专题2.2基本不等式（教师版）

专题2.2基本不等式课标要求核心素养掌握基本不等式ab≤数学建模数学运算逻辑推理基本不等式:如果a,b∈其中ab为这两个正数a,b的几何平均数，2.基本不等式的常见结论：（1）a2+b2≥（3）2以上不等式等号成立的条件均为a=b.3.利用基本不等式求最值：已知x>0,（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值（2）如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值1.【人教A版必修一习题2.2第1题P48】已知x<54，则函数y=A.1 B.2 C.3 D.1解：因为x<54，所以5-4x>0，

所以函数y=4x-2+14x2.【人教A版必修一习题2.2第4题P48】已知a，b，c均为正实数．(1)求证：a+b+c≥ab+bc+ac．证明：(1)因为a，b，c都是正数，

所以a+b+c=12当且仅当a=b=c时，等号成立，所以a+b+c≥(2)(1+当且仅当a=b=12时等号成立．考点考点一利用基本不等式求最值【方法储备】利用基本不等式求最值，通常有两种方法：1.拼凑法：对题目代数式进行“添项、拆项、变系数”等方法凑成“和为定值”或“积为定值”，再利用基本不等式求解；2.巧用“1”法：根据求解将已知条件变换为常数“1”，再将“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或替换某个部分，进而构造成和或积为定值，再利用基本不等式求解.特别提醒：在利用基本不等式求最值过程中需要注意变量为正数的要求及等号成立条件的验证.【典例精讲】（2023·安徽省滁州市·月考）(1)已知x>1，求4x+1+1x-1的最小值；

(2)已知0<x<1解：(1)因为x>1，所以x-1>0，所以4x+1+1当且仅当4x-1=1x-1，即x=3(2)因为0<x<1，所以x4-3x当且仅当3x=4-3x，即x=23时取等号，故x4-3x例2.(2023·湖南省长沙市·月考)已知p，q为正实数且p+q=3，则1p+2+1q+1的最小值为A.23 B.53 C.7解：由p+q=3可知p+2+q+1=6，则1p+2+1q+1=(1p+2+1q+1)(p+26【拓展提升】练11(2022·海南省·模拟题)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于2ax-解：圆C:x2+y2+2x-4y+3=0，化简可得(x+1)2+(y-2)所以a+1+3b+1=1当且仅当3b+1a+1=a+13b+1，即a=12,b=1练12(2023·浙江省·期中考试)已知函数f(x)=ln(x+x2+1)，若正实数a，b满足f(4a)+f(b-1)=0A.4 B.8 C.9 D.13解：函数f(x)=ln(x+x2+1)的定义域为R，

且f-x=ln-x+x2+1=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-f(x)，

∴f(x)为R上的奇函数，

又x+x2+1是[0,+∞)上的增函数，

由复合函数的单调性可知f(x)练13(2022·江苏省·月考)已知a>0，b>0，写出一个关于a与b的等式，使1a+9b是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为解：该等式为a+b=1，下面证明该等式符合条件．1a+9b=(1a+9b)(a+b)=1+9+考点二基本不等式的综合应用考点二基本不等式的综合应用【方法储备】利用基本不等式求参数或解决恒成立问题在高考中也经常出现，偶尔也会出现基本不等式的实际应用问题ax+by+cxy=d类型的构造：此类题型的切入口是将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、变量代换、整体代换等.此类问题一般先利用参变分离转化为求函数的最值，转化过程中注意以下结论：恒成立问题:①若fx在区间D上存在最小值，则不等式fx>A在区间②若fx在区间D上存在最大值，则不等式fx<A在区间存在性问题:①若fx在区间D上存在最大值，则在区间D上存在x使fx②若fx在区间D上存在最小值，则在区间D上存在x使fx3.利用基本不等式解决实际问题在实际问题中首先根据题意列出函数表达式，再利用基本不等值进行求解，过程中注意函数定义域，验证基本不等式成立的条件.【典例精讲】例3.(2022·广东省佛山市·月考)已知x>0，y>0，且4x+9y-xy=0，求x+y的最小值为(

)A.25 B.18 C.13 D.12解：解法一：消元法

∵4x+9y-xy=0，∴y=4xx-9，又∵x>0，y>0，∴x-9>0，

那么：x+y=x+4xx-9=x2∵x>0，y>0，4x+9y=xy，那么：4y+9x=1，

x+y=(x+y)(4y+9例4.(2023·山东省·月考)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y<A.m<-3或m>32 B.m<-32或m>3

C.解：由于x+y=1，则(x+1)+y=2，

∴4x+1+1y=12(4x+1+1y)·[(x+1)+y]=12(4+4yx+1+x+1y+1)≥12(5+2例5.(2023·江苏省徐州市·期末考试)如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，若从离地高4m的C处观赏它，若要视角θ最大，则离墙的距离为(

)A.6m B.3m C.4m 解：设离墙的距离为为x，

过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则CD=x，易得BD=3,AB=5,AD=8，

所以tan⁡θ=tan⁡(∠ACD-∠BCD)=tan⁡∠ACD-tan⁡∠BCD1+tan⁡∠ACD⋅tan⁡∠BCD

=8x-3x1+8x⋅3x=5x【拓展提升】练21(2023·黑龙江省绥化市·期末考试)若实数x，y满足4x+4y=2(2A.1 B.32 C.2 D.解：4x+4y=(2x+2y)2-2⋅即0<t2-2t≤t2解得2<t≤4，所以2x-1+2y-1的取值范围是练22(2023·浙江省·联考题)已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA.13-2 B.2 C.2+解：因为正实数x，y满足1x可得x+y2(当且仅当2x=y时，取等号)，

即得x+y2-4x+y-9≥0，解得x+y≤2-13或x+y≥2+13，

又x+y>0练23(2022·安徽省安庆市·月考)在△ABC中，tan A⋅tan B=1，若不等式πA+4πBA.(-3,6) B.(-6,3)

C.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-6)∪(3,+∞)解：在△ABC中，tan A⋅tan B=1，所以sinAsinBcosAcosB=1，即sinAsinB=cosAcosB，

所以cosAcosB-sinAsinB=0，即cosA+B=0，

又A+B+C=π，即0<A+B<π，所以A+B=π2，且A>0,B>01.(2023·广东省·月考)非零实数a，b，c满足bca，acb，abc成等差数列，则a2+2A.22 B.32+2解：bca，acb，abc成等差数列，则有2ac则a2当且仅当a2=22.(2023·浙江省·月考)（多选）已知x>0,y>0，且x3+y3=x-A.x+y≥233-1 B.解：因为x3+y3=x-y，所以(x+y)(x2-xy+y2)=x-y，x+y=x-yx2-xy+y2

所以(x+y)2=x2-y2x2-xy+y2=(xy)2-1(xy)2-xy+1

令xy=t，因为x3+y3=x-y，x，y>0，所以x-y>0，即t=xy>1

(x+y)2=t2-1t2-t+1=1+t-2t2-t+1，当t=2时