2022-2023学年北京卢沟桥中学高三数学理上学期摸底试题含解析

2022-2023学年北京卢沟桥中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列中，已知，那么（

）A.18

B.8

C.2

D.36参考答案：A略2.设数列满足,且对任意的,点都有,则的前项和为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A3.若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A． B．6 C．11 D．10参考答案：C考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+2y，化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+2y，化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，联立x﹣y+1=0与2x﹣y﹣2=0解得，x=3，y=4；则x+2y的最大值为3+2×4=11，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4.如图，半径为1的圆切直线于点，射线从出发绕着点顺时针方向旋转到，旋转过程中交⊙于点，记为，弓形的面积，那么的大致图象是

参考答案：A5.（5分）（2015?临潼区校级模拟）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果．解：设函数y=，可得y′=，∵，∴函数y=在（0，+∞）上是减函数，对任意正数a，b，若a＜b，必有：．故选：C．【点评】：本题考查函数的单调性的判断，函数的导数的应用，考查计算能力．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．

B．C．

D．参考答案：C由题意可知几何体的形状是组合体．右侧是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2；左侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．几何体的表面积为：，故选C．7.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A.若，，则B.若，且，则C.若，，，，则D.若，，，则参考答案：B【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对：若，，则，或与是异面直线，或与相交，故错误；对：若，且，不妨取交线上一点，作平面的垂线为，因为，且点，故；同理可得，故与是同一条直线，因为，故.故选项正确.对：只有当与是相交直线时，若，，，，才会有.故错误；对：若，，，则与的关系不确定，故错误.故选：B.【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.8.函数的定义域是A. B. C. D.参考答案：B略9.设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，故选：C．10.A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA?sinC，则b的值为．参考答案：3【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件利用正弦定理可得b=6c?cosA，再把余弦定理代入化简可得b=3×，再把a2﹣c2=2b代入化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b的值．解：△ABC中，∵sinB=6cosA?sinC，∴由正弦定理可得b=6c?cosA=6c?=3×．∵a2﹣c2=2b，∴b=3?，化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b=3，故答案为3．【点评】：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．12.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．参考答案：130

15【分析】（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据、分别探究.【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，即8（y-x）≥7y，x≤，即x≤（）min=15元.所以x的最大值为15.13.

若则＝参考答案：答案：

14.某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有

种不同值班方案.（用数字作答）参考答案：1800

15.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则

．参考答案：

16.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，M、N分别是AB、A1D1的中点，则MN的长为

。

参考答案：答案:

17.若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________;参考答案：120°由题意得,

所以,则、的夹角为,

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．参考答案：解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(本小题满分12分)已知数列{an}的首项，前n项和为，，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{an+bn}的前项和.参考答案：解：（1）由题意得，两式相减得，所以当时，是以3为公比的等比数列.因为，所以，，对任意正整数成立，是首项为1，公比为3的等比数列，所以得.（2），所以，20.已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=?=（，1）?（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T=2π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．21.如图，在三棱锥中，，点为边的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱柱的体积.参考答案：（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面．

（2）因为△为直角三角形，，所以，由（1）可知，在直角三角形中， ，，可得，故，所以，三棱柱的体积为．22.已知函数且a≠0）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知．，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）当a＜-1时，求出，解得，不成立；②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递减．f（x）无极小值；当-1＜a＜0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a＞0时，极小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．【详解】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．由题意可知．∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）①当a＜-1时，x变化时变化情况如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x