2022-2023学年江苏省盐城市高一下学期第二次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省盐城市高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．计算的结果等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由诱导公式结合差角公式求解即可.【详解】故选：A2．下列说法正确的是（

）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．三棱台有8个顶点【答案】B【分析】可通过反例判断A错误；由圆台的性质判断B正确；由长方体的性质判断C错误；通过图形判断D错误.【详解】各个面都是三角形的几何体如下图所示：该几何体不是三棱锥，故选项A错误；由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故选项B正确；若四棱柱的底面是矩形，侧棱与底面矩形不一定垂直，故选项C错误；如图，三棱台有6个顶点，故选项D错误.故选：B3．已知（为虚数单位，），若复数满足，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，由条件可得，然后结合复数的运算即可得到，再由复数的模长公式即可得到结果.【详解】由题意可得，，则，所以，则，所以.故选:B4．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（

）人．”A．200 B．100 C．120 D．140【答案】C【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可【详解】设北面共有人，则由题意可得，解得所以北面共有120人，故选：C5．已知，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由可得，则，即得，故，则，故，由于，故，故选：C.6．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，所以所形成的几何体的表面积为，故选：D7．已知点在棱长为的正方体的外接球的球面上，当的面积最大时，过，，三点的平面截正方体各面所得截线的长度之和的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设底面正方形的中心为，由球的截面性质结合条件确定截面的位置，由此确定平面，再求正方体被该平面截得的截线的长度.【详解】设底面正方形的中心为，因为，则当点到的距离最大时，的面积最大，当点P，O，三点共线时，点到的距离最大，则当的面积最大时，点P，O，三点共线，因为平面，所以平面，此时平面截正方体的截面即为矩形，所以．故选：A．8．在中，，，垂足为，且，则当取最大值时，的周长为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】据题意，设，由分析可得在线段之外，且，进而用表示、，利用余弦定理表示，结合基本不等式分析最小值，即可得当取最大值时的取值，由此计算可得答案．【详解】根据题意，设，若，则在线段之外，且，如图：又由，则，则，则，则，又由，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值，则取得最大值，此时，，所以的周长为；故选：A．二、多选题9．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】ABC【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.【详解】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误；对于B，若，，，，不一定为相交直线，只有当为相交直线时，才可得到，故B错误；对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误；对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确，故选：ABC10．的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则是锐角三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得；D由正弦定理及三角形内角性质得.【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确；B：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误；C：，则，故是等腰三角形，正确；D：由，则，且，故，即是等腰直角三角形，错误.故选：AC11．四棱台的底面是正方形，平面，，则下列说法正确的有（

）A．直线与直线异面 B．平面平面C．直线与直线所成角的大小为 D．该四棱台的体积为【答案】BCD【分析】根据棱台的性质判断A，根据面面垂直判定定理判断B，根据异面直线的夹角的定义判断C，根据台体体积公式判断D.【详解】如图：由棱台的性质可得，直线与直线相交与点，所以直线与直线不异面，A错，因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，B对，因为，所以为直线与直线所成角，因为四边形为正方形，所以，所以直线与直线所成角的大小为，C对，设正方形的面积为，正方形的面积为，棱台的高为，棱台的体积为，因为平面，所以棱台的高，又，，所以，D对，故选：BCD.12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．若，，且，则C．若，则为的垂心D．若为的内心，且，则【答案】BCD【分析】根据题意得到，A错误，计算，根据比例关系得到B正确，确定得到C正确，根据面积公式得到，得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，则，错误；对选项B：，，故，，正确；对选项C：，即，故，同理可得，，故为的垂心，正确；对选项D：，故，设内接圆半径为，，，，即，即，，正确.故选：BCD三、填空题13．已知向量，且，则.【答案】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故答案为：.14．的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在中，，，，所以由余弦定理得，所以，，，得（舍去），或，故答案为：315．已知矩形中，，，沿着对角线将矩形翻折，使得二面角的大小为，四面体内接于球，则球的体积为.【答案】/【分析】由球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，从而求出球的体积.【详解】因为四面体内接于球，所以球为四面体的外接球，由题意，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，即球半径，则.故答案为：16．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑PABC中，平面ABC，，AB＝3，，PA＝4，D，E分别为棱PC，PB上一点，则AE＋DE的最小值为．【答案】【分析】根据题意，设，，则，，，，作出将沿着PB转动到P，A，B，C四点共面时的平面图形，利用两角和的正弦公式得到，进而求解即可.【详解】因为平面ABC，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，则．因为平面ABC，平面，所以，则PB＝5，．设，，，，，．如图，将沿着PB转动到P，A，B，C四点共面，此时，过A作于H，则AE＋DE的最小值为．故答案为：.四、解答题17．已知复数，.(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；(2)若复数为纯虚数，求的虚部.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部.【详解】（1），在复平面内对应的点在第二象限，则.所以实数的取值范围为；（2）.为纯虚数，则且，所以，此时，所以的虚部为.18．如图，函数的图象最高点M（2，2）与最低点N的距离．(1)求函数f（x）的解析式；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由最高点得，根据长度关系求解周期得，代入特殊点的坐标求解，从而求得函数的解析式；（2）由（1）代入得，由角的范围求得.再运用余弦两角差可求得答案.【详解】（1）根据题意，由，可得，又，所以，∴，解得.又，，且，∴.所以；（2）由（1）知，函数，所以，得，又，所以，所以，所以.19．已知棱长均相等的正三棱柱，M，N分别为棱，中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证得平面；（2）利用线面垂直判定定理即可证得平面．【详解】（1）设，连接又棱长均相等的正三棱柱中，M，N分别为棱，中点．则，，则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；（2）取中点S，连接，则又面面，面面，面，则面，又面，则又正方形中，，则,则，又，则，则，又，，面，则面，又面，则，又正方形中，，，平面，则平面．20．已知的内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算.（2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，可得，整理得注意到，且，则，，且，可得或解得或（舍去），故.（2）若的平分线交于点，则，因为，则，即，整理得，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值.21．如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.

(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，先根据是等腰直角三角形证出中线，再结合证出，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面平面；（2）依题意可得，则，再根据计算可得.（3）过分别作于，于，再连接，根据三垂线定理证明为二面角的平面角，最后分别在、、中计算出、和，最后求出所求二面角的余弦值．【详解】（1）连接，，是的中点，，又底面，底面，，，平面，平面，而平面，平面平面.（2）因为是的中点，是的直径，所以，所以，所以.（3）在平面中，过作于，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，，在平面中，过作于，连接，，平面，所以平面，又平面，从而．故为二面角的平面角，在中，，在中，，在中，，在中，，所以，故二面角的余弦值为.

22．已知向量，．设函数，．(1)求函数的解析式及其单调减区间；(2)若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，且使对都有成立，求实数k的最小值．【答案】(1)，，（）；(2).【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得函数的解析式，再解不等式，，即得单调减区间；（2）先求