2022-2023学年江苏省南京市横溪中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市横溪中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为A．m

B．mC．m

D．m参考答案：D2.为了庆祝元旦节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随;齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋,能获奖的概率为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D3.双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.4.如果函数是奇函数，则函数的值域是

A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.函数，则是A.奇函数

B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数

D.既是奇函数又是偶函数参考答案：A略6.函数y=（

）(A)在(-,+)上单调递增。

(B)在上是减函数，在上是增函数。(C)在上是增函数，在上是减函数。(D)在上是减函数，在上是增函数。参考答案：B7.设变量x，y满足约束条件，则的最大值是A．7 B．8 C．9

D．10参考答案：C8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝9.已知两个函数、的定义域和值域都是集合{1,2,3},且满足下表：则方程的解集为x123f(x)231A.{1}

B.{2}

C.{3}

D.

x123g(x)321

参考答案：C10.对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：（Ⅰ）?a，b∈A，都有a⊕b∈A（Ⅱ）?e∈A，使得对?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；（Ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；（Ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有(

) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论．解答： 解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a、a′互为相反数；②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件；③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数．故选：B．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集集合则_____.参考答案：略12.在△ABC中，D为BC的中点，，，，点P与点B在直线AC的异侧，且，则平面四边形ADCP的面积的最大值为_____．参考答案：分析：首先判断出点P所在的位置具备什么样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点P到AC距离最大，之后再转化为点B到AC的距离最小，综合得到BP和AC垂直时即为所求，从而求得结果.详解：根据题意可以求得，所以，则点到边的距离为，因为点与点在直线的异侧，且，所以点在以为圆心，以2为半径的圆上，只有当点到线距离最大时，满足面积最大，此时就是到线距离最小时，此时到线距离为，此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，.点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一步是转化为点B到AC距离最短时即为所求，从而得到此时BP和AC垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果.13.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y＝f（x），则f（2019）＝________．参考答案：0【分析】由题可得：是周期为的函数，将化为，问题得解。【详解】由题可得：是周期为的函数，所以.由题可得：当时，点恰好在轴上，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数的周期性及转化能力，属于中档题。14.已知函数有下列4个命题：①若，则的图象关于直线对称；②与的图象关于直线对称；③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.

其中正确的命题为

．参考答案：①②③④15.对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为

.参考答案：16.已知函数对任意实数x、y满足，若，，则用a、b表示____________.参考答案：17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知其周长为10，面积为，，则c的值为___.参考答案：【分析】由三角形面积公式可求得，由余弦定理和周长构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】由三角形面积公式得：

由余弦定理得：又，即，可得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，关键是能够通过余弦定理构造出关于所求边的方程，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A，B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且，（1）求证：平面EAD⊥平面EBC；（2）若的长度为，求二面角的正弦值．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能够证得结论；（2）连结，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【详解】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，平面平面

是直角

平面平面

平面平面（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系的长度为

则：，，，，，，设平面的一个法向量为则：，令，解得：，平面的一个法向量：

二面角的正弦值为

19.已知函数.（1）求证：对任意实数a，都有；（2）若，是否存在整数k，使得在上，恒有成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（）参考答案：（1）见证明；（2）见解析【分析】（1）利用导数求得，令，再利用导数即可求得，问题得证。（2）整理得：，令：，由得，对是否大于分类，当时，即时，利用导数即可证得，当时，利用导数即可求得，要使不等式恒成立转化成成立，令，利用导数即可求得，，即可求得，问题得解。【详解】解：（1）证明：由已知易得，所以令得：显然，时，<0，函数f（x）单调递减；时，>0，函数f（x）单调递增所以令，则由得时，>0，函数t（）单调递增；时，<0，函数t（）单调递减所以，即结论成立.（2）由题设化简可得令，所以由=0得①若，即时，在上，有，故函数单调递增所以②若，即时，在上，有，故函数在上单调递减在上，有.故函数在上单调递增所以，在上，故欲使，只需即可令由得所以，时，，即单调递减又故【点睛】本题主要考查了转化思想及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及化归能力，考查计算能力及观察能力，属于难题。20.已知是奇函数，其中a为常数.（1）求实数a的值；（2）求函数在上的值域；（3）令，求不等式的解集.参考答案：（1）1；（2）见解析；（3）【分析】（1）由题意可得，代入可求；（2）令，然后转化为二次函数的值域求解；（3）结合为奇函数，及单调性可求不等式的解集．【详解】（1）由题意可得，，整理可得，，∴；（2）令，∵，∴，∴，∴，，对称轴，①时，在上单调递增，∴，值域为；②时，在上先减后增，当时函数有最小值，值域为；（3）∵，，∴为奇函数，∵，∴，∵，∴单调递增，∴，即，当时，，解可得，当时，，解可得，综上可得，不等式解集．【点睛】本题主要综合考查了函数单调性，奇偶性等函数性质的综合应用，解题的关键是函数知识的熟练应用，属于中档题.21.央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？参考答案：．解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次总收视观众为z万人．则有如下条件：目标函数…6分作出满足条件的区域:如右图由图解法可得：当x=3，