2021年江苏省无锡市江阴市青阳片中考数学诊断试卷（附答案详解）

2021年江苏省无锡市江阴市青阳片中考数学诊断试卷（3

月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.-3的相反数是（）

A.—3B.3C.—~D.~

33

2.函数y==中自变量x的取值范围是（）

X-Z

A.x#2B.x>2C.x>2D.x>0

3.某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39,45,

42,37,41,39.这组数据的众数、中位数分别是（）

A.42,37B.39,40C.39,41D.41,42

4.下列计算正确的是（）

A.a+a=a2B.6x3—5x2=x

C.3x2+2x3=5xsD.3a2b-4ba2=—a2b

5.下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（）

6.如图，AB//CD,直线/分别交AB、CD于E、F,41=58。，贝此2的度数是（）

7.一个正多边形每个外角都是30。，则这个多边形边数为（）

A.10B.11C.12D.13

8.已知一次函数y=2x-1经过P（a,b）,则2b-4a的值为（）

A.1B.-2C.2D.-1

9.如图，0ABe。对角线AC与BO交于点O,且4。=3,AB=5,在AB延长线上取

一点£,使BE=|4B,连接OE交BC于F,则8F的长为（）

A.：B.-C.-D.1

346

10.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0,3）、S3）、

也0）,点。是直线丫=心：+1与>轴的交点，若点A关于直线丫=/£丫+1的对称点

4恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（）

A.-2<t<2B.-2V3<t<2V3

C.-2V3<t<一2或2<t<2^D.以上答案都不对

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.分解因式：a3—a=.

12.月球的直径约为3500000米，将3500000这个数用科学记数法表示应为

13.若圆锥的底面半径为3a”，母线长为4cm,则圆锥的侧面积为cm?.（结果保

留兀）

14.如图，nABCD中，4E平分NB4D,若NB=52。，则

NAEC的度数为.

15.已知点PQ,y）位于第四象限，且xWy+4（x,y为整数），写一个符合条件P的坐标

16.《九章算术少是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有人共买鸡，人

出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱

买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱.问：

共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意,可列一元一次方程为一.

17.如图，在AABC中，乙4=70。，BC=4,以BC的中点。为圆心，2为半径作弧，

分别交边A8、AC于E、F,则段的长为.

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A

E.

18.下列关于二次函数y=—(%—根)2+巾2+1(机为常数)的结论：①该函数的图象与

函数y=一/的图象形状相同：②该函数的图象一定经过点(0,1);③当X>0时，>

随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=/+l的图象上.其中所有

正确结论的序号是.

三、计算题(本大题共2小题，共16.0分)

19.计算:

(l)(-l)2-VT6+(-2)°;

(2)a(a-3)+(2—a)(2+a).

(2x—1>x

20.(1)解方程：x2+4x-2=0；(2)解不等式组卜一33工％_1

四、解答题(本大题共8小题，共68.0分)

21.如图，点。是AABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF〃4B交OE

延长线于点F.

(1)求证：AD=CF.

(2)连接AF,CD,求证：四边形AOCF为平行四边形.

22.暑假期间，小明和小华准备游览一下无锡本地著名景点，备选景点有灵山大佛山(记

为4)、章头渚(记为B)、梅园(记为C)、荡口古镇(记为。)，他们各自在这四个景点

中任选一个，每个景点被选中的可能性相同.

(1)小明选择去梅园的概率为:

(2)若小明灵山大佛已经去过，所以准备在B、C、。中选一个地点游玩，小华荡口

古镇已经去过，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求

小明和小华正好选择同一个景点的概率.

23.为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活

动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区

服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查,结果

发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，

根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.

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期样学生参与志愿者活动情况折送统计图被抽样学生参与志愿者活动情况扇形统计图

(1)被随机抽取的学生共有.名:

(2)在扇形统计图中，活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数为.

(3)该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人?

24.如图，在RtAABC中，4c=90。，点。是4B的中点,

AC<BC.

(1)试用无刻度的直尺和圆规，在8c上作一点E,使得

直线平分48c的周长；(不要求写作法，但要保留

作图痕迹).

(2)在(1)的条件下，若DE分RtzMBC面积为1：2两部分，请探究4c与BC的数

量关系.

25.如图，点A、B、C分别是。0上的点，CQ是。。的直径，P是

8延长线上的一点，AP=AC.

(1)若NB=60。,求证：AP是O。的切线；

(2)若点8是弧C。的中点，AB交CD于点、E,CD=4,求BETB的值.

26.某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，己知这批防护服的出厂价为

每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制.该

企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来

刻画.

(1)直接写出y与x的函数关系式；

(2)由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件

服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用(1)的结论，

求卬与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？(利

润=出厂价-成本)

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27.如图1,在菱形ABC。中，AB=5,tanYlBC=$点E从点O出发，以每秒1个

单位长度的速度沿着射线D4的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)，将线段CE绕

点C顺时针旋转一个角a(a=4BCD),得到对应线段CF.

(1)①求证：BE=DF；

②当t=秒时，。尸的长度有最小值；

(2)如图2,连接30、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当f为何值时，△EPQ是直

角三角形.

28.已知二次函数y=aM+bx+c(a>0)的图象经过A、B两点，直线AB交x轴交于

点C,点。为二次函数图象的顶点，若点A的坐标为(-1,4a),点B的坐标为(2,a).

(1)①用含。的代数式表示仇c；

②求点C的坐标.

(2)若直线A8与抛物线、=(1/+板+(；的对称轴交于点£,且AHDE-AAC。，求

该二次函数的表达式.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：-3的相反数是3.

故选：B.

依据相反数的定义求解即可.

本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：根据题意得：工一2彳0,

解得x*2.

故选：A.

根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-2*0,解可得答案.

考查了函数自变量的取值范围，求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达

式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0.

3.【答案】B

【解析】解：从小到大排列此数据为：37、39、39、41、42、45,数据39出现了两次

最多为众数，39和41处在第3位和第四位，他们的平均数为40,所以40为中位数.所

以本题这组数据的中位数是40,众数是39.

故选：B.

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为

中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.要明确定义，一些学生

往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一

定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中

间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

4.【答案】D

【解析】解：A、a+a=2a,故本选项错误；

B、6/与5/不是同类项，不能合并，故本选项错误:

C、3x2与2炉不是同类项，不能合并，故本选项错误；

D、3a2b—4ba2=—a2b,故本选项正确；

故选：D.

根据同类项的定义和合并同类法则进行计算，判断即可.

本题考查的是合并同类项，掌握同类项的概念、合并同类项法则是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形.

第4个不是轴对称图形，是中心对称图形.

故选

根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解.

本题考查了轴对称图形的知识，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合.

6.【答案】D

【解析】解："AB//CD,

：.乙CFE=Z1=58°,

•••Z2=180°-58°=122°,

故选：D.

利用平行线的性质可得NCFE=41=58。，再利用邻补角相等可得答案.

此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等.

7.【答案】C

【解析】解：多边形的外角的个数是360+30=12,所以多边形的边数是12.故选C.

利用任何多边形的外角和是360。即可求出答案.

本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容.

8.【答案】B

【解析】解：：一次函数y=2x-l经过P(a,b),

2a—1=b,

■1-2a—b=1,

2b-4a=-2(2a-b)=-2.

故选：B.

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直接把点P(a,b)代入一次函数y=2x-1,进而可得出结论.

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合

此函数的解析式是解答此题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：取AB的中点M,连接0M,

•••四边形ABCD是平行四边形，

.-.AD//BC,OB=0D,

/.OM//AD//BC,0M=^1AD=1jx33=|,

・••△EFBs〉EOM,

BFBE

—=—,

OMEM

2

-AB=5,BE="氏

BE=2,BM=

2

SQ

・•・EM=之+2=4

22

BF2

・••-=V,

22

.<.BF=|,

故选：A.

首先作辅助线：取AB的中点M,连接。M,由平行四边形的性质与三角形中位线的性

质，即可求得：与0M的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得

BF的值.

此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准确

作出辅助线，合理应用数形结合思想解题.

10.【答案】C

【解析】解：T点在直线y=kx+l上，

3=kt+1,得到k=于是直线8。的表达式是y=

-%+1.

t

于是过点4(0,3)与直线BO垂直的直线解析式为y=

—x+3.

2

24t

y=-x+1x=——2

+3,解得=£"则交点”(羔，景)•

(y_2%{y~尸+4

根据中点坐标公式可以得到点E(枭,寓)，

・・•点E在长方形48co的内部

•••\:：2，解得一2遮<t<一2或者2<t<2V3.

03

It2+4

本题答案：一2百<t<一2或者2<t<2V3.

故选：C.

根据条件，可以求得点A关于直线8。的对称点E的坐标，再根据E在图形中的位置,

得到关于f的方程组

该题涉及直线垂直时之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系;

中点坐标公式需要熟悉.计算量较大.

11.【答案】a(a+l)(a-1)

【解析】

【分析】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,

注意要分解彻底.

先提取公因式。，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】

解：a3—a

=a(a2—1)

=a(a+l)(a—1).

故答案为a(a+l)(a-1).

12.【答案】3.5x106

【解析】解：3500000=3.5X106.

故答案为：3.5x106.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10”,其中lW|a|<10,"为整数，据

此判断即可.

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此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10-n,其中1<|a|<10,

确定〃与〃的值是解题的关键.

13.【答案】127T

【解析】解：底面圆的半径为3,则底面周长=6兀，侧面面积=[x6兀x4=12兀£7层.

故答案为：1271.

圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2.

本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.

14.【答案】116°

【解析】解：•.•四边形A8C。是平行四边形，

•.AD//BC,

••Z.BAD+乙B=180°,Z.DAE=Z.AEB,

/.BAD=180°-乙B=180°-52°=128°,

平分NB/W,

"8="叫血0=64。,

乙AEC=180°-4AEB=180°-64°=116°；

故答案为：116°.

由平行四边形的性质得出乙ME=4AEB,4BAD=128°,由角平分线定义求出乙4EB=

ADAE=l^BAD=64°,即可得出答案.

此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线定义，关键是掌握平行四边形的对边平

行.

15.【答案】（2,-1）

【解析】解：•••P（%/）位于第四象限,

•,•%>0,y<0,

11-x<y+4（%,y为整数），

二P（2,一l）,

故答案为：（2,—1）.

首先确定x、y的取值范围，然后再结合不等式xWy+4（x,y为整数）确定x、y的值，进

而可得答案.

此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号.

16.【答案】9x-ll=6x+16

【解析】

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是

解题的关键，属于基础题.

设有X个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于X的一元一次方程,

此题得解.

【解答】

解：设有X个人共同买鸡，根据题意得：

9%—11=6%+16.

故答案为：9x-ll=6x+16.

17.【答案】

【解析】解：由题意，DB=DE=DF=2,

-乙B=乙DEB,ZC=乙DFC,

LA=70°,

/.zB4-zC=110°,

/.乙BDE+Z.CDF=360°-2((B+zC)=140°,

・・.(EDF=180°-140°=40°,

AA1/40-7T-24

.：EFd^=^=-n,

故答案为：^兀.

求出4EDF,利用弧长公式求解即可.

本题考查弧长公式，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

18.【答案】①②④

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

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考常考题型.

利用二次函数的性质一一判断即可.

【解答】

解：①：二次函数y=-(x-m)2+m+为常数)与函数y=-/的二次项系数相同,

该函数的图象与函数y=-/的图象形状相同，故结论①正确：

②：•在函数y=—(x—m)2+巾2+1中，令％=0,则丫=—7n2+巾2+1=1,

;该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确；

(3)vy=—(x—m)2+m2+1,

抛物线开口向下，对称轴为直线x=m,当x>m时，y随x的增大而减小，故结论③错

误；

④•.■抛物线开口向下，当X=771时，函数y有最大值机2+1,

•••该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.故结论④正确，

故答案为①②④.

19.【答案】解：(1)(一1)2-任+(-2)。

=1-4+1

=-2

(2)a(a-3)+(2-a)(2+a)

=a2—3a+4—a2

=-3a+4

【解析】(1)先分别求出每一项的值，再把所得结果相加即可求出答案.

(2)先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求

出结果.

本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的应用.

20.【答案】解：(1)/+4%-2=0,

/+4%=2,

%24-4%+4=6,

(x+2)2=6,

・•・％+2=+V6,

x1=V6-2,x2=­A/6—2，

2x—1>x①

()x—331-1②，

由①得：x>1,

由②得：x<4,

•••不等式组的解为：1<XW4,

【解析】(1)利用配方法解方程，在本题中，把常数项-2移项后，应该在左右两边同时

加上一次项系数4的一半的平方.

(2)解不等式组，就是分别解两个不等式后，再根据大小小大取中，求出公共部分.

此题主要考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式，解题时要注意解题步骤的

准确应用,配方法的一般步骤:①把常数项移到等号的右边;②把二次项的系数化为1；

③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；解不等式组，求其解集时根据：大大取

大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，准确写出解集.

21.【答案】解：(1)证明:­••CF//AB,

Z.ADE=Z.F,Z.FCE=Z.A.

•••点E为4c的中点，

•••AE—EC.

・••在△/£)£1和△CFE中，

Z.ADE=乙F

LA=乙FCE,

AE=EC

.^ADE=^CFE(AAS).

••.AD=CF；

(2)如图：

DE=FE.

vAE=EC,

四边形AOCF为平行四边形.

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【解析】(1)根据CF〃AB就可以得出乙4=4ECF,/.ADE=4F,证明△ADE^^CFE就

可以求出结论；

(2)由4ADE=^CFE就可以得出。E=FE,又有AE=CE于是就得出结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解答时证明三角形全等是关

键.

22.【答案】解：(1)；;

(2)画树状图分析如下:

小明

小华

所以小明和小华都选择去相同地点旅游的概率是:.

7

【解析】

【分析】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出“，再

从中选出符合事件A或8的结果数目〃?，求出概率.

(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选择同一个景点的结果数，然后

根据概率公式求解.

【解答】

解：(1)小明选择去梅园的概率为1

故答案为"

4

(2)见答案.

23.【答案】5072°

【解析】解：(1)被随机抽取的学生共有14+28%=50(名)，

故答案为：50；

(2)在扇形统计图中，活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数为360。x号=72°,

故答案为:72。；

(3)估计其中参与了4项或5项活动的学生共有2000=720(人).

(1)由参与2项的人数及其所占百分比可得被调查的总人数；

(2)用360。乘以活动数为3项的人数所占比例即可；

(3)用总人数乘以样本中参与4项或5项的学生数所占比例即可.

本题主要考查折线统计图、扇形统计图、用样本估计总体，根据折线统计图和扇形统计

图得出解题所需的数据是解题的关键.

24.【答案】解：(1)如图，直线OE即为所求.

(2)••・若。E分RtAABC面积为1：2两部分,

BE=2EC,设EC=a,则BE=2a,

BC=3Q,

:.BE=ET,

:.AC=ET—EC=a,

・•.BC=34c.

【解析】(1)延长BC,在BC的延长线上取一点T,使得C7=C4,作线段87的垂直平

分线，垂足为E,作直线。E即可.

(2)若。E分Rt△4BC面积为1：2两部分，推出BE=2EC,设EC=a,则BE=2a,求

出AC即可解决问题.

本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

25.【答案】(1)证明：连接A。，OA,

Z.ADC=Z.F,Z.B=60°,

•••/-ADC=60°,

•••CO是直径，

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・•・/.DAC=90°,

・・./.ACO=180°-90°-60°=30°,

・・•AP=AC,OA=OC,

・・・乙OAC=Z.ACD=30°,乙P=Z.ACD=30°,

・•・Z.OAP=180°-30°-30°-30°=90°,

^OALAP,

•・・。人为半径，

・•・AP是。。切线.

(2)解：连接AD,BD,

・・•CD是直径，

・•・LDBC=90°,

・・•CD=4,8为弧CO中点，

:.BD=BC=t=2V2,

:.Z-BDC=乙BCD=45°,

・・・4DAB=乙DCB=45°,

即N8DE=Z.DAB,

•・•Z-DBE=Z-DBA,

DBE~>ABD,

BDAB

:.—=一,

BEBD

BE-AB=BD-BD=272x2^2=8.

【解析】(1)求出乙4DC的度数，求出“、乙4c。、N04C度数，求出/OAP=90。，根据

切线判定推出即可；

(2)求出BO长，求出△DBE和△4BD相似，得出比例式，代入即可求出答案.

本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定,

切线的判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.

7gr分玄］v_p4x(0<x<5)

mi口木iy-bo。_5)+270(5<%<15)

【解析】解：(1)270+5=54,(570-270)+(15-5)=30,

,,,y与X的函数关系式为y=[30--5)127)0(5<x<15),

故答案为:”｛猥寓言0(5K15)；

(2)根据题意得w=(80-50)X270+30x[80-50-2(x-5)])x(x-5)=

-60x2+1500%+2100,

对称轴尤=一嘿=12.5,

•••天数为整数，

二%=12或13时，w最大，

将尤=13代入得w=-60x132+1500x13+2100=11460(70),

答：第12或13天时利润最大，最大利润是11460元.

(1)根据题意即可得出y与x的函数关系式；

(2)根据题意可得到卬与x的关系式，再根据二次函数的增减性解答即可.

本题考查的是一次函数和二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性

求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数

关系式.

27.【答案】8

【解析】证明：⑴①•；4ECF=/BCD,即4BCE+NDCE=4DCF+4DCE,

:.Z.DCF=乙BCE,

•••四边形ABCO是菱形，

:.DC=BC,

在^DCFfllA8CE中，

CF=CE

乙DCF=乙BCE,

CD=CB

••△DCF三2BCE(SAS),

・•・DF=BE；

(2)•••DF=BE,

.•.当BE取最小值时，。尸有最小值，

由垂线段最短可得，当BE_L力。时，BE有最小值，即。尸有最小值，

如图1,过点B作BE'JLAD于E',

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E'ED

-AD//BC,

:./-ABC=乙BAE',

ARE/

・・,

•tanZ.BAE=tanZ-ABC=-3=AEi

二设4E'=3k,BE'=4k,

•・•E'A2+E'B2=AB2,

16/c2+9k2=25,

工k=1,

・・・4E'=3,

・•・DEf=8,

・•・t=8,

故答案为8；

(2)vCE=CF,

・・・ACEQ<90°,

:.Z-CBD=乙CEF,

■:Z-BPC=(EPQ,

/.乙BCP=乙EQP=90°,

4

vAB=CD=5,tanZJlBC=tanZ-ADC=3

・•・DE=3,