2024届高考物理大一轮复习：第二章　专题强化　匀变速直线运动的平均速度公式　v－t图像求位移

匀变速直线运动的平均速度公式v－t图像求位移一、平均速度公式的理解与应用导学探究如图所示，如果匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)＝.答案方法一解析法在匀变速直线运动中，对于这段时间t，其中间时刻的瞬时速度＝v0＋eq\f(1,2)at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq\f(1,2)at＝eq\f(2v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v,2)＝，即eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝.方法二图像法0～t时间内的位移x＝eq\f(v0＋v,2)t平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线的长度，故＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\x\to(v).知识深化1．平均速度公式：eq\x\to(v)＝＝eq\f(v0＋v,2)(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半．(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式＝eq\f(x,t)及eq\f(v0＋v,2)＝eq\x\to(v).2．三个平均速度公式的比较eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)适用于任何运动；eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)及eq\x\to(v)＝仅适用于匀变速直线运动．例1某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12s时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速直线运动至停下，汽车从开出到停止共用时20s，运动了50m，求汽车在上述运动中的最大速度的大小．答案5m/s解析由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，设最大速度为vm，则x1＝eq\f(vm,2)t1①x2＝eq\f(vm,2)t2②由①＋②得x1＋x2＝eq\f(vm,2)(t1＋t2)解得vm＝eq\f(2x1＋x2,t1＋t2)＝5m/s.例2(2021·江苏高一期末)如图所示，假设“运－20”起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120m的测试距离，用时分别为2s和1s，则“运－20”的加速度大小是()A．35m/s2 B．40m/s2C．45m/s2 D．50m/s2答案B解析第一段的平均速度v1＝eq\f(x,t1)＝eq\f(120,2)m/s＝60m/s第二段的平均速度v2＝eq\f(x,t2)＝eq\f(120,1)m/s＝120m/s中间时刻的速度等于平均速度，则a＝eq\f(v2－v1,\f(t1＋t2,2))＝eq\f(120－60,1.5)m/s2＝40m/s2故选B.中点位置的瞬时速度公式：＝eq\r(\f(v02＋v2,2)).(1)推导：如图所示，前一段位移－v02＝2a·eq\f(x,2)，后一段位移v2－＝2a·eq\f(x,2)，所以有＝eq\f(1,2)·(v02＋v2)，即有＝eq\r(\f(1,2)v02＋v2).(2)适用条件：匀变速直线运动．(3)中点位置的速度与中间时刻的速度的比较：对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即.二、v－t图像求位移1．利用v－t图像求位移v－t图线与坐标轴所围的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差．通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和．2．理解(1)初速度为v0的匀加速直线运动的v－t图像如图甲，其中v0t与矩形面积相等，eq\f(1,2)at2与三角形面积相等，所以x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.(2)物体做匀减速直线运动时的v－t图像如图乙，公式中的a取负值．相当于从匀速直线运动的位移中“减去”了一部分．3．v－t图像与x－t图像的比较内容种类v－t图像x－t图像图线斜率表示加速度表示速度图线与时间轴所围面积表示位移无意义两图线交点坐标表示速度相同，不一定相遇表示相遇相同点表示物体做直线运动例3某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：(1)物体距出发点的最远距离；(2)前4s内物体的位移大小；(3)前4s内物体通过的路程．答案(1)6m(2)5m(3)7m解析(1)当物体运动了3s时，物体距出发点的距离最远，xm＝eq\f(1,2)v1t1＝eq\f(1,2)×4×3m＝6m；(2)前4s内物体的位移大小x＝|x1|－|x2|＝|eq\f(1,2)v1t1|－|eq\f(1,2)v2t2|＝eq\f(1,2)×4×3m－eq\f(1,2)×2×1m＝5m；(3)前4s内物体通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝eq\f(1,2)×4×3m＋eq\f(1,2)×2×1m＝7m.针对训练(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度－时间图像如图所示，那么0～t0和t0～3t0两段时间内()A．加速度大小之比为3∶1B．位移大小之比为1∶2C．平均速度大小之比为2∶1D．平均速度大小之比为1∶1答案BD解析加速度a＝eq\f(Δv,Δt)，由题图知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，则eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,1)，A项错误；位移大小之比等于v－t图线与t坐标轴所围图形的面积之比，即eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，B项正确；平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)，eq\f(\x\to(v)1,\x\to(v)2)＝1，C项错误，D项正确．例4有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示．根据图像作出的以下判断中正确的是()A．物体A和B均做匀变速直线运动B．在0～3s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小C．t＝3s时，物体C、D的位移相同D．在0～3s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大答案D解析由题图甲看出：物体A和B的位移－时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3s的时间内，物体A的位移始终大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的v－t图线在t＝3s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v－t图线与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t＝3s时物体C、D的位移不相同，故C错误；由题图乙看出：在0～3s的时间内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D正确．1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程．假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战斗机起飞前的运动时间为()A.eq\f(2x,v)B.eq\f(x,v)C.eq\f(x,2v)D.eq\f(x,4v)答案A解析由平均速度公式可知x＝eq\f(v,2)t，即t＝eq\f(2x,v)，故A正确，B、C、D错误．2．一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过3s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．3∶1答案C解析设物体到达斜面底端时的速度为v，则物体在斜面上的平均速度eq\x\to(v)1＝eq\f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq\x\to(v)1t1＝eq\f(v,2)t1在水平地面上的平均速度eq\x\to(v)2＝eq\f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq\x\to(v)2t2＝eq\f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C.3.2019年6月6日，中国科考船“科学”号对马里亚纳海沟南侧系列海山进行考查，船上搭载的“发现”号遥控无人潜水器完成了本航次第10次下潜作业，“发现”号下潜深度可达6000m以上，如图所示．潜水器完成作业后上浮，上浮过程初期可看作匀加速直线运动．今测得潜水器相继经过两段距离为8m的路程，第一段用时4s，第二段用时2s，则其加速度大小是()A.eq\f(2,3)m/s2 B.eq\f(4,3)m/s2C.eq\f(8,9)m/s2 D.eq\f(16,9)m/s2答案A解析根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于平均速度可知：v1＝eq\f(8,4)m/s＝2m/s；v2＝eq\f(8,2)m/s＝4m/s，再根据加速度的定义可知：a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(4－2,3)m/s2＝eq\f(2,3)m/s2.故选A.4．(多选)(2022·大庆铁人中学高一阶段练习)物体做匀加速直线运动，在某一阶段的平均速度为eq\x\to(v)，下列说法中正确的是()A．若该阶段的初速度为v1，末速度为v2，则eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2)B．若该阶段前一半时间内的平均速度为eq\x\to(v)1，后一半时间内平均速度为eq\x\to(v)2，则eq\x\to(v)＝eq\f(\x\to(v)1＋\x\to(v)2,2)C．若该阶段的中间时刻的速度为v，则v＝eq\x\to(v)D．若经过该阶段前一半位移的平均速度为eq\x\to(v)1，后一半位移内平均速度为eq\x\to(v)2，则eq\x\to(v)＝eq\f(\x\to(v)1＋\x\to(v)2,2)答案ABC解析据匀变速直线运动推论，中间时刻的瞬时速度等于该段时间的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2)，故A、C正确；设前一半时间和后一半时间均为t，前一半时间t通过的位移x1＝eq\x\to(v)1·t，后一半时间t通过的位移x2＝eq\x\to(v)2·t，全程的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x1＋x2,2t)＝eq\f(\x\to(v)1＋\x\to(v)2,2)，故B正确；设前一半位移和后一半位移均为x，通过前一半位移x所用的时间t1＝eq\f(x,\x\to(v)1)，通过后一半位移x所用的时间t2＝eq\f(x,\x\to(v)2)，全程的平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(2x,t1＋t2)＝eq\f(2\x\to(v)1\x\to(v)2,\x\to(v)1＋\x\to(v)2)，故D错误．5.(2021·山西大学附中月考)如图是物体做直线运动的v－t图像，由图可知，该物体()A．0～2s内和0～4s内的位移不相等B．0～2s内和0～4s内的平均速度大小不相等C．第1s内和第4s内的位移大小不相等D．第3s内和第4s内的加速度不相同答案B解析0～2s内物体的位移x2＝eq\f(1＋2×1,2)m＝1.5m，则平均速度eq\x\to(v)2＝eq\f(x2,t2)＝0.75m/s.0～4s内物体的位移x4＝1.5m＝x2，则平均速度eq\x\to(v)4＝eq\f(x4,t4)＝0.375m/s，A错，B对．物体在第1s内和第4s内位移大小均为0.5m，C错．物体在第3s内和第4s内加速度均为－1m/s2，D错．6.(多选)(2022·涡阳第一中学高一阶段练习)某物体做直线运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是()A．物体在前2s内的位移大小为4mB．物体在前3s内通过的路程为5mC．物体在前3s内的平均速度大小为eq\f(5,3)m/sD．物体在前3s内做非匀变速直线运动答案AB解析v－t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则前2s内的位移x1＝eq\f(1,2)×4×2m＝4m，A正确；物体在第3s内位移大小x2＝eq\f(1,2)×2×1m＝1m，物体在前3s内通过的路程为s＝x1＋x2＝5m，B正确；物体在前3s内的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(4－2,2)m/s＝1m/s，C错误；v－t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3s内是一条倾斜直线，斜率不变，物体做匀变速直线运动，D错误．7．(2021·常州市金坛区高一期中)甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动，甲的x－t图像和乙的v－t图像如图所示，下列说法正确的是()A．0～2s内甲做匀加速运动B．第2.5s和第3.5s时甲物体速度方向不同C．第2.5s和第3.5s时乙物体加速度方向不同D．0～6s内甲、乙的位移都为0答案D解析0～2s内甲做匀速直线运动，故A错误；第2.5s和第3.5s时甲物体速度方向相同，故B错误；第2.5s和第3.5s时乙物体加速度方向相同，故C错误；由题图可知，甲从原点出发，又回到原点，位移为0；乙图图线与t轴所围的面积表示位移，t轴上下面积相等，说明总位移为0，故0～6s内甲、乙的位移都为0，故D正确．8．(2021·宿迁市高一期末)甲、乙、丙、丁四辆车由同一地点向同一方向运动，甲、乙的x－t图像和丙、丁的v－t图像如图所示，下列说法中正确的是()A．0～t1时间内甲车路程小于乙车路程B．0～t1时间内的某时刻甲、乙两车速度相等C．t2时刻，丙、丁两车相遇D．t2时刻丙车加速度比丁车的加速度小答案B9．光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是()A．物体运动全过程中的平均速度是eq\f(L,t)B．物体在eq\f(t,2)时的瞬时速度是eq\f(2L,t)C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是eq\f(\r(2)L,t)D．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是eq\f(\r(2)t,2)答案B解析物体运动全过程的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(L,t)，A正确；eq\f(t,2)时，物体的瞬时速度等于全程的平均速度eq\f(L,t)，B错误；若末速度为v，则eq\f(v,2)＝eq\f(L,t)，v＝eq\f(2L,t)，物体运动到斜面中点的瞬时速度＝eq\r(\f(02＋v2,2))＝eq\r(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2L,t)))2,2))＝eq\f(\r(2)L,t)，C正确；设物体加速度为a，到达斜面中点用时t′，则L＝eq\f(1,2)at2，eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)·at′2，所以t′＝eq\f(\r(2),2)t，D正确．10.(2022·镇江市丹徒高级中学月考)汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，某时刻驾驶员发现正前方15m处的斑马线上有行人，经过0.5s反应时间后，刹车礼让行人，汽车恰好停在斑马线前．汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车刹车时的加速度大小为()A．20m/s2 B．6m/s2C．5m/s2 D．4m/s2答案C解析刹车过程的位移x′＝(15－10×0.5)m＝10m，刹车时间设为t′，x′＝eq\f(v0,2)t′，得t′＝2s，a＝eq\f(v0,t′)＝5m/s2，C正确．11．我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v－t图像如图所示，则下列说法正确的是()A．0～4min和6～10min两时间段平均速度大小