相似三角形的判定相似模型

相似三角形的判定、性质及应用（习题）例题示范例1：如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？解：△ABE与△DEF相似．理由如下：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E为边AD的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴，∴又∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEF例2：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴∴∴AB=12.8∴大楼AB的高为12.8米．巩固练习如图，在△ABC中，点P为边AB上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③；④．其中能判定△ABC∽△ACP相似的是__________．第1题图第2题图如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=BE，则有（）A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）ABCD如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，，若OA=1，，则OD=_____，______．第4题图第5题图如图，∠APB=120°，点M，N在线段AB上，△PMN是等边三角形．若，AB=26，则NB长为_______．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=3，CE=2．求证：△ABD∽△BCE．如图，在△ABC中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分记为△GEC．已知BC=14，BA=15，S△ABC=87，则当EG=BE时，求△GEC的面积．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，求证：△ABD∽△A′B′D′.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m，PD=12m，那么该古城墙的高度是（）A．8m B．10mC．15m D．18m如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA'=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是_________．如图，△ABC与△DEF，且直线AD，CF，BE相交于点O，，已知AB=4，则DE的长为_________．第13题图第14题图如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是_________．思考小结如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)．（1）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（2）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形_____，位似中心是______，它们的相似比为_______．回顾相似三角形相关概念，并填空．①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是______，三角形相似是______．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．①利用阳光下的影子：_________②利用标杆：_________③利用镜子的反射：_________A．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等B．视线与一组平行线相交，同位角相等C．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等相似模型（一）（习题）例题示范例1：如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立解：如图，过点D作DE∥BC交AB于点E，则四边形BCDE为矩形．由题意，BC=9.6，CD=2，∴BC=DE=9.6，CD=BE=2由题意，∴AE=8∴AB=AE+EB=8+2=10∴旗杆的高度为10m．巩固练习如图，在锐角三角形ABC中，高CD，BE相交于点H，则图中与△CEH相似（除△CEH自身外）的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第1题图 第2题图如图，E是□ABCD的边CD上一点，连接AC，BE交于点F．若DE:EC=1:2，则BF:EF=________．如图，小明在A时刻测得某树的影长为2m，B时刻又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则AC:AB=（）A． B． C． D． 第4题图第5题图如图，已知□ABCD，过点B的直线依次与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G．若BE=5，EF=2，则FG的长为_________．如图，梯形ABCD的中位线EF分别交对角线BD，AC于点M，N，AD=1，BC=3，则EF=________，MN=________．第6题图第7题图如图，D是AB的中点，AF∥CE，若CG:GA=3:1，BC=8，则AF=________．如图，P是□ABCD的对角线BD上一点，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．有下列结论：①△RQA∽△RTD；②；③；④.其中正确的是________.如图，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是AC上的点，若AF⊥BE，垂足为F．求证：∠BFD=∠C．如图，一同学在某时刻测得1m长的标杆竖直放置时影子长为1.6m，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2m，留在墙上的影子高为1m，则旗杆的高度是_________．第11题图第12题图如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影子长为2m，则电线杆的高度为____________．如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB，B是CD的中点，且CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m，2m，那么塔高AB=_________．第13题图第14题图某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m，一级台阶高为0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m，则树高为_________．思考小结相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外，还需要满足一些其他特征，这些特征能够帮助我们快速验证模型．①平行线，往往配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）②一组角对应相等，往往配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）③多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）