集合的含义与表示-练习

1．1.1集合的含义与表示[例1]下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体．其中能构成集合的组数是 ()A．2组 B．3组C．4组 D．5组[分析]集合中的元素必须是确定的．[解析]

“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A.下列各条件中，能够成为集合的是 ()A．与非常接近的正数B．世界著名的科学家C．所有的等腰三角形D．全班成绩好的同学[答案]

C[解析]

对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C.[分析]本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．若x∈{1,3，x3}，则有 ()A．x＝0或x＝－1B．x＝－1或x＝3C．x＝0或x＝－1或x＝3D．x＝0或x＝3[答案]

C[解析]

∵x∈{1,3，x3}∴x＝1或3或x3当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.[例3]若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．[解析]

∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素即{x，x2}一定含有－1这个元素由于x2≥0，∴x＝－1.[例4]将下勇列集持合改坐为用智符号蛋语言巩描述梦：(1采)非负孙奇数勺集(2土)能被3整除兆的整撇数的桑集合(3耕)第一桃象限地和第吊三象肺限内梦的点壁的集畜合(4小)一次似函数y＝2x＋1与二婶次函竹数y＝x2的图鹅象交桶点的强集合闪．[分析]从集窃合中兵元素(数或本点)所满蒜足的茫条件撤、具袜有的旬属性促入手艳，联蚕想有劣关的迷数学辆表达凉形式年．[解析](1用){x|x＝2k－1，k∈N*}；(2要){n|n＝3k，k∈Z}；(3贫){车(x，y)|xy＞0}；[点评]要重透视同驰一数猫学对伐象的堆不同溪形态洞语言如的表奴达方渔法及肤互译德练习(如，壮普通字语言滨符号冬语言)，这著对今叛后学丛习大零有裨愉益.[例5]用适额当的殖方法元表示歉下列切集合铁：(1固)2延4的正妨约数亏组成辫的集旅合；(2蔽)大于3小于10的整否数组停成的仔集合枕；(3怨)方程x2＋ax＋b＝0的解随集；(4项)平面纺直角通坐标躬系中羡第二养象限寄的点微集；[分析]首先忠搞清互楚集筒合的宰元素迫是什载么，忧然后问选用严适当剪的方玩法表唯示集套合．[解析](1惕){佳1,盆2,庭3,鞭4,贯6,拉8,杆12柱,2艺4}；(2失){大于3小于10的整搅数}＝{x∈Z|棵3＜x＜10膊}＝{4怖,5贺,6抛,7闭,8眠,9大}；(3服){x|x2＋ax＋b＝0}；(4紫){饺(x，y)|x<0且y＞0}；[点评]1.在表晶示集酱合时涨，选哈择表蒙示法院的原下则为上：让怎所表魄示的鲁集合除明确柄、直吓观、念简捷种．2．在(5竖)的方脖程的萝解集钩中只时有一剧个元风素(－3,哗2)，不标要认凶为这燃是两惹个元余素，征表达韵为{－3,透2}．用描手述法型表示风下列挤集合灵．(1舅){－1,护1}；(2芽)大于3的全腹体偶沾数构增成的届集合蜻；(3偿)在平旺面α内，忌线段AB的垂跑直平企分线约上所油有的寒点．[解析](1五){x||x|＝1}；(2萍){x|x>3且x＝2n，n∈Z}；(3注){P|P在平历面α内且PA＝PB}．[例6]下面著三个芦集合怕：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1爬)它们虫是不泥是相纸同的低集合财？(2承)它们砌各自野的含横义是聋什么陵？[分析]对于垦用描证述法机给出溜的集项合，绿首先鞠要清腰楚集陈合中口的代漠表元未素是绑什么傍，元耻素满具足什蔬么条洁件．[例8]已知亩集合A是由见方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实嫩数解卷作为坛元素可构成徐的集南合．(1肃)1是A中的械一个衔元素某，求茂集合A中的饼其它跳元素勾；(2滤)若A中有轧且仅摄有一泄个元抄素，来求a的值蓬组成尊的集蚁合B；(3挣)若A中至火多有勺一个锯元素受，试提求a的取倾值范或围．若a≠0，则米当且费仅当梨方程已的判科别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，茅方程鞋有两才个相欲等的密实根x1＝x2＝－1，此爱时集狱合A中有膨且仅稻有一薯个元换素，∴所求纽奉集合B＝{0陈,1触}；(3叉)集合A中至傅多有甲一个锐元素作包括豪两种尿情况叶：①A中有评且只麻有一欢个元赌素，鱼由(2贡)知此呢时a＝0或a＝1；②A中一考个元骄素也障没有势，即A＝∅，此键时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；综合①、②知所裹求a的取蜻值范花围是{a|a≥1或a＝0}．[分析]题中恐给出芦数集A满足中的条焦件．洋解答宇此题算就从秆此条舒件入妨手．盒逐步在推出埋结论窝．[例10子]集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对泉任意重的a∈A，b∈B，是形否一趋定有a＋b∈C？并姿证明附你的涛结论苦．[错解]由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C[辨析]集合A是所份有被3除余1的整房诚数所矛组成厉的集犬合．宾集合B是所驾有被3除余2的整宪数所兼组成磨的集杨合，夸集合C是所创有被6除余3的整姐数所擦组成师的集驶合，宽易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6∉C，则a∈A，b∈B，不估一定变有a＋b∈C.错解总的根置源在锻于将A，B中的n看成郊同一够个数赔，即a，b不是币任意册的，续而是该互相扁制约懒的，霉从而且破坏盘了a与b的独嫌立性李．[正解]设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)，则a＋b＝