角平分线夹角

本讲我们重要分享“三类角平分线模型”的有关知识，重要涉及：①三角形的两个内角的角平分线相交；②三角形的两个外角的角平分线相交；③三角形一种内角及一种外角的角平分线相交；而这些三角形的角平分线的典型考察题型，必须让学生掌握这些证明过程，同时至于其它未涉及内容我们将会在后续更新出来，也请大家持续关注~针对于文章中有什么问题也但愿大家能够留言、评论指教交流~类型一推理办法：类型二推理办法：类型三推理办法：那么针对于以上的三类有关三角形的角平分线的有关模型结论我们又如何快速记忆呢？这个时候我们能够观察一下：①类型一：三角形内角的角平分线；②类型二：三角形外角的角平分线；③类型三：三角形一内一外的角平分线；紧接着我们联系三种模型的有关结论能够看出，不管是内外角的角平分线相交所形成的角（∠P），它的角度结论有一种二分之一的∠A，因此我们能够采用（内加外减，不内不外，不加不减）口诀的进行快速记忆.口诀含义：内加：如果是三角形的两个内角的角平分线相交所形成的的角度就是“90°+”二分之一的∠A；外减：如果是三角形的两个外角的角平分线相交所形成的的角度就是“90°-”二分之一的∠A；不内不外，不加不减：如果既不全是内角，也不全是外角，而是一种内角一种外角的角平分线相交，则既不“+”也不“-”90°，直接等于二分之一的∠A.1.内角平分线模型如图，△ABC中，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，猜想∠P与∠A有如何的大小关系？【公式应用】1.如图，在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，若∠BAC=80°，则∠BOC=_________.若∠BOC=110°，则∠A=_________.2.如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠D1BC与∠D1CB的角平分线交于点D2，……以这类推∠D2BC与∠D2CB的角平分线交于点D3，则∠BD3C的度数是_________.2.外角平分线模型如图，△ABC中，若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有如何的大小关系？【公式应用】1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=_________度．3.内角外角平分线模型如图，△ABC中，若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有如何的大小关系？【公式应用】1.如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A为_________度．2.△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．CM⊥OC，交BO延长线于点M．若∠A=70°，则∠M=_________度．3.认真阅读下面有关三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完毕所提出的问题．（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有如何的关系？请阐明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有如何的关系？请阐明理由．（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有如何的关系？（直接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有如何的关系？（直接写出结论）．（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_________度．这是角平分线的三个公式，记之前能够自己试着推导一遍，这样更容易记牢。∠D=90°+1/2∠A结论：∠D=90°+1/2∠A我们在这里呢给出两种证明办法证明一解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝1/2∠ABC，∠BCD＝1/2∠ACB。在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－1/2（∠ABC＋∠ACB）＝180°－1/2（180°－∠A）＝180°－1/2×180°＋1/2∠A＝90°＋1/2∠A证明二解：连接AD并延长交BC于点E∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝1/2∠ABC，∠BCD＝1/2∠ACB。∵∠BDE是△ABD的外角∴∠BDE＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+1/2∠ABC同理可得∠CDE＝∠CAD+1/2∠ACB又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC＝∠BAD+1/2∠ABC+∠CAD+1/2∠AC