概率论期末复习知识点

本章重点：随机事件的概率计算．1．**事件的关系及运算nAnA (4)互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB=0 (6)差事件：若事件A发生且事件B不发生，记作AB(或AB)．(7)德摩根(DeMorgan)法则：对任意事件A和B有2．**古典概率的定义古典概型：A中所含样本点的个数nP(A)==A中所含样本点的个数n．几何概率P(A)=A的长度(或面积、体积)样本空间的的长度(或面积、体积)·1/14．**概率的性质AA(2)(有限可加性)设n个事件1,2,nP(AAP(AA P(A)P(B)．P(A)1．.AA,A对于任意n个事件1,AA,AAiiijijkA)n.4．**条件概率与乘法公式..*随机事件的相互独立性2/143/14P(AB)=P(A)P(B)．AA,A对于任意n个事件1,AA,AP(AA)=P(A)i1iki1P(A)kn．*贝努里概型与二项概率事件A恰发生k次的概率为(n)P(k)=||pk(1_p)n_k,k=0,1,,nn(k)7．**全概率公式与贝叶斯公式n本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．1．**离散型随机变量及其分布律ii分布律也可用下列表格形式表示：aanpna2p2a1pXr (2)i=1i．3．*常用离散型随机变量的分布(1)0—1分布B(1,p)，它的概率函数为(2)二项分布B(n,p)，它的概率函数为(n)P(X=i)=||pi(1-p)n-i (i) 4/145/14i!，．4．*二维离散型随机变量及联合概率(X,Y)的分布可用下列联合概率函数来表示：ijijijiij5．*二维离散型随机变量的边缘概率P(X=ai)(i=1,2,)为随机变量X的边缘分布律，记为pi并有i.iiji.iijj，jp.jijj=i.p.jijj=i.设(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为p=pp,对一切i,j=1,2,.ijij多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结函数的分布设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布．6/14设离散型随机变量X的概率函数为aanpna2p2a1pXr则随机变量函数Y=g(X)的概率函数可由下表求得Y=g(X)g(a)g(a)g(a)12nrpprpn12n本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算．随机变量的分布可以用其分布函数来表示，F(x)=P(X<x)．2．分布函数F(x)的性质limF(x)=0,limF(x)=1(2)xx+;7/14由已知随机变量X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b]内的概率．3．联合分布函数XY数．4．联合分布函数的性质(2)x)一wy)一w，；5．**连续型随机变量及其概率密度有F(x)=jxf(x)dx成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度．6．**概率密度f(x)及连续型随机变量的性质(1)f(x)>0;j+wf(x)dx=1 (2)一w；(3)；F,(x)=f(3)；8/14(4)设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c，P(Xc)0；(5)设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则有P(aXb)P(aXb)P(aXb)P(aXb)bf(x)dx＝a．7．**常用的连续型随机变量的分布Rab密度为110,其余.(2)指数分布E()，它的概率密度为f(x)0,0．其余.f(x)e22,x度为fx)1e,x标准正态分布的分布函数记作(x)，即9/14e2dt(xe2dtPaXbb)(a)．8．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x,y)，如果存在一个二元非负函数f(x,y)，使得对于任意一对实数(x,y)有sfxy9．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(2)；’(3)在f(x,y)的连续点处有(4)设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有10/14D．连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度设f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为f(x)=j+wf(x,y)dyX-w；Y的边缘概率密度为f(y)=j+wf(x,y)dxY-w．11．常用的二维连续型随机变量(1)均匀分布如果(X,Y)在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1XY)服从二维正态分布，并记为1212.的边缘分布还是正态分布．11/1412．**随机变量的相互独立性．XY，X与Y相互独立．设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为f(x,y)=f(x)f(y),在一切连续点上.XY本章重点：随机变量的期望。方差的计算．设X是离散型的随机变量，其概率函数为ii则定义X的数学期望为iiii设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则定义X的数学期望为2．*随机变量函数的数学期望设X为离散型随机变量，其概率函数ii则X的函数g(X)的数学期望为 iii设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数ijijE[g(X,Y)]=g(a,b)pijijijij3．**数学期望的性质EY(4)如果X与相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y).4．**方差与标准差随机变量X的方差定义为XEXEX．D(X)=E(X2)[E(X)]2’当X为离散型随机变量，其概率函数为ii iiiii12/14当X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则X的方差为.随机变量X的标准差定义为