高中数学人教高中必修第三章不等式基本不等式

一、情境创设导入课题请看一段视频，并观察下面这个图形在视频中出现了几次？

一、情境创设导入课题一、情境创设导入课题思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？

探究１：S>S′问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHbaABCDE(FGH)ab小结：一般地，对于任意实数，我们有当且仅当时，等号成立.通常我们称之为重要不等式.

问题2：不等式对任意的实数都成立吗？

当且仅当时，等号成立.解：是.理由如下：替换后得到：即：即：二、自主探究推导公式问题1：

要证①只要证②

要证②,

只要证

③要证③,只要证

④

显然，④是成立的.当且仅当时，④中的等号成立.小结：如果那么，通常我们称之为基本不等式.当且仅当时，等号成立.

①

②③二、自主探究推导公式问题2：能否利用不等式的性质，直接推导出

？我们来分析一下.

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数均值不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长射影定理当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？二、自主探究推导公式重要不等式与均值不等式的比较适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0

例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x

，CD=y

，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.三、实际应用升华理解例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得

xy≤81当且仅当x=y时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14

函数的最小值为（）

若且则（）

函数的最小值为（）强化训练：判断下列3个命题是否正确，请简单说理.注意：利用基本不等式求最值时：“一正二定三相等”五、巩固强化深