汽车振动分析与测试课件：多自由度振动

汽车振动分析与测试多自由度振动【本章学习目标】★熟练掌握多自由度系统的振动微分方程建立及方法，多自由度系统的振动特性；★掌握多自由度无阻尼振动系统的广义坐标、坐标变换及模态分析；★掌握多自由度无阻尼系统在自由振动和强迫振动情况下的响应计算；★熟悉多自由度有阻尼系统的实模态分析，在自由衰减振动，在简谐激励和任意激励下的比例阻尼系统的振动响应和振动特性；★熟悉多自由度有阻尼系统的复模分析方法，即状态空间法。【本章学习方法】

多自由度振动系统是二自由度系统的扩展，二自由度系统是多自由度系统的特例，实际振动问题大都属于多自由度振动系统。因此，本章应该在学好二自由度系统振动的前提下，注重课堂学习与课下复习和学习相结合，参阅相关参考资料，注意加强矩阵数学运算的基本知识和方法，熟练掌握多自由度振动系统的自由振动微分方程的各种建立方法，以及多自由度系统固有特性的分析和计算；在此基础上，熟悉多自由度有阻尼振动系统的实模态分析和复模态分析的方法，及它们的应用场合和条件。【本章学习要点】第1节多自由度系统振动微分方程1、直接法

如果将实际的工程结构在一定的假设条件和简化处理后确定了动力学模型，并确定其中的惯性、刚度和阻尼参数之后，就可以应用多种方法建立系统的振动微分方程。

直接法就是直接应用动力学的基本定律或定理，例如，利用牛顿第二定律或达朗伯原理，来建立系统振动微分方程的方法。基本步骤如下：（1）对各质量取隔离体，进行受力分析；（2）根据牛顿第二定律，建立振动微分方程。2.拉格朗日法

拉格朗日法是从能量的观点建立系统的动能T、势能U和功W之间的标量关系，研究静、动力学问题的一种方法。它是一种普遍、简单和统一的方法，适用于简单或复杂系统的分析。拉格朗日方程的形式式中，T为系统总动能；qi为系统广义坐标；为qi广义坐标对时间t的导数；Qi为对应于广义坐标qi的广义力。拉格朗日方程存在以下的几种表达方式（1）当系统为保守系统时，主动力仅为势力，广义力可表达为拉格朗日方程为（2）当系统除了势力作用以外，还存在其它非势力，其虚功记为拉格朗日方程为（3）如果将因为能量耗散函数D引起的阻尼力也从其它的非势力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力(力或力矩等)，则可将非保守系统的拉格朗日方程改写为（1）系统势能U的两倍

拉格朗日方程的深入分析可知：各项的系数就是刚度矩阵中的元素kij

(2)系统动能T的两倍可知,各项系数就是质量矩阵中的元素(3)系统能量耗散函数D的两倍

可知:各项系数就是阻尼矩阵中的元素cij三、影响系数法

1.刚度矩阵的影响系数法

对于n自由度的振动系统，刚度矩阵K为n×n矩阵，具有n×n个元素kij，这些元素称为刚度影响系数。刚度影响系数的定义为:使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它坐标位移为零时，在第i个坐标上所需施加的作用力的大小.即注意：

（1）假定方向与坐标方向相同，通过力平衡方程解得值的符号即kij的符号；（2）力和位移都是广义的，包括角位移和力矩。2.质量矩阵的影响系数法

对于n自由度的振动系统，质量矩阵M为n×n矩阵，具有n×n个元素mij，这些元素称为惯性影响系数。惯性影响系数的定义为:使系统的第j坐标产生单位加速度，而其它的坐标加速度为零时，在第i个坐标上所需施加的作用力的大小.即3.柔度矩阵的影晌系数法

在某些问题中求刚度矩阵比较困难，但柔度矩阵比较容易求得。这时，可以先求得柔度矩阵，利用柔度法建立系统的微分方程。柔度矩阵F中的系数δij为柔度响应系数.

柔度响应系数的定义:在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐标上所引起的位移，根据互易定理,δij=δji注意：对于弹性系统，刚度矩阵总是存在的，而柔度矩阵不一定存在。当系统自由度中包括刚体振型时，就无法确定柔度系数。从数学上讲，系统的刚度矩阵为奇异，不存在逆矩阵，系统为半正定的。第2节多自由度振动系统的固有特性一、固有频率

多自由度系统固有频率，可根据系统的无阻尼自由振动微分方程得到，即设系统响应为式中，A为系统自由振动时的振幅向量(列阵),主振型方程令特征方程n个特征值互不相等，可以将它们按照从小到大的次序排列为二、主振型

将任何一个特征值代回主振型方程，都可以得到一个响应的非零向量A(r)，即特征向量。对于一个振动系统，一个特征向量描绘了系统振动位移的一种形态，称为主振型(主模态)。主振型也只与系统的固有物理特性(惯性和弹性)有关，而与其它条件无关。已知系统的特征矩阵，则系统的主振型方程为为特征矩阵H

的逆矩阵为式中，adjH为特征矩阵H的伴随矩阵。两边同时乘以，得到

可知，特征向量A与伴随矩阵adjH的任意非零列成正比。因此，可以取一列，并对其按照某一元素进行归一化处理(实际上是乘以一个常数)，得到特征向量A。第3节多自由度无阻尼振动系统的模态分析

多自由度系统的振动微分方程是一个相互耦合的二阶常微分方程组，按照一般的方法进行求解比较困难，一方面因为微分方程的数量很多，另一方面各个方程之间存在坐标耦合。因此，在实际工程应用中，常采用模态分析方法进行方程组的求解。对于无阻尼多自由度振动系统，需要对系统进行实模态分析，即首先对原方程进行坐标变换，解除方程之间的耦合，使原方程组的求解转化为n个独立单自由度系统的求解问题，然后，将各阶主振型按照一定的比例进行叠加，求得原方程的解。一、广义坐标和坐标变换

1.坐标耦合

用来描述振动系统的广义坐标是任意选取的，但是，所选择的广义坐标不同，所得到的振动微分方程不相同，方程的耦合情况也不相同。例如，汽车平面振动模型图汽车平面振动模型

（1）若选取质心C的位移x和绕质心的转角θ,作为系统坐标,则振动微分方程为可知：质量矩阵为对角阵，而刚度矩阵为非对角阵，称为“弹性耦合”。（2）若选取转动中心B的位移x和绕转动中心的转角θ作为位移坐标可知:刚度矩阵为对角阵，而质量矩阵为非对角阵，称为“惯性耦合”。（3）若选取端点D的位移x和绕端点的转角θ作为位移坐标可知:同时存在弹性耦合和惯性耦合。2.坐标变换

如果能够寻找得到一组广义坐标，使得振动微分方程之间不再存在耦合，这将大大简化振动微分方程的求解。下面，阐述获得能够使振动微分方程解耦的一组特殊的广义坐标的方法——坐标变换。如果存在一组同维线性无关的向量,则可以将它们作为坐标的一组基向量，组成一个基向量空间在该向量空间中的任何向量X都可以利用该基向量的线性组合进行表达，即式中，qi表示向量X在基向量Ai上的分量大小，即坐标值。

因此，基向量空间Ap可以看作使一个变量(或坐标)xi

(i=1,2,…,n)变换成另一个变量)qj

(j=1,2,…,n)的变换因子，所以，称基向量空间Ap为变换矩阵。如果已知无阻尼多自由度系统的振动微分方程为将坐标变换式X=ApQ代入上式，得到两边左乘变换矩阵Ap的转置矩阵，可得

显然，在广义坐标Q下的质量矩阵Mp和刚度矩阵Kp，与在原坐标X下的质量矩阵M和刚度矩阵K不同，因此，振动微分方程的耦合情况也不相同。可见，可以通过坐标变换将原来广义坐标X下的运动方程，变换到另外的广义坐标Q来表达。变换之后，并没有改变系统的性质，但改变了系统的耦合情况。二、模态分析

1.特征值、特征向量和振型矩阵

以广义坐标X表达的无阻尼多自由度系统的自由振动微分方程n个特征值和相应的n个主振型向量2.主振型向量的正交性、模态质量和模态刚度

将各个主振型向量按照固有频率的排列次序，按列排在一个方阵中，则组成主振型矩阵(主模态矩阵)，即多自由度系统的各阶主振型之间存在一定的关系，表现为主模态的正交性，即可知，主模态对于质量矩阵M和刚度矩阵K都是正交，因此，如果以主模态组成的模态矩阵作为坐标变换矩阵，可以使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化，即3.主坐标和正则坐标

主振型方程的特征值为（1）模态质量对角矩阵Mφ

（2）模态刚度对角矩阵

根据模态质量矩阵的定义和主振型向量对质量矩阵的正交性，得可知，模态质量矩阵为对角矩阵Mφ，其主对角元素分别为各阶模态质量。同理，根据模态刚度矩阵的定义和主振型向量对刚度矩阵的正交性，得可知，模态刚度矩阵为对角矩阵Kφ

，其主对角元素分别为各阶模态刚度由于模态质量矩阵Mφ和刚度矩阵Kφ都是对角阵,因此方程具体形式为可表示为

可知，在广义坐标Q的振动微分方程是完全解耦的。因此，可以对其中的每一个独立的方程，按照单自由度振动系统的方法求得系统在模态坐标下的响应Q，再将模态坐标下的响应Q代回到坐标变换式，则可以求得系统在原有广义物理坐标X下的响应，即

由于主振型的不唯一性，主坐标也存在多种选择。为了应用的方便，实际上常采用能够使得模态质量矩阵Mφ正则化为单位矩阵的坐标变换矩阵进行坐标变换。由于模态质量矩阵Mφ的对角元素各不相同，因此，为了正则化，必须对每一阶的主模态乘以相应的因子，使得各阶模态质量变为1。(3)正则坐标和正则变换

正则化的条件可以用数学形式表达为可得第i阶正则化因子αi

由n个正则化因子αi

（i＝1，2,3…n）可以组成一个正则化因子方阵R，正则模态矩阵φN

以正则模态矩阵φN作为坐标变换矩阵进行坐标变换，所得到的模态方程为正则模态方程，其主坐称为正则坐标，其坐标变换关系如下对应于正则坐标的广义质量矩阵MN为单位矩阵I，即所以坐标变换关系变为正则坐标下的所对应的广义刚度矩阵KN

因为所以即正则坐标下的广义刚度矩阵为由特征值组成的对角阵。正则变换后的模态坐标下的方程，可化正则模态方程，即第4节多自由度无阻尼振动系统的响应计算

一、自由振动响应

无阻尼多自由度系统的自由振动振动微分方程为在模态坐标Q下的微分方程为即在模态坐标Q下各个模态坐标的通解为模态坐标Q下的初始条件

将求得的在模态坐标Q下的响应，利用主振型变换矩阵变换到原物理坐标X下，得到系统在给定初始条件的响应则在某一特殊初始条件下，第i阶纯模态自由振动的位移向量(主振型)为其中，第j坐标处的自由振动为结论：(1)当系统作某i阶纯模态自由振动时，系统中的各个坐标以相同的频率和初相位作简谐振动。各坐标的振幅大小不同，但任意瞬时的幅值保持固定的比例，即系统具有第i阶固定的主振型；(2)系统的自由振动X为各阶纯模态运动的线性组合。二、强迫振动响应

多自由度系统的强迫振动响应分析包括：（1）系统在简谐激振下的响应；（2）系统在任意激振下的响应。1.简谐激振下的响应

（1）无阻尼多自由度系统在简谐激振力下的振动微分方程（2）如果利用主振型矩