安徽省2023中考数学中档题提分练(第15-21题)　

Page37中档题提分练(第15—21题)中档题组合练(一)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解不等式:3x-1<x+3解:去分母,得6x-2<x+3,(3分)移项、合并同类项,得5x<5,(6分)系数化为1,得x<1.(8分)16.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和格点O.(1)将四边形ABCD先向左平移4个单位长度,再向下平移6个单位长度,得到四边形A1B1C1D1,画出平移后的四边形A1B1C1D1(点A,B,C,D的对应点分别为点A1,B1,C1,D1);(2)将四边形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到四边形A2B2C2D2,画出旋转后的四边形A2B2C2D2(点A,B,C,D的对应点分别为点A2,B2,C2,D2);(3)填空:点C2到A1D1的距离为

655解:(1)如图,四边形A1B1C1D1即为所求.(3分)(2)如图,四边形A2B2C2D2即为所求.(6分)(3)655解法提示:连接A1C2,则S△A1C2D1=12D1C2×1=12×6=3∴点C2到A1D1的距离为2×35=6四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.观察以下等式:第1个等式:11×21+1×(1+12)第2个等式:12×22+1×(2+22)第3个等式:13×23+1×(3+32)第4个等式:14×24+1×(4+42)第5个等式:15×25+1×(5+52)……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第7个等式:

17×27+1×(7+72)=2(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并加以证明.(1)17×27+1×(7+72)=2(2)第n个等式:1n×2n+1×(n+n2)=2证明:左边=1n×2n+1×(n+n2)=2n2+n×(n+n2)18.某数学兴趣小组的同学利用所学知识测量了学校某栋教学楼(AB)的高度.如图,在教学楼前有一棵树(CD),测得教学楼底部和这棵树底部之间的距离(BD)为7m.小组成员小刚站在点E处(眼睛在点F处)测得树顶C处的仰角为30°,小刚从点E处出发沿ED方向前进6m到点G处(眼睛在点H处),测得树顶C处的仰角为45°(点B,D,G,E在一条直线上),此时恰好看不到该教学楼(AB)的顶部A(A,C,H三点在一条直线上).已知小刚的眼睛离地面1.6m,求教学楼AB的高度.(结果精确到0.1m.参考数据:3≈1.73)

解:如图,过点C作AB的垂线,垂足为M,延长FH交CD于点N,交AB于点K,则∠ACM=45°,四边形BDCM、四边形CMKN和四边形BEFK均是矩形,∴AM=MC=BD=7m,KB=FE=1.6m.(2分)设MK=CN=xm.在Rt△CNH中,∠CHN=45°,∴NH=CN=xm.(3分)在Rt△CNF中,∠CFN=30°,CN=xm,NF=(x+6)m,∴CN=NF·tan30°,即x=(x+6)×33,解得x≈8.∴MK=CN=8.2m,∴AB=AM+MK+KB=7+8.2+1.6=16.8(m).答:教学楼AB的高度约为16.8m.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.某公司有A,B两种型号的洒水车,且B种型号洒水车的数量比A种型号多40%.现若将这两种洒水车全部运往甲、乙两市,恰好可以满足甲、乙两市的需求.已知甲、乙两市所需的B种型号洒水车均比A种型号多40%,乙市所需的洒水车是甲市的2倍.(1)设A种型号洒水车的数量为m辆,运往甲市的A种型号的洒水车为x辆,请用含m,x的代数式补全下表.甲市乙市A种xm-xB种1.4x1.4(m-x)(或5.8x-m)(2)求运往甲市的A种型号洒水车的数量与A种型号洒水车总数的比值.解:(1)1.4x1.4(m-x)(或5.8x-m)(4分)解法提示:根据“甲、乙两市所需的B种型号洒水车均比A种型号多40%”可知运往甲市的B种型号洒水车数量为1.4x辆,运往乙市的B种型号洒水车数量为1.4(m-x)辆(或根据“乙市所需的洒水车是甲市的2倍”可知运往乙市的洒水车的数量为2(x+1.4x)=4.8x(辆),故运往乙市的B种型号的洒水车的数量为4.8x-(m-x)=5.8x-m(辆)).(2)根据题意可知1.4(m-x)=2(x+1.4x)-(m-x),整理,得xm=1即运往甲市的A种型号洒水车的数量与A种型号洒水车总数的比值为13.(10分)20.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线,交AC于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF⊥AC;(2)若FD=5,FB=3,求☉O的半径.

(1)证明:如图,连接OD,AD.∵ED是☉O的切线,∴OD⊥DE.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.又∵AB=AC,∴BD=CD,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∴EF⊥AC.

(4分)(2)如图,由(1)易得∠BAD=∠DAE,∵∠BAD+∠ABC=∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABC.∵∠FBD+∠ABC=180°,∠FDA+∠ADE=180°,∴∠FBD=∠FDA.又∵∠F=∠F,∴△FBD∽△FDA,(6分)∴FBFD=FD∴35=5∴FA=253,(8分)∴OA=12(FA-FB)=12×(253-3)即☉O的半径为83.(10分)六、(本题满分12分)21.对垃圾进行分类投放,能有效提高对垃圾的处理效率和再利用率,减少污染,保护环境.某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的了解情况,从七、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试,并对成绩(百分制)进行整理和分析.部分信息如下.a.如下为七年级学生成绩频数分布直方图(不完整):(每组包含最小值,不包含最大值)b.七年级在80≤m<90这一组的学生成绩是(有一个数据被墨迹遮盖):82,86,81,83,86,85,86.c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数(单位:分)如下:平均数中位数众数七年级838486八年级84.28684根据以上信息,解答下列问题:(1)补全七年级学生成绩频数分布直方图;(2)被墨迹遮盖的数据是83;

(3)在此次测试中,某学生的成绩是85分,在他所属年级属于中等偏上,由表中数据可知该学生是七年级的学生(填“七”或“八”);

(4)若从被抽取的七年级学生中随机抽取1名学生了解情况,求这名学生的成绩在80分以上(含80分)的概率.解:(1)补全七年级学生成绩频数分布直方图如图所示.(3分)解法提示:由题意可知,七年级成绩在80≤m<90这一组的学生有7名,故七年级成绩在70≤m<80这一组的学生有20-1-2-7-6=4(名).(2)83(6分)解法提示:将七年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列后,第10,11个数据的平均数即为这组数据的中位数.将七年级在80≤m<90这一组未遮盖的成绩按照从小到大的顺序排列为81,82,85,86,86,86.∵七年级成绩的中位数是84,∴85是第11个数据,被遮盖的数据是第10个数据,∴被墨迹遮盖的数据是84×2-85=83.(3)七(9分)解法提示:∵这名学生的成绩在本年级属于中等偏上,∴这名学生的成绩比本年级成绩的中位数大.又∵七、八年级成绩的中位数分别是84分,86分,∴这名学生是七年级的学生.(4)7+620=13答:这名学生的成绩在80分以上(含80分)的概率为1320.(12分)中档题组合练(二)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解方程组:4解:4①×2,得8x+2y=16③,(2分)②+③,得9x=9,(4分)∴x=1.(5分)把x=1代入①中,得4+y=8,∴y=4.(6分)故原方程组的解为x=1,16.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中,已知格点三角形ABC(顶点为网格线的交点).(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1(点B,C的对应点分别为点B1,C1),画出△AB1C1;(2)将△ABC平移,使得点A与点C1重合,得到△A2B2C2(点A,B,C的对应点分别为点A2,B2,C2),画出△A2B2C2,并说明平移过程;(3)填空:sin∠B1C1B2=

210解:(1)△AB1C1如图(1)所示.(3分)(2)△A2B2C2如图(1)所示.(5分)平移过程:将△ABC先向上平移1个单位长度,再向右平移4个单位长度或先向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度.(6分)图(1)图(2)(3)210(8分)解法提示:如图(2),过点B2作B2D⊥B1C1于点D.由题意可得,B1B2=1,B2C1=5,B1C1=10,∵S△B1B2C1=12×1×1∴B2D=1010∴sin∠B1C1B2=B2DB四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.为加强新农村建设,某地方政府准备在甲村和乙村之间修建一条公路.已知A工程队单独完成此工程需要5个月,B工程队单独完成此工程需要10个月.若A,B两工程队合作2个月后,再由B工程队单独完成剩余部分,则B工程队还需要几个月才能完成?解:设此工程的总工作量为1,A,B两工程队合作2个月后,B工程队还需要x个月才能完成,则A工程队每个月的工作量为15,B工程队每个月的工作量为1根据题意,得2×(15+110)+110x=解得x=4.(7分)答:B工程队还需要4个月才能完成.(8分)18.观察下列等式:第1个等式:1×(1+1)2-13-1=2×12;第2个等式:2×(2+1)2-23-2=2×22;第3个等式:3×(3+1)2-33-3=2×32;第4个等式:4×(4+1)2-43-4=2×42;第5个等式:5×(5+1)2-53-5=2×52;……(1)请直接写出第6个等式:6×(6+1)2-63-6=2×62;

(2)请根据上述等式的规律,猜想出第n个等式(用含n的式子表示,n为正整数),并证明你的猜想.(1)6×(6+1)2-63-6=2×62(3分)(2)n(n+1)2-n3-n=2n2.(5分)证明:等式左边=n(n2+2n+1)-n3-n=n3+2n2+n-n3-n=2n2=等式右边,故猜想成立.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,在△ABC和△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,AB·BE=BD·BC.已知点E在线段AC上,连接AD.

(1)求证:△ABD∽△CBE;(2)点P是DE的中点,若点E是AC的三等分点,ABBC=23,AC=9,求AP(1)证明:∵AB·BE=BD·BC,∴ABBC=DB∵∠ABC=∠DBE=90°,∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE,∴△ABD∽△CBE.(4分)(2)∵△ABD∽△CBE,∴∠BAD=∠C,ADEC=ABCB=∴∠DAE=∠BAD+∠BAC=∠C+∠BAC=90°,∴△ADE是直角三角形.∵点E是AC的三等分点,AC=9,∴EC=3或6.(6分)①当CE=3时,AE=6,AD=23CE=∴DE=AD2+AE2∴AP=12DE=10.(8分)②当CE=6时,AE=3,AD=23CE=∴DE=AD2+AE2=42综上所述,AP的长为10或52.(10分)20.1400多年前,我国隋代建造的石拱桥——赵州桥(如图(1)),是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.如图(2)是它的简化示意图,主桥拱是AB,拱高(AB的中点到弦AB的距离)为7.2m.(1)在图(2)中(点O为圆心),用尺规作图作出AB的中点C.(不要求写作法,但保留作图痕迹)(2)若∠OAB=49°,求主桥拱的跨度AB的长.(结果精确到0.1m.参考数据:sin49°≈34,7图(1)图(2)解:(1)点C如图(1)所示.(作法不唯一,正确即可)

图(1)(4分)(2)设OC与弦AB交于点D,如图(2).图(2)∵OC垂直平分AB,∴AB=2AD.设OD=3xm,则OA=ODsin49°≈4∴CD=OC-OD=OA-OD=4x-3x=x(m),∴x=7.2.∵AD=16x2-9x2=7x≈2.6×7∴AB=2AD=18.72×2≈37.4(m).答:主桥拱的跨度AB的长约为37.4m.(10分)六、(本题满分12分)21.如图(1),有四张背面完全相同的扑克牌,牌面数字分别为1,2,3,4;如图(2),正三角形ABC顶点处各有一个圈.果果和文文玩跳圈游戏,规则如下:游戏者将扑克牌背面朝上洗匀后,放置在水平桌面上,随机抽出一张后放回洗匀,抽到的数字是几,游戏者就沿正三角形的边顺时针方向连续跳几个边长.例如:若从圈A起跳,第一次抽到的数字是3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈A,若第二次抽到的数字是2,就从圈A开始顺时针连续跳2个边长,落到圈C.设游戏者从圈A沿顺时针方向起跳.(1)若果果随机抽出一张扑克牌,求她跳圈后落到圈B的概率P1;(2)若文文随机抽出一张扑克牌后放回洗匀,跳圈后再随机抽出一张,用列表法或画树状图法求出文文两次跳圈后落回到圈A的概率P2.图(1)图(2)解:(1)果果跳1或4个边长,可从圈A跳到圈B,因果果随机抽出一张扑克牌,抽到的数字是1或4的结果有2种,故果果随机抽出一张扑克牌,她跳圈后落到圈B的概率P1=24=12.(2)由题意可知,文文总共需要跳3个边长或6个边长,才能落回到圈A,画树状图如图所示:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中最后落到圈A的结果有5种,故文文两次跳圈后落回到圈A的概率P2=516.(12分)中档题组合练(三)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:|-3|+(12)-1-(解:原式=3+2-1(6分)=4.(8分)16.如图,在平面直角坐标系中,△ABC经过对称、位似、平移或旋转等几何变换得到△A1B1C1(点A与点O重合,点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1).(1)在坐标系中依次画出这几次变换得到的图形,并说明每次经过的变换;(2)设P(x,y)为△ABC内任意一点,请依次写出这几次变换后点P的对应点的坐标.解:(1)在坐标系中依次画出几次变换得到的图形如图所示.(3分)①对称变换:△ABC关于y轴对称得到△AB2C2;②位似变换:△AB2C2关于原点O位似放大到原来的2倍,得到△AB3C3;③平移变换:△AB3C3先向右平移3个单位,再向上平移4个单位得到△A1B1C1.(6分)(2)P(x,y)(-x,y)(-2x,2y)(-2x+3,2y+4).(8分)(注:本题变换的步骤不唯一,合理即可)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.我国古代著作《孙子算经》中记载了一个“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何.”大致意思是:每三人共乘一辆车,则有2辆空车;每两人共乘一辆车,则有9人无车可乘.问人和车的数量分别是多少.请解答上述问题.解:设人数为x,车的数量为y.根据题意可得x=3(解得x=39,答:人数为39,车的数量为15.(8分)18.图(1)是一种蒙古包的实物图,其结构主要由两部分组成,上部是圆锥形顶盖,下部是圆台形毡墙,其截面示意图如图(2)所示,顶端A到毡墙上沿的距离AB=AC=4m,BC∥DE,经测量,BD=CE=2m,∠BDE=∠CED=65°,∠A=130°.求蒙古包的高度.(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,π≈3.14)

图(1)图(2)解:如图,过点A作AM⊥DE于点M,交BC于点F,过点B作BG⊥DE于点G,根据题中条件易知点M是DE的中点.∵BC∥DE,∴AF⊥BC,∴四边形BGMF为矩形,∴BG=FM.∵AB=AC,AF⊥BC,∴∠BAF=12∠BAC=65°.(4分)在Rt△ABF中,AF=AB·cos∠BAF=4cos65°.(5分)在Rt△BGD中,BG=BD·sin∠BDG=2sin65°,(6分)∴AM=AF+FM=AF+BG=4cos65°+2sin65°≈4×0.42+2×0.91=3.5(m).∴蒙古包的高度约为3.5m.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.观察下列等式:第1个等式:13-1×(12-1)+1+2=2×2;第2个等式:23-2×(22-1)+2+2=2×3;第3个等式:33-3×(32-1)+3+2=2×4;第4个等式:43-4×(42-1)+4+2=2×5;第5个等式:53-5×(52-1)+5+2=2×6;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:63-6×(62-1)+6+2=2×7.

(2)写出你猜想的第n个等式:n3-n×(n2-1)+n+2=2(n+1)(用含n的等式表示),并证明.

(1)63-6×(62-1)+6+2=2×7(3分)(2)n3-n×(n2-1)+n+2=2(n+1)(6分)证明:等号左边=n3-n3+n+n+2=2n+2=2(n+1)=等号右边,故猜想正确.(10分)20.如图,AB是☉O的切线,OA,OC是☉O的半径,且OC∥AB,连接BC交☉O于点D,点D恰为BC的中点,连接OD并延长,交AB于点E.(1)求∠B的度数;(2)求ABOC的值解:(1)∵OC∥AB,∴∠OCD=∠EBD,∠COD=∠BED.又∵CD=BD,∴△COD≌△BED,(3分)∴OC=BE,OD=DE,∴OD=DE=OA=OC=BE,∴∠B=∠EDB.∵AB是☉O的切线,∴OA⊥AB,∴∠OAE=90°,∴sin∠AEO=OAOE=12,∴∠AEO=30°,∴∠B=12∠AEO=15°.(7分)(2)设OA=OC=a,则BE=a.在Rt△AOE中,∠AEO=30°,则AE=3a,∴AB=3a+a=(3+1)a,(9分)∴ABOC=(3+1)aa=六、(本题满分12分)21.某校学生会为筹备体育活动,在全校2000名学生中就“我最喜欢的运动项目”进行了抽样调查,并绘制了如图所示的不完整的统计图.调查问卷我最喜欢的运动类型是()(单选)A.田赛B.径赛C.球类D.其他具体的运动项目是(例如:长跑、标枪、乒乓球等,只能填一项噢)

结合以上统计图完成下列问题:(1)填空:a=30%,b=10%.

(2)补全条形统计图.(3)估计全校共有多少名学生喜欢足球和乒乓球.(4)学生会计划抽出两名志愿者,参与这次体育活动的准备工作.八、九年级均有一名男生和一名女生成为候选人,若由抽签来决定,求恰好抽到八年级女生和九年级男生的概率.解:(1)30%10%(2分)解法提示:最喜欢球类运动的人数为20÷40%=50,a=1550×100%=30%,b=1-20%-40%-30%=10(2)最喜欢足球运动的人数为50×20%=10,最喜欢其他球类运动的人数为50×10%=5,补全条形统计图略.(5分)(3)抽样调查的总人数为50÷40%=125,2000×20+10125=480答:估计全校共有480名学生喜欢足球和乒乓球.(7分)(4)根据题意列表如下:第二名第一名八男八女九男九女八男(八女,八男)(九男,八男)(九女,八男)八女(八男,八女)(九男,八女)(九女,八女)九男(八男,九男)(八女,九男)(九女,九男)九女(八男,九女)(八女,九女)(九男,九女)(10分)由表格可知,共有12种可能的结果,且每种结果出现的可能性相同,其中恰好抽到八年级女生和九年级男生的结果有2种.故P(恰好抽到八年级女生和九年级男生)=212=16.中档题组合练(四)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.化简求值:(x-1)(x+1)+(2x-1)2-2x(2x-1),其中x=2.解:原式=x2-1+4x2-4x+1-4x2+2x(3分)=x2-2x.(6分)当x=2时,原式=(2)2-22=2-2216.某工厂计划在规定时间内完成一批零件的加工任务,实际工作时工作效率比原计划提高了10%,结果提前5天完成任务.求原计划多少天完成这批零件的加工任务.解:设原计划x天完成这批零件的加工任务,原计划每天加工a个零件.由题意得a(1+10%)(x-5)=ax,(5分)解得x=55.答:原计划55天完成这批零件的加工任务.(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点O,A,B,C均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1),画出△A1B1C1;(2)将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°,得到△A2B2C1(点A1,B1的对应点分别为点A2,B2),画出△A2B2C1;(3)在(2)的条件下,点A1运动的路径长为

2π.

解:(1)△A1B1C1如图所示.(3分)(2)△A2B2C1如图所示.(6分)(3)2π(8分)18.如图,MN是一条东西走向的海岸线,上午9:00,有一艘船从海岸线上港口A处沿北偏东30°方向航行,上午11:00抵达B处后,又向南偏东75°方向继续航行,一段时间后,抵达位于港口A处的北偏东60°方向上的C处,该船在航行中的平均速度为30海里/时,求此时该船距海岸线MN的距离.(结果保留根号)解:如图,过点B作BE⊥AC,垂足为点E.由题易得∠1=30°,∠BAE=60°-30°=30°,∠BCE=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-(30°+75°)=45°.在Rt△ABE中,AB=30×2=60(海里),∴BE=AB·sin30°=60×12=AE=AB·cos30°=60×32=303(海里)在Rt△BCE中,CE=BE=30(海里),∴AC=(303+30)海里.(5分)过点C作CF⊥MN,垂足为点F.在Rt△ACF中,∵∠CAF=90°-60°=30°,∴CF=12AC=12×(303+30)=(153+答:此时该船距海岸线MN的距离为(153+15)海里.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,△ABC是☉O的内接三角形,EA,EB分别交☉O于点F,D,连接CD,已知AC=AE,DC=DE.

(1)求证:AB=AC;(2)连接CF,若∠BAE=90°,BC=4,CF=3,求点A到BC的距离.(1)证明:如图(1),连接AD.∵AC=AE,DC=DE,AD=AD,∴△ADC≌△ADE,∴∠ACD=∠AED.又∵∠ACD=∠ABE,∴∠ABE=∠AED,∴AB=AE,∴AB=AC.(5分)

图(1)图(2)(2)如图(2),连接BF.∵∠BAE=90°,∴BF为☉O的直径,∠BCF=90°.连接AO,OC,延长OA交BC于点G.∵AB=AC,OB=OC,∴AG垂直平分BC,∴BG=2.在Rt△BCF中,BC=4,CF=3,∴BF=5,OG=12CF=32,∴OA=12∴AG=OA+OG=4,即点A到BC的距离为4.(10分)20.不透明的袋中有5个球,分别标有数字1,2,3,4,5,除了数字不同外,其他都相同.(1)求任意摸出一个球,其上所标数字恰好是奇数的概率;(2)任意摸出两个球,求两球上的数字都小于4的概率.解:(1)5个球中有3个球上的数字为奇数,故任意摸出一球,其上所标数字恰好是奇数的概率为35.(2)根据题意画树状图如下.由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中两球上的数字都小于4的结果有6种,故两球上的数字都小于4的概率为620=310.六、(本题满分12分)21.如图,每个图形(除去中间1个小正方形)都可以看成由上下左右4个等腰梯形组成,且每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成,等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半.设每个小正方形的面积为1,则第①个图形的面积为4×(2×1+4×12)=16;第②个图形的面积为4×(5×1+5×12)=30;第③个图形的面积为4×(9×1+6×12根据上述规律,解答下列问题.(1)第④个图形的面积为4×(14×1+7×12)=70第⑤个图形的面积为4×(20×1+8×12)=96(2)第个图形的面积为4×[

12n(n+3)×1+(n+3)×12].(用含n的式子填空,n(3)上面的图形还可看成1个大正方形减去中间1个小正方形,这时,第①个图形的面积为(32)2-2;第②个图形的面积为(42)2-2;第③个图形的面积为(52)2-2……再根据这个规律,解答下列问题.①第个图形的面积为[

2(n+2)]2-2;(用含n的式子填空,n为正整数)

②比较两个猜想,写出你发现的结论并证明.(1)1477020896(3分)(2)12n(n+3)(n+3)(5分)(3)①2(n+2)(7分)②结论:4×[12n(n+3)×1+12(n+3)]=[2(n+2)]2-2.证明:右边=2n2+8n+6,左边=2n(n+3)+2(n+3)=2n2+8n+6,∴左边=右边,即4×[12n(n+3)×1+12(n+3)]=[2(n+2)]2-2.中档题组合练(五)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.先化简,再求值:(x-2)(x+2)-x(x-1),其中x=3.解:原式=x2-4-x2+x=x-4.(5分)当x=3时,原式=3-4=-1.(8分)16.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,直线l在网格线上,格点O在直线l上.(1)画出线段AB关于点O中心对称的线段CD(点A,B的对应点分别为点C,D);(2)画出线段CD关于直线l对称的线段EF(点C,D的对应点分别为点E,F);(3)连接BD,DF,则tan∠BDF=

12解:(1)线段CD如图所示.(3分)(2)线段EF如图所示.(6分)(3)12(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,某同学站在斜坡AC的A处测得教学楼的顶部B的仰角为58°,斜坡AC的坡角为22°,AC=CE=8米,求教学楼BE的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)解:如图,过点A分别作AF⊥BE于点F,AD⊥CE于点D,则四边形ADEF为矩形.(1分)在Rt△ACD中,∠ACD=22°,AC=8米,∴AD=AC·sin22°≈8×0.37=2.96(米),CD=AC·cos22°≈8×0.93=7.44(米),∴AF=DE=CE+CD=8+7.44=15.44(米).(4分)在Rt△ABF中,∠BAF=58°,∴BF=AF·tan58°≈15.44×1.6=24.704(米),∴BE=BF+EF=BF+AD=24.704+2.96≈27.7(米).答:教学楼BE的高度约为27.7米.(8分)18.甲、乙两港口相距80km,一艘轮船以akm/h的速度从甲港口逆流向乙港口航行,水流速度为2km/h,现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口.(1)假设该轮船的静水速度不变,甲港口与丙港口之间的距离为xkm,填写下列表格.距离/km速度/(km/h)甲港口到丙港口xa乙港口到丙港口80-xa+4(2)在(1)的条件下,若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同,求甲港口到丙港口之间的距离(用含有a的式子表示).解:(1)填写表格如下.(4分)距离/km速度/(km/h)甲港口到丙港口xa乙港口到丙港口80-xa+4解法提示:甲、乙两港口相距80km,甲港口与丙港口之间的距离为xkm,故乙港口到丙港口的距离为(80-x)km.由题意可知该轮船的静水速度为(a+2)km/h,故该轮船从乙港口航行到丙港口的速度为(a+4)km/h.(2)由题意,得xa=80整理,得x=40a答:甲港口到丙港口之间的距离为40aa+2km五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.在数学活动课中,小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案,该图案是由三种等腰直角三角形构成的,已知最小的等腰直角三角形的斜边长为1,最大的等腰直角三角形的直角顶点A1,A2,A3,…,An位于x轴正半轴.(1)直接写出点A3,A4,An的坐标;(2)学校计划用此图案装饰学校的围墙,现需制作大、中、小三种型号的等腰直角三角形墙砖,其中小号墙砖的斜边长为1米,围墙总长为2022米,则三种墙砖分别需要多少块?解:(1)A3(8,0),A4(11,0),An(3n-1,0).(6分)(2)∵2022÷3=674,∴大号墙砖需要674块,中号墙砖需要674×2=1348(块),小号墙砖需要674×4=2696(块).(10分)20.如图,☉O是等边三角形ABC的外接圆,点D是BC边上一点,连接AD并延长,交☉O于点E,CH⊥AE于点H,连接BH,CE,BE,∠BHE=60°.

(1)求证:△ABH≌△CBE;(2)若AB=27,求HE的长.(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=BC,∴∠CEB=180°-60°=120°.(2分)∵∠BHE=60°,∴∠AHB=120°,∴∠AHB=∠CEB.(4分)在△ABH和△CBE中,AB∴△ABH≌△CBE.(5分)(2)方法一:如图(1),过点B作BG⊥AE于点G.图(1)设HE=x,易得BH=x,HG=12x,BG=3∵CH⊥AE,∠AEC=∠ABC=60°,∴AH=CE=2HE=2x,∴AG=AH+HG=2x+12x=52x.在Rt△ABG中,AG2+BG2=AB2,即(52x)2+(32x)2=(27)2,解得x=2(负值已舍去),即HE=2.(10分)方法二:如图(2),过点B作BF⊥CH交CH的延长线于点F.图(2)∵∠BHE=60°,CF⊥AE,∴∠BHF=90°-60°=30°.设HE=x,易得BH=x,∴BF=12x,FH=3∵∠AEC=∠ABC=60°,CH⊥AE,∴CH=HE·tan60°=3x,∴CF=FH+CH=32x+3x=332∵△ABC是等边三角形,∴BC=AB=27.在Rt△BCF中,BF2+CF2=BC2,即(12x)2+(332x)2=(27)2,解得x=2(负值已舍去),即HE=2.(10分)六、(本题满分12分)21.某校在八年级开展了“学党史”知识竞赛活动.为了解本次竞赛成绩,张老师随机抽取了部分参赛同学的成绩(均为整数)进行统计,并绘制成成绩等级分布表、成绩扇形统计图、频数分布直方图(每组含左端点不含右端点,最后一组含100),具体如下:成绩等级分布表等级成绩x/分Aa≤x≤100B80≤x<aC60≤x<80D0≤x<60成绩扇形统计图频数分布直方图(1)共抽取了50名同学的成绩,频数分布直方图中,m=14,n=11.

(2)已知在分数段90≤x≤100中的n名学生成绩的中位数为96分.强强同学的成绩为95分,则其成绩属于哪个等级?请说明理由.(3)A等级和B等级中各有3人参加“学党史”交流会,A等级的3人为2名男生,1名女生,B等级的3人为1名男生,2名女生.若从A等级和B等级参加“学党史”交流会的学生中分别随机选出1人分享学习经验,求选中的2人恰好为一男一女的概率.解:(1)501411(3分)解法提示:(2+3)÷10%=50,m=50×44%-8=14,n=50-2-3-8-14-12=11.(2)B等级.(4分)理由:由题意可知将成绩在分数段90≤x≤100中的11个分数按照从高到低的顺序排列,第6个分数为96分.又样本中A等级的人数为50×12%=6(人),强强的成绩为95分,故强强同学的成绩属于B等级.(8分)(3)根据题意,画树状图如下:由树状图可知,一共有9种等可能的结果,其中选中的2人恰好为一男一女的结果有5种,故P(选中的2人恰好为一男一女)=59.(12分)中档题组合练(六)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:8-(3-π)0-4cos45°.解:原式=22-1-4×22(5分)=-1.(8分)16.观察下列等式.①2-94=14-②8-254=94-③18-494=254-④32-814=494-⑤50-1214=814-…(1)按规律写出第⑥个等式:72-1694=1214-1(2)用含n的式子表示你发现的规律,并证明.(1)72-1694=1214-1(2)2n2-(2n+1)24=(2n-1证明:左边=8=4=(=(2n=右边.(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(5,2),B(5,-3),C(3,-2),点P的坐标为(2,0).(1)以点P为位似中心,在点P的左侧将△ABC放大2倍,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1)(2)作△A2B2C2≌△ABC,且△A2B2C2的三个顶点分别落在△A1B1C1的三边上,请画出△A2B2C2.解:(1)△A1B1C1如图所示.(4分)(2)△A2B2C2如图所示.(8分)18.如图,某渔政执法船在某河流流域巡航时,以30km/h的速度向正南方向航行,在A处观测到码头C位于渔政执法船的南偏东37°方向上,2h后到达B处,这时观测到码头C位于渔政执法船的北偏东45°方向上,若此时渔政执法船按原速沿路线BC返回码头C,需要多长时间?(结果精确到0.1h.参考数据:2≈1.41,sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈34解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.由题意知,∠CAB=37°,∠ABC=45°,AB=30×2=60(km).(2分)设CD=xkm.在Rt△BCD中,∠DBC=45°,∴BD=CD=xkm,BC=2xkm,∴AD=(60-x)km.(4分)在Rt△ACD中,∠CAD=37°,tan∠CAD=CDAD∴34≈x解得x=1807,(6分)∴BC=2×1807≈36.36.26÷30≈1.2(h).答:渔政执法船按原速沿路线BC返回码头C大约需要1.2h.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,已知点D是△ABC外接圆的劣弧AB的中点,点H是边BC上一点,连接DH,DH⊥BC.(1)请用尺规在图中作出△ABC外接圆的直径DE(保留作图痕迹,不写作法);(2)求证:CB-CA=2BH.备用图图(1)(1)直径DE如图(1)所示.(作法不唯一,正确即可)(3分)解法提示:作弦AB的垂直平分线(或过点D作弦AB的垂线),交△ABC的外接圆于点D,E,根据垂径定理可知DE为求作的直径.(2)方法一:证明:如图(2),连接DA,DB,DC,在CB上截取CG=CA,连接DG.(4分)∵点D为劣弧AB的中点,∴∠ACD=∠BCD,DA=DB.图(2)又∵CG=CA,CD=CD,∴△CDA≌△CDG,(7分)∴DG=DA=DB.又∵DH⊥BC,∴GH=BH,∴CB-CA=CB-CG=BG=2BH.(10分)方法二:证明:如图(3),过点D作DF⊥CA交CA的延长线于点F,连接DA,DB,DC.(4分)图(3)∵点D为劣弧AB的中点,∴∠FCD=∠BCD,DA=DB.又∠DFC=∠DHC=90°,CD=CD,∴△CDF≌△CDH,(7分)∴CF=CH,DF=DH.又DA=DB,∴Rt△DAF≌Rt△DBH,∴AF=BH.∵CB=CH+BH,CA=CF-AF,∴CB-CA=BH+AF=2BH.(10分)20.如图(1),直线l:y=kx+b(k,b为常数,k≠0)与双曲线y=mx(m为常数,m≠0)交于A(4,1),B(n,-2)两点,与x轴交于点D,与y轴交于点(1)求m,k,b的值;(2)请直接写出不等式kx+b<mx(3)如图(2),将直线l沿y轴向上平移3个单位长度后,得到直线l',在第一象限交双曲线y=mx于点M,连接MC,MD,求△MCD的面积图(1)图(2)解:(1)∵点A(4,1)在双曲线y=mx∴m=4×1=4.(1分)∵点B(n,-2)在双曲线y=4x∴-2=4n,∴n=-2,∴B(-2,-2)将A(4,1),B(-2,-2)分别代入y=kx+b,得1=4k+b,(2)x<-2或0<x<4.(5分)(3)易知直线l'的解析式为y=12x-1+3=12x+2.如图,设直线l'与y轴交于点E,连接DE.对于y=12x-1,当y=0时,x=∴D(2,0),∴OD=2.(9分)∵l∥l',CE=3,∴S△MCD=S△CDE=12×3×2=3.(10分)六、(本题满分12分)21.某中学开展黄梅戏演唱比赛,组委会将本次比赛的成绩(单位:分)进行整理,并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图(不完整).成绩/分频数频率50≤x<6020.0460≤x<70a0.1670≤x<80200.4080≤x<90160.3290≤x≤1004b合计501请你根据图表提供的信息,解答下列问题:(1)求出a,b的值并补全频数分布直方图.(2)将此次比赛成绩分为三组:A.50≤x<60;B.60≤x<80;C.80≤x≤100.若按照这样的分组方式绘制扇形统计图,则其中C组所在扇形的圆心角的度数是多少?(3)学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛,求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率.解:(1)a=50×0.16=8,b=450=0.08.(2分)补全频数分布直方图如上.(4分)(2)360°×(0.32+0.08)=144°.故C组所在扇形的圆心角的度数为144°.(6分)(3)由题意知,不低于90分的学生共有4人,设这四名学生分别为M,X,A,B,其中小欣和小怡分别用A,B表示,根据题意,画树状图如下.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种,故小欣和小怡同时被选上的概率是212=16.中档题组合练(七)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解不等式组2-2解:2解不等式①,得x≤1,(2分)解不等式②,得x>-2,(4分)∴不等式组的解集为-2<x≤1,(6分)∴不等式组的整数解为-1,0,1.(8分)16.如图所示为由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8的网格,已知点A,B为网格线的交点.(1)将线段AB向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到线段CD(点A,B的对应点分别为C,D),在图中作出线段CD;(2)若以点B为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,点A的坐标为(-2,1),则点C的坐标为(1,3);

(3)在网格中找出点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形是平行四边形,并写出点E的坐标.(找到并写出其中一个即可)解:(1)求作的线段CD如图所示.(2分)(2)(1,3)(4分)(3)求作的点E如图所示,坐标为(-3,-2),(3,2)或(-1,4).答出一个即可.(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.某市政部门对一条长akm的河道进行改造,甲施工队计划用30天完成,当甲施工队工作5天后,市政部门接到通知,要求提前15天完成河道改造,甲施工队随即加快速度,每天的工作效率比原计划提高30%,同时乙施工队加入和甲施工队共同完成剩余工程,结果按要求如期完成整个工程.(1)甲施工队改造了

a6km河道后,乙施工队加入(用含a(2)若乙工程队加入后,甲、乙两施工队每天改造的河道长度相差0.5km,求河道的长度.解:(1)a6(3分)(2)设乙单独承担河道改造工程,需要x天完成,根据题意得,30-15-530(1+30%)∴x=25.∵甲、乙两施工队每天改造的河道长度相差0.5km,∴1.3a30-a解得a=150.故河道的长度为150km.(8分)18.为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯踏步的宽度的范围是260mm~300mm(含300mm),高度的范围是120mm~150mm(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900mm,∠ACD=65°,问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.(参考数据:sin65°≈0.906,cos65°≈0.423)解:如图,连接BD,过点D作DM⊥AB于点M,∵AB=CD,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,∴AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形,(2分)∴∠C=∠ABD,AC=BD.∵∠C=65°,AC=900mm,∴∠ABD=65°,BD=900mm,∴BM=BD·cos65°≈900×0.423=380.7(mm),(4分)DM=BD·sin65°≈900×0.906=815.4(mm).(6分)∵380.7÷3=126.9,120<126.9<150,∴该中学楼梯踏步的高度符合规定;∵815.4÷3=271.8,260<271.8<300,∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定.综上所述,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,2),B(-1,0),C(0,1),△A1B1C与△ABC关于y轴对称.将△ABC和△A1B1C向右平移4个单位长度,得到△A1B2C1和△A2B3C1;将△A1B2C1和△A2B3C1向右平移4个单位长度,得到△A2B4C2和△A3B5C2……依次操作下去,从而得到一组三角形.(1)写出下列各点的坐标:A1(2,2),A2(6,2),Am(4m-2,2)(m为正整数).

(2)若△AmBnCk(k≥1)是这组三角形中的一个三角形,则当n=99时,①m=50,k=49.

②请直接写出△AmBnCk的各个顶点的坐标.解:(1)(2,2)(6,2)(2分)(4m-2,2)(4分)解法提示:由题意易得A1(2,2),A2(6,2).根据平移规律,得点Am的横坐标为2+(m-1)×4=4m-2,∴点Am的坐标为(4m-2,2).(2)①5049(8分)解法提示:观察规律可知,当n为奇数时,n=1+2k,m=k+1.当n=99时,1+2k=99,解得k=49,∴m=49+1=50.②Am(198,2),Bn(197,0),Ck(196,1).(10分)20.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上且不与点A,B重合,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为点G,交☉O于点E,连接CE交BD于点F,连接FG.

(1)求证:FG=12DE(2)若AB=45,FG=4,求AG的长.(1)证明:∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBA=∠DBC.又∵∠C=∠D,∴∠BFC=∠BGD=90°,∴∠DFE=∠CFB=90°,∴△DEF是直角三角形.(3分)∵AB是☉O的直径,DE⊥AB,∴点G是DE的中点,∴FG=12DE.(6分)(2)连接OD,则OD=OA=12AB=25由(1)知DG=FG=4,∴OG=OD2-D∴AG=OA-OG=25-2.(10分)六、(本题满分12分)21.为了解某校九年级男生的立定跳远情况,对九年级男生进行了一次立定跳远测试,并随机抽取了部分男生的成绩,将获得的数据分成四组(A:S>2.4;B:2.2<S≤2.4;C:2<S≤2.2;D:S≤2.其中S表示立定跳远的距离,单位:m),并绘制了如图所示不完整的统计图.根据图中信息,解答下列问题.(1)在扇形统计图中,A组所在扇形的圆心角的度数为36°,补全条形统计图;

(2)已知该校九年级有400名男生,请估计该校九年级男生中立定跳远成绩为2m以上的人数;(3)体育老师想从D组的甲,乙,丙,丁四人中随机选择两人了解平时的训练情况,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两人的概率.解:(1)36°(2分)补全条形统计图如下.(4分)解法提示:本次抽取的学生有4÷10%=40(名).4÷40×360°=36°,故A组所在扇形的圆心角度数为36°.C组学生有40-4-20-4=12(名).(2)400×4+20+1240=故该校九年级男生中立定跳远成绩为2m以上的约有360名.(7分)(3)根据题意,画树状图如下:(9分)由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两人的结果有2种,故所求概率为212=16.中档题组合练(八)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解方程:2xx-2=解:方程两边同乘以2x-4,得4x=2x-4-1,(2分)移项、合并同类项,得2x=-5,(4分)解得x=-2.5.经检验,x=-2.5是原方程的根,(6分)故原方程的根为x=-2.5.(8分)16.在如图所示的网格中建立平面直角坐标系,每个小方格的边长均为1个单位长度,点O,A,B均为网格线的交点.(1)将线段AB绕点O逆时针旋转180°得到线段CD,画出线段CD(点A,B的对应点分别为点C,D);(2)若(1)中所作线段CD是线段AB经过某种变换得到的,点A与点D、点B与点C分别是对应点,线段AB上的点M的坐标为(m,n),则在上述变换下,点M的对应点N的坐标为(m-5,n-5)(用含m,n的式子表示);

(3)在(1)的条件下,连接AD,BC,则四边形ABCD的面积为20.

解:(1)线段CD如图所示.(3分)(2)(m-5,n-5)(6分)解法提示:若点A与点D是对应点,点B与点C是对应点,则该变换为先向左平移5个单位长度,再向下平移5个单位长度(或先向下平移5个单位长度,再向左平移5个单位长度).因为点M的坐标为(m,n),所以点N的坐标为(m-5,n-5).(3)20(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.某外贸公司2020年实行精品出口策略,使某种产品的出口量比2019年有所下降,但每件该种产品的出口利润大于2019年.已知每件该种产品的出口利润的增长率是该种产品出口量的下降率的2倍,2020年该种产品的出口总利润增加了8%.求2020年该种产品的每件出口利润的增长率.解:设2020年该种产品的出口量的下降率为x,则每件该种产品的出口利润的增长率为2x,由题意,得(1+2x)(1-x)=1+8%,(4分)解得x1=0.1,x2=0.4,(6分)当x=0.1时,2x=0.2;当x=0.4时,2x=0.8.(7分)答:2020年每件该种产品的出口利润的增长率为20%或80%.(8分)18.如图是台灯的侧面示意图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度DE为2cm,灯臂与底座的夹角为60°(即∠BAD=60°).经过使用发现,当光线最佳时灯罩BC与水平线的夹角为30°,求此时灯罩顶端C到桌面的高度CE.(结果精确到0.1cm,参考数据:3≈1.732)解:过点B作BM⊥CE于点M,BF⊥AD于点F,则∠CBM=30°,∠BAF=60°,四边形BFDM是矩形.在Rt△BCM中,sin∠CBM=CMBC,BC=∴CM=BC·sin∠CBM=30×12=15(cm).(3分)在Rt△ABF中,sin∠BAF=BFAB,AB=∴BF=AB·sin∠BAF=40×32=203(cm),(6分)∴MD=BF=203cm,∴CE=CM+MD+DE=15+203+2≈51.6(cm).答:此时灯罩顶端C到桌面的高度约为51.6cm.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,连接AC,CN与☉O相切,OM⊥AB,分别交AC,CN于点D,M.

(1)试猜想线段MD与MC的数量关系,并说明理由;(2)连接BC,若AC=6,∠B=60°,求AC的长.解:(1)MD=MC.(1分)理由:如图,连接OC.∵CN与☉O相切,∴OC⊥CN,∴∠OCM=90°,∴∠OCA+∠ACM=90°.∵OM⊥AB,∴∠AOD=90°,∴∠OAC+∠ODA=90°.(3分)∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACM=∠ODA.又∵∠ODA=∠CDM,∴∠ACM=∠CDM,∴MD=MC.(5分)(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,sinB=ACAB∴AB=ACsinB=632∴OA=12AB=23.(8分)又∵∠AOC=2∠B=120°,(9分)∴AC的长为120π×23180=420.甲、乙两人进行射击比赛,两人4次射击的成绩(单位:环)如下:甲:8,6,9,9;乙:7,8,9,8.(1)请将下表补充完整:平均数众数中位数方差甲898.51.5乙8880.5(2)谁的成绩较稳定?为什么?(3)分别从甲、乙两人的成绩中随机各选取一次,则选取的两个成绩之和为16环的概率是多少?解:(1)补全表格如下.平均数众数中位数方差甲898.51.5乙8880.5(3分)(2)乙的成绩较稳定,因为乙的成绩的方差较小.(5分)(3)根据题意画树状图如下.由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两次成绩之和为16环的有4种,故所求概率为416=14.六、(本题满分12分)21.(1)【阅读理解】如图(1),在△PAD中,当边AD上有1个分点时,连接分点与顶点P,图中的三角形有1+2=3(个);当边AD上有2个分点时,图中的三角形有1+2+3=6(个);当边AD上有3个分点时,图中的三角形有1+2+3+4=10(个);当边AD上有4个分点时,图中的三角形有1+2+3+4+5=15(个);当边AD上有5个分点时,图中的三角形有1+2+3+4+5+6=21(个)……由此规律,可知当边AD上有n个分点时,图中的三角形有

12(n+1)(n+2)个.

图(1)(2)【规律拓展】在图(2)中,矩形ABCD中添加n条平行于AD的线段,则该图形中有矩形

12(n+1)(n+2)图(2)图(3)图(4)图(5)如图(3)中,在图(2)的基础上加1条平行于AB的线段,则图(3)中的矩形数量是图(2)中的矩形数量的3倍;

如图(4)中,在图(2)的基础上加2条平行于AB的线段,则图(4)中的矩形数量是图(2)中的矩形数量的6倍;

以此类推,在图(2)的基础上加m条平行于AB的线段,则该图中有

14(m+1)(n+1)(m+2)(n+2)个矩形(3)【规律应用】图(5)中共有150个矩形.

解:(1)12(n+1)(n+2)(2分)(2)12(n+1)(n+2)(4分)3(6分)6(8分)14(m+1)(n+1)(m+2)(n+2)(10分)(3)150(12分)中档题组合练(九)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.分解因式:(a2+b2)2-4a2b2.解:原式=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)(5分)=(a+b)2(a-b)2.(8分)16.某山区一段公路在一次暴雨时因山体滑坡被堵塞,当地公路局组织工程队进行抢修,甲工程队第一天修通了6米后,乙工程队加入,两工程队联合工作了1天,修通了剩余部分的67,这两天共修通被堵塞路段的78解:设这段公路被堵塞了x米,根据题意,得6+67(x-6)=78x,解得x=48.答:这段公路被堵塞了48米.(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点都在网格线的交点上(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形),按要求完成下列任务.(1)以点A为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90°,得到线段AB1,画出线段AB1;(2)以原点O为位似中心,将线段AB1在第一象限扩大3倍,得到线段A1B2,画出线段A1B2;(点A,B1的对应点分别是A1,B2)(3)在线段A1B2上选择一点P,使得以点A,A1,P,B1为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点P的坐标.解:(1)线段AB1如图所示.(3分)(2)线段A1B2如图所示.(6分)(3)(10,6).(8分)18.观察下列等式:第1个等式:12+14=1-第2个等式:12+14+18=1第3个等式:12+14+18+116=第4个等式:12+14+18+116+132……(1)请写出第n个等式:

12+14+18+…+12n+1=1(2)请利用所学知识证明(1)中等式的正确性.(1)12+14+18+…+12n+1(2)方法一:证明:∵12+14+18+…+12=12+14+18+…+…=12+14=1,(6分)∴12+14+18+…+12n+1=方法二:证明:设S=12+14+18+…则2S=1+12+14+…+12两式相减,可得S=1-12n+1故等式12+14+18+…+12n+1=1五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD平移得到△A'B'D',连接A'C,A'D,B'C,A'C与射线BD相交于点O.

(1)求证:A'O=CO.(2)当四边形A'B'CD为矩形时,求BB'的长.(1)证明:方法一:由题意可得A'D'∥BC,∴∠OBC=∠OD'A'.又∵∠A'OD'=∠COB,A'D'=AD=BC,∴△A'OD'≌△COB,∴A'O=CO.(4分)方法二:由四边形ABCD为菱形可得,AB=CD,AB∥CD.由平移可得,A'B'=AB,A'B'∥AB,∴A'B'=CD,A'B'∥CD,∴四边形A'B'CD为平行四边形,∴A'O=CO.(4分)(2)由菱形的性质可得∠DBC=12∠ABC=30°,∠BCD=180°-∠ABC=120当四边形A'B'CD为矩形时,∠B'CD=90°,∴∠BCB'=30°,∴∠B'BC=∠BCB',∴BB'=CB'.如图,过点B'作B'H⊥BC于点H,易得BH=12BC=∴在Rt△BB'H中,BB'=BHcos∠B'BH=1cos3020.如图,已知一次函数y1=kx-1的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数y2=mx的图象交于点C,D,CA=AB=BD,连接OC,OD,原点O在线段CD的垂直平分线上.

(1)求k与m的值;(2)如果函数y3=nx的图象经过点C,请直接写出当y1<y2<y3时x的取值范围.解:(1)易知B(0,-1),∴OB=1.(1分)∵原点O在线段CD的垂直平分线上,∴OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.又CA=BD,∴△OAC≌△OBD,∴OA=OB=1,∴A(1,0).将A(1,0)代入y1=kx-1,得k-1=0,∴k=1.(4分)过点D作DE⊥x轴于点E,则DE∥OB.又∵AB=BD,∴OB是△AED的中位线,∴DE=2OB=2,OE=OA=1,∴D(-1,-2).又点D在反比例函数y2=mx∴m=(-1)×(-2)=2.(7分)(2)-2<x<-1.(10分)解法提示:过点C作y轴的垂线,垂足为点F,则CF∥x轴.∵CA=AB,∴OA是△BCF的中位线,∴CF=2OA=2,OF=OB=1,∴C(2,1).把点C(2,1)代入y3=nx,得n=12∴y3=12易知函数y1=x-1,y2=2x,y3=12由正比例函数、反比例函数图象的对称性可知点M的坐标是(-2,-1).观察函数图象,可知当y1<y2<y3时x的取值范围是-2<x<-1.六、(本题满分12分)21.嘉嘉和明明玩摸球游戏.有5个完全相同的小球,嘉嘉拿了3个,在上面分别标上数字2,3,4;明明拿了2个,也标上了数字.他们将小球放入同一个不透明的口袋中,并搅拌均匀.明明说:“我标的数字是从3,4这两个数字中选择的(可重复).”他们从口袋中随机摸出一个小球,经过多次摸球试验,发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于25(1)明明从口袋中随机摸出一个小球,求摸到的小球上的数字是4的概率.(2)明明摸出一个数字是4的小球后,嘉嘉先从剩余的小球中摸出1个,放回并搅拌均匀,又摸出1个,用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率.解:(1)因为摸到的小球上的数字为3的频率稳定于25所以口袋中所标数字为3的小球有2个.因为明明标的数字是从3,4这两个数字中选择的(可重复),所以只有一个小球上标的数为3,所以另一个小球上标的数字是4,所以口袋中所标数字为4的小球有2个,故从口袋中随机摸出一个小球,摸到的小球上的数字是4的概率是25.(5分)(2)明明摸出一个数字是4的小球后,剩余小球上标的数字分别为2,3,3,4.根据题意,列表如下:第一次第二次23342(2,2)(2,3)(2,3)(2,4)3(3,2)(3,3)(3,3)(3,4)3(3,2)(3,3)(3,3)(3,4)4(4,2)(4,3)(4,3)(4,4)(9分)由表格可知,共有16种等可能的情况,其中嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的情况有4种,故嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率为416=14.中档题组合练(十)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解方程:(x-3)2-4=5.解:移项得(x-3)2=9,∴x-3=±3,(6分)∴x1=6,x2=0.(8分)16.观察下列各个等式:第1个等式:12+122÷1第2个等式:22+132÷13第3个等式:32+142÷14……请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第5个等式;(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示),并证明你的猜想.(1)52+162÷16-4(2)猜想:n2+1(n+1)2÷1n+1证明如下:左边=n2+1(n+1)2÷1n+1-(n-1)=n2+1(n+1)2×(n+1)故等式成立.(8分)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在10×10的网格图中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2,2),B(0,5),C(0,1).(1)若△ABC经过平移后,点A的对应点的坐标为(1,-1),请作出平移后的△A'B'C'(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1);(2)请在网格图中以A'B'为腰作一个面积为132的等腰三角形A'B'D.解:(1)平移后的△A'B'C'如图(1)所示.图(1)(3分)(2)如图(2)所示,△A'B'D1,△A'B'D2,△A'B'D3即为符合条件的三角形.(作出其中一个即可)

图(2)(8分)18.小刚去某景区游玩时,想测量一栋建筑物的高度.如图,在该建筑物AB前有一棵古树CD,小刚根据景区地图得知两者相距10m,他在点E处测得树的顶端C的仰角∠CFP=35°(点B,D,E在一条直线上).小刚从点E出发沿EB方向前进7m到达点G处,测得树的顶端C的仰角∠CHP=45°,此时恰好看不到该建筑物的顶端A(A,C,H三点共线).已知小刚的眼睛离地面1.6m(即EF=HG=1.6m),求建筑物AB的高.(结果精确到0.1m.参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)

解:如图,延长FH分别交CD,AB于点M,N.(1分)设CM=x.在Rt△CMH中,∠CHM=45°,∴MH=CM=x.在Rt△CMF中,tan∠CFM=CMMF∴MF=CMtan∠CFM=xtan35°≈∴x0.70=x+7,解得x≈16.∴MH=16.33.在Rt△ANH中,∠AHN=45°,∴AN=NH=MN+MH=10+16.33=26.33,∴AB=AN+NB=26.33+1.6=27.93≈27.9,故建筑物AB的高约为27.9m.(8分)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.某市政府计划购买甲、乙两种树苗共200株来绿化街道,已知甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元,通过调查了解,甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%.(成活率=种植树苗成活的数量种植树苗的总数×100%(1)若购买这两种树苗共用去5600元,则甲、乙两种树苗分别购买了多少株?(2)要使这200株树苗的成活率不低于94%,那么为了节省费用,应如何购买树苗?解:(1)设购买甲种树苗x株,则购买乙种树苗(200-x)株,由题意,得25x+30(200-x)=5600,(2分)解得x=80,200-80=120(株).答:甲种树苗购买了80株,乙种树苗购买了120株.(4分)(2)设购买乙种树苗m株,则购买甲种树苗(200-m)株,由题意,得95%m+90%(200-m)≥94%×200,(6分)解得m≥160.设购买这两种树苗共用去w元,则w=25(200-m)+30m,即w=5m+5000.(8分)因为5>0,所以w随m的增大而增大.因为m≥160,所以当m=160时,w取得最小值,所以为了节省费用,应购买甲种树苗40株,乙种树苗160株.(10分)20.如图,四边形ABCD内接于☉O,且AD=BC,BD=AB,过点B作☉O的切线BE,交DC的延长线于点E.(1)求证:四边形ABED是平行四边形;(2)若BE=6,☉O的半径为5,求DE的长.(1)证明:如图,连接BO并延长,交AD于点F,连接OA,OD,则OA=OD.又∵AB=BD,∴直线BF垂直平分线段AD,∴∠AFB=