湖北省华师大附中2022-2023学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中的系数()A．5 B．40 C．20 D．102．设随机变量服从分布，且，，则（）A．， B．，C．， D．，3．已知随机变量，若，则（）A． B． C． D．4．经过伸缩变换后所得图形的焦距（）A． B． C．4 D．65．已知球是棱长为1的正方体的外接球，则平面截球所得的截面面积为()A． B． C． D．6．对于实数，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则7．如图，在正方形中，点E，F分别为边，的中点，将、分别沿、所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误是（）A．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为B．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为C．A、C两点都不可能重合D．存在某个位置，使得直线垂直于直线8．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A． B． C． D．9．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（）A．960种 B．984种 C．1080种 D．1440种10．已知集合，集合中至少有3个元素，则（）A． B． C． D．11．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．12．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：——结伴步行，——自行乘车，——家人接送，——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（）A．30 B．40 C．42 D．48二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若不等式的解集为，则实数的值为________．14．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为__________．15．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.16．选修4-5：不等式选讲设函数，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点.某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：男女总计看保质期822不看保持期414总计（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断，能否有的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数的分布列和数学期望.附：，（）.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，使得，求正实数的取值范围.19．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.21．（12分）如图，在四面体中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函数，其中为正实数.（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：先对二项式中的x赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，求出r，将r的值代入通项求出二项展开式中x4的系数．在中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n，∴2n=32，∴n=5，得到∴二项展开式中x4的系数，故选D.考点：二项展开式的系数点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．2、A【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果.详解：随机变量服从分布，且，，①②即可求得，.故选：A点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个比较好的题目，技巧性比较强.3、D【解析】

由二项分布的期望公式，可计算得，由，即得解.【详解】由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得故选：D【点睛】本题考查了二项分布的期望公式及概率公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4、A【解析】

用，表示出，，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距．【详解】由得，代入得，∴椭圆的焦距为，故选A．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．5、D【解析】

根据正方体的特征，求出球的直径和球心O到平面的距离，求出截面圆的半径，即可得到面积.【详解】球是棱长为1的正方体的外接球，其体对角线就是球的直径，所以球的半径为，根据正方体的性质O到平面的距离为，所以平面截球所得的截面圆的半径为，所以其面积为.故选：D【点睛】此题考查求几何体外接球问题，根据几何特征求出外接球的半径，根据圆心到截面的距离求截面圆的半径，进而求解面积.6、D【解析】试题分析：对于A．若，若则故A错；对于B．若，取则是假命题；C．若，取，则是错误的，D．若，则取，又，所以，又因为同号，则考点：不等式的性质的应用7、D【解析】

在A中，可找到当时，直线AF与直线CE垂直；在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，自然可取到；在C中，若A与C重合，则，推出矛盾；在D中，若AB⊥CD，可推出则，矛盾.【详解】解：将DE平移与BF重合，如图：在A中，若，又，则面，则，即当时，直线AF与直线CE垂直，故A正确；

在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，必然会存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，若A与C重合，则，不符合题意，则A与C恒不重合，故C正确；

在D中，，又CB⊥CD，则CD⊥面ACB，所以AC⊥CD，即，又，则，矛盾，故D不成立；

故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.8、A【解析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9、A【解析】分五类：（1）甲乙都不选：；（2）选甲不选乙：；（3）选乙不选甲：；（4）甲乙都选：；故由加法计数原理可得，共种，应选答案A。点睛：解答本题的关键是深刻充分理解题意，灵活运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理。求解依据题设条件将问题分为四类，然后运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理求出问题的答案，使得问题获解。10、C【解析】试题分析：因为中到少有个元素，即集合中一定有三个元素，所以，故选C.考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.11、A【解析】

求导，并解不等式可得出函数的单调递增区间。【详解】，，令，得或，因此，函数的单调递增区间为，，故选：A。【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数单调区间有以下几种方法：（1）基本性质法；（2）图象法；（3）复合函数法；（4）导数法。同时要注意，函数同类单调区间不能合并，中间用逗号隔开。12、A【解析】

根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．【详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．故选A．【点睛】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

因为不等式的解集（舍），,，故答案为.14、【解析】分析：根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，由直线的方程形式分析可得答案.详解：根据题意，直线的参数方程为（为参数），则直线的普通的方程为：，斜率为，倾斜角为.故答案为：.点睛：本题考查直线的参数方程及倾斜角，注意将直线的参数方程变形为普通方程.15、【解析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，1．∴.16、（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为；（II）由（I）值，函数的最小值为，即，由此解得.试题解析：（I），当，，，当，，，当，，，综上所述.（II）易得，若，恒成立，则只需，综上所述.考点：不等式选讲．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）有的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系（1）分布列见解析，【解析】（分析：1）将列联表填写完整，求出，然后判断性别与是否看保质期之间是否有关系．

（1）判断的取值为0，1，1．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．详解：（1）填表如下：男女总计看保质期81411不看保质期10414总计181836根据列联表中的数据，可得.故有的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系.（1）由题意可知，的所有可能取值为，，，，，所以.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力．18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）求出定义域以及，分类讨论，求出大于0和小于0的区间，从而得到的单调区间；（2）结合（1）的单调性，分类讨论，分别求出和以及函数在上的单调区间以及最小值，从而求出的范围。【详解】（1）的定义域为，.当时，，则在上单调递增；当时，由得：﹔由得：.所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增。①当即时，在上单调递增，不符合题意；②当即时，在上单调递减，在上单调递增，由，解得：；③当即时，在上单调递减，由，解得：．综上所述：a的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论的思想，有一定的综合性。19、sinα2=417【解析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出cosα的值，并计算出α2的取值范围，然后利用半角公式计算出sinα2和cos【详解】∵sinα=-817，又π2<αcosα2=-【点睛】本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.20、（1）2（2）2【解析】

试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.试题解析：（1）由于当时，，当时，，当时，所以.（2）由已知,有，因为(当时取等号)，(当时取等号)，所以，即，故的最大值为2.21、(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt△斜边上的高，连结，易证平面，从而得证；（2）由四面体的体积为2，，得，所以平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.详解：解法一：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以，，，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为解法二：（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．