【2022高考数学一轮复习】空间几何体的表面积和体积

1第二课时空间几何体的表面积和体积第八章空间几何体1.空间几何体的侧面积与表面积公式：（1）柱体、锥体、台体的侧面积就是______________面积之和；表面积（全面积）是________的面积之和.（2）多面体、圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是它的____________的面积.（3）圆柱的侧面积公式是__________，表面积公式是_____________；2S表=2πr（r+l）各个侧面各个面展开图S侧=2πrl

圆锥的侧面积公式是________,表面积公式是_________;圆台的侧面积公式是___________,表面积公式是______________________；球的表面积公式是_____________.2.空间几何体的体积公式：柱体的体积公式是________，锥体的体积公式是________________；台体的体积公式是_________________________；球体的体积公式是________.3V=Sh

S表=4πR2

S侧=π(r1+r2)l

S表=πr(r+l)S侧=πrl4

1.（2009·深圳一模）一个几何体的三视图及尺寸如下，则该几何体的表面积是（

）A.32π

B.16πC.12π

D.8π

该几何体为半球，其半径R=2，则S表=2πR2+πR2=12π.C

52.（2009·汕头一模）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（

）

由三视图知，该几何体为三棱柱，如图.所以其表面积故选D.673.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图为全等的等边三角形，俯视图是半径为r的圆及圆心.若这个几何体的体积为9

π,则r=（

）A.1

B.2C.3

D.4C

4.（2009·珠海模拟）如图为某几何体的三视图，其中正视图是边长为2a的等边三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积为______________.

该几何体为圆锥的一半，其表面积85.（原创题）若一个三棱锥的侧面都是直角三角形，侧棱长分别为a、b、c，则此三棱锥的外接球的半径为______________.

可将此三棱锥补成一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体.长方体的外接球即此三棱锥的外接球，所以长方体的体对角线就是外接球的直径.故易知所求半径为.91.旋转体的表面积和体积(1)底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为_________cm2.(2)已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为_________.(3)若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于_________.1016π1∶332.空间几何体的内接、内切和外接情形(1)若正方体的棱长为1，则它的外接球的体积为________.(2)与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为___________.（3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为___.113π3.相似空间几何体的面积与体积之比(1)以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的__________.(2)过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为__________.121∶3∶513题型1:求几何体的表面积和体积已知正三棱锥S-ABC的底面边长为6，侧棱长为8.（1）求此三棱锥的高和斜高；（2）过三条侧棱中点的截面（中截面）把此三棱锥分成一个棱锥和一个棱台，求所得棱台的侧面积和体积.14（1）如图所示,O是S在底面内的射影,SO是高.连接AO并延长交BC于E,连接SE,OB.在三棱锥S-OBE中，各面都是直角三角形,SE是斜高.易知所以由SO2=SB2-BO2=64-12=52，得;由SE2=SB2-BE2=64-9=55，得所以三棱锥的高为,斜高为.1516（2）根据定义，A1B1C1-ABC为正棱台，EE1为斜高且又棱台的高三棱台的下底面面积S△ABC=上底面面积

17△△18

【评注】简单几何体内的基本计算依赖于对它的结构的理解，紧扣定义是关键.而在与正棱锥有关的问题中，常常转化为直角三角形来解决.体积为52的圆台，一个底面的面积是另一个底面的面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是_______.

设圆锥的体积为V，两个底面的半径分别为r1、r2，面积分别为S1、S2.1954

20

题型2：等积法求几何体的体积或高

如下图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点.将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使点A、C重合于点A′,求三棱锥A′—EFD的体积.21由翻折前后的关系知A′D⊥A′E,A′D⊥A′F.又A′E∩A′F=A′,故A′D⊥平面A′EF.因为A′E=A′F=1,且A′E⊥A′F,所以S△A′EF=

.又A′D=2,所以VA′—EFD=VD—A′EF=

S△A′EF·A′D

=

×

×2=

.22

【评注】若直接用公式求三棱锥A′—EFD的体积，就必须求A′到底面EFD的距离(即高)，显然这是比较困难的.一般来说，当直接求距离甚至底面积遇到较大阻力时，往往可以轮换三棱锥中的两个顶点，将底面和高转化为题目已知或容易求解的问题.这是解决求高或体积问题时常用的思路.23

将棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中截去一角B1—A1BC1，求三棱锥B1—A1BC1的体积，并求三棱锥B1—A1BC1的高.

如右图，

24

在正三角形A1BC1中，边长为2，面积为

.

设三棱锥B1—A1BC1的高为h，

则

,

所以

.25

题型3：空间几何体的内接、内切、外接问题如图,已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱.26

(1)求圆柱的侧面积；

(1)设内接圆柱的底面半径为r.

S圆柱侧=2πr·x.①因为所以②②代入①得S圆柱侧=

(-x2+Hx)(0<x<H).27

(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

(2)S圆柱侧=

=

.所以，当x=

时，(S圆柱侧)max=

.28

【评注】圆锥的内接问题，一般都要借助于三角形的相似找到变量之间的比例关系，将未知的变量转化为已知变量来解决.圆柱、圆锥的表面积和体积关键是求出底面半径、母线长和高，再准确运用公式进行计算.而求最大、最小值的问题，往往都是转化为某个变量的函数，再运用相关函数的图象和性质求解即可.29如图所示,P为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点.若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为（

）30

设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,体积为V′,则VP-ABC+VP-A1B1C1=

S△ABC·h=

V′,从而四棱锥P-BCC1B1的体积V=

V′，所以V′=

V.31

1.熟练掌握各种几何体的结构特征是求几何体的侧面积和体积的前提条件，特别是正棱柱和正棱锥的结构特征.

2.注意熟记各种几何体的侧面积和体积公式，掌握公式之间的规律，如柱体、锥体、台体公式之间的联系与区别.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，希望记其展开图的特征，如：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形，可类比三角形；圆台的侧面展开图是扇环，可类比梯形等.32

3.与圆柱、圆锥、球有关的组合体问题，主要是指内接和外切，解题时应认真研究轴截面、分析平面图，借助相似成比例或直角三角形中的勾股定理找到变量之间的联系.

4.计算底面积和高都不易求的不规则几何体的体积时应尽量避免直接求解，要养成用“等积法”和“割补法”转化为规则几何体的习惯.1.（2009·陕西卷）若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）33由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，且每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为答案：B342.（2009·广东卷）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图1、图2分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.35（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图;（2）求该安全标识墩的体积;（3）证明:直线BD⊥平面PEG.36（1）侧视图同正视图,如右图所示.（2）该安全标识墩的体积为37（3）证明：如图,连接EG,HF及BD，设EG与HF相交于O,连接PO.由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,所以PO⊥HF.又EG⊥HF,