《三角函数的图像和性质》2

三角函数的图象和性质一、三角函数图象的作法1.几何法y=sinx

作图步骤:(2)平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMA

xyoy=sinx-11o1A2

23

2

2.五点法作函数

y=Asin(

x+

)

的图象的步骤:(1)令相位

x+

=0,,

,,2

,解出相应的

x

的值;23

2

(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.(2)求(1)中

x

对应的

y

的值,并描出相应五点;3.变换法:

函数

y=Asin(

x+

)+k

与

y=sinx

图象间的关系:①函数

y=sinx

的图象纵坐标不变,横坐标向左

(

>0)

或向右(

<0)

平移

|

|

个单位得

y=sin(x+

)

的图象;②函数

y=sin(x+

)

图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的

,得到函数

y=sin(

x+

)

的图象;1

③函数

y=sin(

x+

)

图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的

A倍,得到函数

y=Asin(

x+

)

的图象;④函数

y=Asin(

x+

)

图象的横坐标不变,纵坐标向上

(k>0)

或向下

(k<0)

平移

|k|

个单位得

y=Asin(x+

)+k

的图象.

要特别注意,若由

y=sin(

x)

得到

y=sin(

x+

)

的图象,则向左或向右平移应平移

|

|

个单位.

二、三角函数图象的性质

注正切函数的对称中心有两类:一类是图象与

x

轴的交点,另一类是渐近线与

x

轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.1.正弦函数

y=sinx(xR)

是奇函数,

对称中心是

(k,0)(kZ),对称轴是直线

x=k+

(kZ);余弦函数

y=cosx(xR)

是偶函数,对称中心是

(k+

,0)(kZ),对称轴是直线

x=k(kZ)(正,余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

x

轴的直线,对称中心为图象与

x

轴的交点).2

2

2.正切函数

y=tanx(xR,x+k,kZ)

是奇函数,对称中心是(

,0)(k

Z).

2k

2

三、正、余弦函数的性质1.定义域:都是

R.2.值域:都是

[-1,1].

对

y=sinx,当

x=2k

+

(kZ)

时,y

取最大值

1;当

x=2k

+

(kZ)

时,y

取最小值

-1;对

y=cosx,当

x=2k

(kZ)

时,y

取最大值

1,当

x=2k

+

(kZ)

时,y

取最小值

-1.2

23

3.周期性:①y=sinx、y=cosx

的最小正周期都是

2

;②

f(x)=Asin(

x+

)

和

f(x)=Acos(

x+

)的最小正周期都T=.|

|2

4.奇偶性与对称性:

正弦函数y=sinx(x

R)是奇函数,

对称中心是

(k,0)(k

Z),对称轴是直线

x=k+

(k

Z);余弦函数

y=cosx(x

R)是偶函数,对称中心是

(k+

,0)(k

Z),对称轴是直线

x=k(k

Z)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

x

轴的直线,对称中心为图象与

x

轴的交点).2

2

5.单调性:

y=sinx

在

[2k-

,2k+](kZ)上单调递增,

在[2k+

,2k+

](kZ)上单调递减;y=cosx

在

[2k,2k+

](kZ)上单调递减,在

[2k+

,2k+2

](kZ)上单调递增.2

2

2

23

2.值域是

R,在上面定义域上无最大值也无最小值.

1.定义域:{x

|

x

+k,k

Z}.2

3.周期性:是周期函数且周期是

,它与直线

y=a

的两个相邻交点之间的距离是一个周期

.

注

一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.四、正切函数的性质oxy五、典型例题

例1

利用单位圆中的三角函数线证明当

0<

<时,不等式

sin

<

<tan

成立.2

提示由

S△OAP<S扇形OAP<S△OAT得:×OA×MP<×

×OA2<×OA×AT121212故有

sin

<

<tan

.

×1×sin

<×12×

<×1×tan

121212即xyoPTMA

例2

解不等式

|sinx|>cosx.{x|+2k

<x<+2k

,k

Z}47

4

3.求函数

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

的最小正周期和最小值,并写出该函数在

[0,

]

上的单调增区间.解:∵y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+

3

sin2x

=

3

sin2x-cos2x

6

=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是

,最小值是

-2.3

在

[0,

]

上的单调增区间是

[0,]

和

[,

].65

由

2k-≤2x-

≤2k+

(kZ)

得:2

2

6

k-≤x≤k+(kZ).3

6

令

k=0,

1

即得函数y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

4.已知函数

y=

cos2x+

sinxcosx+1,xR.

(1)求当

y

取得最大值时自变量

x

的集合;(2)该函数的图象可由

y=sinx(xR)

的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?1232解:(1)y=

cos2x+

sinxcosx+1=

cos2x+

sin2x+12321434546

=

sin(2x+)+.5412当且仅当

2x+=2k+(kZ),即

x=k+(kZ)

时,6

2

6

函数

y

取得最大值.故当

y

取得最大值时,自变量

x

的集合是:{x

|

x=k+

,kZ}.6

(2)将函数

y=sinx

依次进行如下变换:

①将

y=sinx

的图象向左平移,得

y=sin(x+

)

的图象;6

6

②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到

y=sin(2x+

)

的图象;126

③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到

y=

sin(2x+

)

的图象;126

1254④将所得图象向上平移个单位长度,得到

y=

sin(2x+

)

+的图象;126

54综上得到

y=

cos2x+

sinxcosx+1

的图象.32125.已知函数

f(x)=sin(x+

)(

>0,0≤

≤

)

是

R

上的偶函数,其图象关于点

M(

,0)

对称,且在区间

[0,]

上是单调函数,求

和

的值.43

2

解:∵f(x)=sin(x+

)(

>0,0≤

≤

)

是

R

上的偶函数,∴sin(-x+

)=sin(x+

),即

-cos

sinx=cos

sinx

对任意实数

x

都成立.∵

>0,∴cos

=0.又∵0≤

≤

,∴

=.2

∵f(x)

的图象关于点

M

对称,∴f(x)=cosx.∴点

M

为

f(x)

图象的一个对称中心.∴=k+(kZ).43

2

∴

=(kZ).4k+23∴f(x)=cosx

在区间

[0,

]

上是减函数.

∵

>0,2

23综上所述,

=,

=2

或.

2

必有≤,即0<

≤2.∴要使

f(x)=cosx

在区间

[0,]

上是单调函数,2

4k+23∴0<

≤2(kZ).解得

k=0

或

1.23∴

=2

或.6.如果函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

x=-

对称,求

a

的值.8

解:y=sin2x+acos2x=

a2+1

sin(2x+

),其中,tan

=a.

法1∵函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

x=-

对称,8

∴当

x=-

时,y

取最大值或最小值.8

∴2(-

)+

=k+,kZ.2

8

∴

=k+

,kZ.43

∴a=tan

=tan(k

+)=-1.

43

法2∵函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

x=-

对称,8

∴当

x=-

时,y

取最大值或最小值.8

|sin2(-)+acos2(-)|2=a2+18

8

解得

a=-1.

法3∵函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

x=-

对称,8

∴当自变量取

0,-

时的函数值相同.4

即

0+a=-1+0.∴sin0+acos0=sin2(-)+acos2(-).4

4

∴a=-1.

法4∵函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

x=-

对称,8

而函数

y=sin2x+acos2x

的周期为

,∴当

x=-+=时,函数值为

0.8

4

8

∴sin+acos=0.4

4

∴a=-1.

课后练习

1.已知函数

f(x)=log

(sinx-cosx),(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.解:(1)由

sinx-cosx>0,即2sin(x-)>0

得:4

2k+<x<2k+

,kZ4

45

{x

|

2k+<x<2k+

,kZ}.4

45

∴f(x)

的定义域为∵sinx-cosx=

2sin(x-)≤

2

,

4

∴f(x)=log

(sinx-cosx)≥log

2=-.1212∴f(x)

的值域为[-,+∞).12(2)∵y=sinx-cosx

在

f(x)

的定义域上的单调递增区间是(2k

+

,2k

+

](k

Z);4

43

[2k

+

,2k

+

)(k

Z),45

43

单调递减区间是2.已知函数

f(x)=Asin(x+

)(A>0,

>0,xR)在一个周期内的图象如图所示:23

2

-25

27

2

oxy2

求直线

y=3

与函数

f(x)

图象的所有交点的坐标.27

解:根据图象得

A=2,T=-(-)=4

,2

∴

=

.12∴y=2sin(

x+

).1212由(-

)+

=0

得

=

.2

4

∴y=2sin(

x+

).124

由

3=2sin(

x+

)

得124

32sin(

x+)=

.124

∴

x+=2k+

或

2k+

(kZ).124

32

3

∴x=4k+或4k+

(kZ).65

6

6

65

故所有交点坐标为

(4k+,

3

)或(4k+

,

3

)

(kZ).解:(1)依题意f(x)=2cos2x+3

sin2x=1+2sin(2x+

).

6

由

1+2sin(2x+

)=1-3

得:6

sin(2x+

)=-.6

32∵x[-,],∴2x+

[-,