二次函数存在性问题（菱形、平行四边形、矩形）

这里的四边形存在性问题，一般是以几种特殊的四边形为主，常考察的有平行四边形、菱形、本文我们将重点讲解这类问题的求解逻辑以及注意事项，同时给大家理出一个比较通用的解题C交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．\24)\24)如果只需要点F的坐标，那么没有必要求解平移后抛物线的解析式．根据平移的性质，将原抛物线为x=2，几F(2,m)．但由于此时E为量抛物线的交点，因此还是要把平移后的抛物线解析式求出菱形的探究相对是比较简单的，对于这类探究性问题，一般都是先从确定的信息入手．菱形是以D、E、F、G为顶点，其中DE为定线段，那么存在的可能有DE是一条边，也可能是一条对对角线．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，这里我们结合等腰三角形的存在性问题一起分析．由于G是“自由点”，可以随机应变，因此讨论以D、E、F为顶点的三角形是等腰三角当DE为一条腰时，第一种情形是点D为顶点，即DE=DF，也即半动点F到D的距离和E到D的距离相等，因此点F在以点D为圆心，DE为半径的圆上，作出该圆，如图1所示，可知此时FF此时两个点应该都是满足的．那么对应的“自由点”G，就是以DE为边菱形了．当DE为一条腰时，另一种情形是点E为顶点，即ED=EF，也即半动点F到E的距离和D到E的距离相等，因此点F在以点E为圆心，ED为半径的圆上，作出该圆，如图2所示，可知此时应的“自由点”G，此时便是以DE为对角线的菱形．线”法．此题还是比较友善的，只需求出F坐标．如果需要求解点G的坐标，则还要加一个步骤．这里FG形的对角线相互平分，因此EF1的中点也即DG1的中点，利用中点坐标求解出G1坐标．这两种处理在平行四边形存在性问题中也是有力手段．(11)(11)\2)152292\2)5315229EDEFEDEF，即=m2−m+，16816解得m=2或m解得m=2或m=，此时F的坐标为(2,2)或|2,|，216(149)56\56)解得m(149)56\56)(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，BC，点P是直线BC下方抛物线上一点，过P作PD∥AC交直线BC于点D，PE∥x轴交直线BC于点，E，求△PDE面积的最大值及此时点，P的坐标；(3)在(2)的条件下，将原抛物线沿x轴向左平移3个单位得到新抛物线，点M是新抛物时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求解过程．BC．(1)求抛物线的解析式；(2)P是拋物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ+EF的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y，过点(3,1)，上一动点，直接写出所有使得以A，D，G，H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．1(828)2\39)1(828)2\39)知，沿着射线CB平移，即向右平移t个单位，则向下也平移t个单位，因此假设平移后新抛物线的13相当于是沿着射线BC方向平移，故舍去，因此可得平移后抛物线的解析式为y=−x2+4x−．联22y=−x2+x+4\28)这类平行四边的探究也并不难，同样先从确定的信息入手．平行四边形是以A，D，G，H为D对角线；另一种则是平行四边形为ADGH，也即AG，DH为对角线．当然，不管是那种情形，由AD828)828)828)设好，将点坐标表示列出来(通常都是横坐标)，选定一个定点，如这里我们选定xA，将其与剩下及xA+xH=xD+xG，求解出点H横坐标，再代入解析式中求出点H纵坐标即可．(1311则有D|2,8)|—H|2,8(13112\28)2\28)132\28)2\28)13(1313)13Dy=−x2+x+4\28)则xA=−2，xD=，xG=1，设H点横坐标为xH，2\28)①当AH为一条对角线时，xA+xH=xD+xG，则xH=，代入可求得此时H|2\28)AGxAxGAGxAxGxDxH，则xH=−，代入可求得此时H|−,−|；③当AD为一条对角线时，xA+x③当AD为一条对角线时，xA+xD=xH+xG，则xH=，代入可求得此时H|,−|；(1313)(9277)(137)\28)\28)\28)\28)\28)\28)OB=3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点C，平移后点A的对应点为点A，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y的对称轴上一点，在新抛物线y上存在一点M，使以点M，Q，A，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个出求解过程．(1)求抛物线的解析式；B△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；(3)如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线y1，M为新抛物线对称轴上一点，N为直线AC上一动点，在(2)的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶N【例1】如图，已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标直线BC的解析式为y=x−4．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D(异于点A)，P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，点C关于x轴的对称点为点C，将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y，新抛物线y与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写342yxx−4；S△PQR的最大值为9，点P(4,−342AM物线的解析式．根据A(−2,0)，C(0,4)，可知Rt△AOC中AO:OC:AC=1:2:，因此将抛物线4242y=x2−x−4(1得M(6,−4)．又BC:y=1x−4，可知AD:y=1x+1，联立〈|y=2x+1，解得D(10,6)．|4222|y=1x2−3x|42前面讨论菱形、平行四边形时的流程基本大同小异，定线段DM可能是矩形的边，也可能是矩形的对角线，因此要分两种情形讨论．矩形的存在性问题和直角三角形的存在性问题是一致的，如本题\5)N\5)当M为直角顶点时，过M作DM垂线与对称轴交点即为点N所在位置，如图1所示．对于N点坐标的求解，一方面，由于MN⊥DM，则kMN.kDM=−1，结合点M坐标，由此可求得直线MN解析式，将其与对称轴方程联立即可求得点N坐标．另一方面，可以构造如图所示的K型相似，即构造△MN1G造△MN1G∽△DMH，利用=，可求出长度，进而得到点N坐标．更特殊地，如果是等GMGMNG在此直角三角形的基础上，加上自由点K，就变成矩形问题了．对于矩形问题，同样可以求出点N坐标后，利用平移关系或者对角线的中点关系，求相应的点K的坐标．当然，如果是探究矩形的存在性问题，也可以直接利用中点关系求得点K的坐标．由点N(3,n)，设K(xK,yK)(熟练后，在实际解题中设K(x,y)即可)，利用中点关系〈MKDN，则〈K在实际解题中设K(x,y)即可)，利用中点关系〈MKDN，则〈K，整理得lyMyKyDyNl−4+yK=6+n故此时K|7,|．此法借助的是矩形的对角线平分且相等的性质，该处理对于故此时K|7,|．此法借助的是矩形的对角线平分且相等的性质，该处理对于DM是对角线的情形l5当N为直角顶点时，则有NM⊥ND，因此点N在以DM为直径的圆上．此种情形若只是求点Nl5当N为直角顶点时，则有NM⊥ND，因此点N在以DM为直径的圆上．此种情形若只是求点NN线段长度求解，设DM中点为为R，则此时圆心为R，因此NR=RD=DM，由此也可求得点N坐NK标外，也可以利用前面的对角线平分且相等来求解．般利用斜率关系，求出解析式后进一步求解．如果是矩形问题要求自由点的坐标，可以用对角线平xM+xD=xN+xKxM+xD=xN+xK\5)\5)式和长度关系式子，即〈MKDN且MK2=DN2，〈MND式和长度关系式子，即〈MKDN且MK2=DN2，〈MNDK且MN2=DK2以及lyM+yK=yD+yNlyM+yN=yD+yK〈且MD2=NK2，利用方程组求解出对应的点K的坐标．lyM+yD=yN+yKy1−y2附：坐标平面内点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1丰xy1−y242424242My=x2−x−4(1又BC:y=1x−4，可知AD:y=1x+1，联立〈|y=2x+1，解得D(10,6)，22|y=1x2−