线性代数基础

线性代数基础第一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具.其“有力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上。学习基础知识，在专业课程中进一步认知，在科学研究中应用。第二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性空间集合：笼统地说是指一些事物（或者对象，称为元素）组成的整体。集合的表示：枚举、表达式，如集合的运算：并，交，补第三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域(Q)、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习矩阵理论的重要基础。线性空间的概念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象。第四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性空间的定义第五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注意几点线性空间不能离开某一数域来定义。实际上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间。

两种运算、八条性质第八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三数域中的运算是具体的四则运算，而线性空间中定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。当数域为实数域时，就称为实线性空间；为复数域，就称为复线性空间。第九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性空间中零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。0*x=0(第一个0是数0，第二个0是线性空间中的零元素)(-1)*x=-x第十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性空间的维数、基、坐标线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。

第十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性空间的维数定义：线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数，记为dim(V)。本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。第二十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性空间的基与坐标第二十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三基正是V中最大线性无关元素组；V的维数正是基中所含元素的个数。基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。第二十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第二十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三基变换与坐标变换我们研究当基变换时，同一个向量在不同基下的坐标会有什么关系。第三十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第三十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第三十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第三十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第三十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性子空间

一、线性子空间的定义及其性质定义：设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件如果x、y属于V1

，则x＋y属于V1

；（加法封闭）如果x属于V1

，k属于K，则kx属于V1

，（数乘封闭）则称V1是V的一个线性子空间或子空间。第三十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：{0}和V本身非平凡子空间：除以上两类子空间性质：（1）线性子空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。第三十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第三十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第三十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三基扩定理：设V1是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间，x1、x2、···、xm是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基；换言之，在Vn中必可找到n-m个元素xm+1、xm+2、···、xn，使得x1、x2、···、xn成为Vn的一个基。这n-m个元素必不在V1中。第三十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三子空间的交与和定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，称分别称为V1和V2的交与和。第四十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第四十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第四十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第四十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性变换及其矩阵

第四十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三[例1]二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。[证明]第四十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第四十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第四十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三所以，T是线性变换。第四十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三[证明]显然D对而言是变换，要证明满足线性变换的条件.[例2]次数不超过n的全体实多项式构成实数域上的一个n+1维的线性空间，，微分算子是上的一个线性变换。显然，微分算子线性变换第五十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性变换的性质线性变换把零元素仍变为零元素T(0)=0负元素的象为原来元素的象的负元素,即T(-x)=-T(x)线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组第五十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，若线性变换将所有的线性无关的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为可逆的线性变换，其变换矩阵为可逆矩阵。第五十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性变换的运算第五十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第五十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性变换的矩阵表示

线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。第五十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第五十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第五十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。第五十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第五十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三特征值与特征向量第七十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

矩阵的迹与行列式矩阵的迹为矩阵所有对角元素之和第七十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第七十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三线性变换及矩阵的值域和核

定义：设T是线性空间Vn的线性变换，R(T)和N(T)均为V的子空间第七十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三设A为阶矩阵，称dim(R(T))、dim(N(T))称为线性变换T的秩和零度；dim(R(A))、dim(N(A))称为矩阵A的秩和零度；第八十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第八十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三dim(R(T))+dim(N(T))=dim(V)?V=R(T)+N(T)?第八十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三定理若A是线性变换T的表示矩阵第八十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三内积空间在平面或立体空间里，向量还有夹角、垂直、长度等概念。我们在线性空间中引入内积的概念，这样，就能讨论向量之间的夹角，向量相互垂直、向量长度等概念。第八十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第八十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三以n维向量空间为例：常用内积第八十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第八十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三酉空间常