 设X~fx;为待估参数,n称L(Lx1x2xn;fxi;ni 设X~f(x;) 其他 exi,x ~f(x;)
i1,2,,
nn
f(xi;)
nn
xi(X1X2Xn)X(x1x2xn
nn关于求导,并令其等于dlnLn
1
1是最大似然估计量X
xii若再求g(1的最大似然估计 则X是g(的最大似然估计量
X~f(x;)0,未知.求的最大似然估计
n解似然函数
f(xi;)
i
i
i i
i
i
ln 解得的最大似然估计为
nlnni(X1X2Xn)X(x1x2xn样本的似然函数Lx1x2,xn常常可以从方程dL(中解得又因为L()与lnL()在同一处取到极值因此 的最大似然估计也可从方dlnL()
未知参数的情况.此时只需令L i1,2,,k. lnL
i1,2,,k.解出由k个方程组成的方程组即可得各未知 参数(i1,2,k)的最大似然估计值 0),试用最似然估计法分别求出的估计 X~f(x;,
nn f(x
( ( exp i1
i n(x
exp
i n(x 2exp i (x)2 2exp
i
2
nln(2)2
n(xi)2 . . lnL
(x)n n
nn
2
1
n
xi
2
ni1
x)2设的函数u具有单值的反函数假设是的概率分布中的参数ˆ是的最大似然估计如,上例中,X~N方差的最大似然估计为 111nni(xi
(xini1
x)2
设总体X~U[0,其中(0)未知X1X2.Xn)是来自总体X的样本x1x2xn)是相应的样本值
求的最大似然估计
X~f(x;)
,0x解 1
似然函数L(fxi
n lnL()nlndlnL()
Xi~U[0,
,0x
0其它n
i1,2,,i
样本值x1x2xnn,0xi,i1,2,, 其它
,a,ax X~f(x;a,b)b nn
,axib,i1,2,,nn
n
lnL(a,b)
ba
nln(ba).lnL(a,b) blnL(a,b)
bL(a,b)
,axib,i1,2,,nn
样本值x1x2xnˆˆ 2X是的矩估计量设总体X~F(x),为未知参数X1X2Xn是来自总体X的简单随机样本ˆX1X2Xn)是的一个估计量当样本(X1Xn)有观测值(x1xn)ˆ(x1x2xn而当样本(X1Xn)有观测值(y1yn)的估计值为ˆy1y2yn若估计量ˆˆ(X1X2Xn)的数学期望在则称ˆ的无偏估计量 设总体X的均值和方差20均为未知设X1X2,XnX X2
nin1
Xi是总体均值的无偏估计量
(Xinin
X是总体方差的无偏估计量(1)EX(2)E(S2) 并判断是否是无偏估计量.
ni
Xi X是的最大似然估计量 1 2 2 XX)是的最大似然估计量 ni(ˆEX
n n
设总体X的k阶矩kE(Xk)(k1)存在X1X2XnX的一个样本试证不论总体服从什么分布样本k阶矩k证明因为X1X2Xn相互独立,且与X同分布kiEXki
E(Xk
i1,2,,1 k 1E(Ak)E Xi
E(Xk)ni
ikniik故样本k阶矩Ak是总体k阶矩k的无偏估计量设X1X2X3是来自总体X的样本,且1X3X1X
) 1X3X1X
和都是的无偏估计量 1如果在样本容量n相同的情况下ˆ的观察值12在真值的附近较ˆ更密集则认为2 ,X,,X ,X,,X
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