云南省云南大学附属中学2022年中考三模数学试题（含答案与解析）

2022年云南省云南大学附属中学中考三模试题

数学

（本试卷共三大题，24小题；考试时间120分钟；满分120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。

3.非选择题的作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试

题卷上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共48分）

1.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形

状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）.如图1表示的是（+2）+（-2）,根据这种

表示法，可推算出图2所表示的算式是（）

C.（-3）+（+6）D.（-3）+（-6）

2.国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可

输出约44.8万度清洁电力.将448000用科学记数法表示应为（）

A.0.448xlO6B.44.8xlO4C.4.48xlO5D.4.48xlO6

3.几何体的三视图如图所示，这个儿何体是（）

B.

)

B.3+G=3G

5.下列多边形中，内角和最大的是（）

6.为考察两名实习工人工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组

数据，如下表:

甲26778

乙23488

关于以上数据，说法正确是（）

A.甲、乙的众数相同B.甲、乙的中位数相同

C.甲的平均数小于乙的平均数D.甲的方差小于乙的方差

7.下列函数中，自变量x的取值范围错误的是（）

B.）=

yjX—1

C.y=Vl—x(x<l)D.y=x2-1（x为任意实数）

8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工

作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且

。。被水面截得的弦A8长为6米，半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点。到弦A8所

在直线的距离是（）

图1图2

A.1米B.（4-J7）米C.2米D.（4+4）米

9.下列说法正确是（）

A.函数y=2x—3,y随x增大而减小

B.直线y=—x+2经过第一、二、三象限

2

C.函数y=一一（x<0）,y随x增大而增大

X

D.二次函数y=3（x—4）2+5的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为y=3（x—IO）?+5

10.如图，在心△ABC中，ZACB=90°,按以下步骤作图：①以8为圆心，任意长为半径作弧，分别交

BA、8c于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射

2

线8P,交边AC于。点.若48=10,BC=6,则线段C£>的长为（）

C

11.观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

1,4,7,10,13,16,19,22,25,­••

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n等于（）

A18B.19C.20D.21

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（5,0）,点8是函数y=?（x>0）图象上的一个动

点，过点8作8C_Ly轴交函数丁=--（x<0）的图象于点C,点。在x轴上（。在4的左侧），且

AD=BC,连接AB,CD.有如下四个结论：

①四边形ABCO可能是菱形：

②四边形ABCD可能是正方形；

③四边形ABCD的周长是定值；

④四边形ABC。的面积是定值.

A.①②B.@@C.①③D.①④

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13.写出一个无理数x,使得l<x<4,则x可以是（只要写出一个满足条件的x即可）

14计算：［1+一］+"一=________.

V\-aJa-a

15.如图1,在oABCD中，AD>AB,/ABC为锐角.要在对角线3。上找点N,M,使四边形ANCM为

平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是.

16.若关于x的一元二次方程（k—1）X2+4X+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

17.如图，在边长为2的等边△ABC中，。是BC边上的中点，以点A为圆心，AO为半径作弧与AB,AC

分别交于E,尸两点，则图中阴影部分的面积为.

18.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45。的三角尺AOE固定不动，将含30。的三角尺A8C绕顶点4

顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2,当NBAO=15。时，BC//DE,则NBA。

（0。</84。<180。）其它所有可能符合条件的度数为.

c

E

B

图1图2

三、解答题(本大题共6小题，共48分)

19.某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航；

D.数字经济；E.小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注

的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图.

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

(1)数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；

(2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

(3)最关注话题扇形统计图中的,话题。所在扇形的圆心角是度；

(4)假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多

少？

20.从2022年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”

是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.

(1)若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是；

(2)若小明在“1”中选择了物理，请用列表或画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.(请

在列表或树状图中用“表示化学、6表示生物、c表示思想政治、d表示地理)

21.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一

笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种

农机具和3件乙种农机具共需3万元.

(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万

元，设购进甲种农机具机件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

22.综合与实践

在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动一

折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数

学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片A8CQ,使AO与BC重合，折痕为EF,把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上

的点N处，并使折痕经过点3,折痕为把纸片展平，连接AN,如图①；

图①图②

图③

(1)折痕所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中AABN是什么特殊三角形？请写出解

答过程.

(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点”处，并使折痕经过点8,得到折痕BG,把纸片展平，如

图②，求/GBN的度数.

(3)拓展延伸:

如图③，折叠矩形纸片A8CZ),使点A落在BC边上的点4处，并且折痕交BC边于点7,交AO边于点

S,把纸片展平，连接A4'交sr于点O,连接AT；求证：四边形S4"'是菱形.

23.如图，AB是。0的直径，弦CL>J_A8于点E,点尸在弧BC上，4F与CO交于点G,点“在。C的延

长线上，且HG=HF,延长，尸交AB的延长线于点

（1）求证：”尸是。。的切线；

4

（2）若sinM=g,BM=\,求AF的长.

24.在平面直角坐标系中，己知抛物线y=以2+〃x+a-2的对称轴是直线x=l.

（1）用含。的式子表示6,并求抛物线的顶点坐标；

（2）已知点A（O,T）,B（2,-3）,若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求。的取值范围;

（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3,0）,且当机WxWw时，y的取值范围是，“WyW6,结合函数图

象，求出满足条件的，小〃的值.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共48分）

1.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形

状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正,黑色为负）.如图1表示的是（+2）+（-2）,根据这种

表示法，可推算出图2所表示的算式是（）

B.(+3)+(-6)

C.(-3)+(+6)D.(—3)+(-6)

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案.

【详解】解：由题知，图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+（-6）.

故选：B.

【点睛】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解正负数的含义.

2.国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可

输出约44.8万度清洁电力.将448000用科学记数法表示应为（）

A.0.448xlO6B.44.8xlO4C.4.48xlO5D.4.48xlO6

【答案】C

【解析】

【分析】直接用科学记数法的形式表示即可.

【详解】解：448000=4.48xlO5

故选：C

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，此时axlO"中，14|。|<1（）,〃为正整数且〃等

于原数的整数位数减1.

3.几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可.

【详解】解：根据A,B,C,D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项，

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键.

4.下列运算正确的是（）

A.|-（-2）|=2B.3+&=36C.=-2D.（加f="6

【答案】A

【解析】

【分析】根据绝对值的性质，二次根式的加法运算，负整数指数幕，积的乘方，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、卜（一2）|=2,故本选项正确，符合题意；

B、3和6不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；

C、（！）=2,故本选项错误，不符合题意；

D、（出？）2=。2〃，故本选项错误，不符合题意；

故选：A

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的加法运算，负整数指数第，积的乘方，熟练掌握相关

运算法则是解题的关键.

5.下列多边形中，内角和最大的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项.

【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；

B、是一个四边形，其内角和为360。；

C、是一个五边形，其内角和为540°；

D、是一个六边形，其内角和为720。；

，内角和最大的是六边形；

故选D.

【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键.

6.为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组

数据，如下表：

甲26778

乙23488

关于以上数据，说法正确的是（）

A.甲、乙的众数相同B.甲、乙的中位数相同

C.甲的平均数小于乙的平均数D.甲的方差小于乙的方差

【答案】D

【解析】

【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.

【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7,

排序后最中间的数是7,所以中位数是7,

—2+6+7+7+8,

与=-------------=6,

S^=-xr（2-6）2+（6-6）2+（6-7）2+（6-7）2+（8-6）2l=4.4,

5L-

乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8,

排序后最中间的数是4,所以中位数是4,

—2+3+4+8+8仁

士=-5—=5，

（2-5）2+（3-5）2+（4-5）2+（8-5）2+（8-5）2=6.4,

所以只有D选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.

7.下列函数中，自变量x的取值范围错误的是（）

f(9

C.y=Vl-x（x<l）D.y=x2-i（x为任意实数）

【答案】B

【解析】

【分析】逐个判断即可.

【详解】解：A.y=---,分母2x-lW0,即xH,，故此选项正确,

2x—l2

1...................___

B.y=-r=,分母GTwO且x-1N0,即x>l,故此选项不正确，符合题意；

VX-1

C.y=Jl-x,l-x'O,即xWl,故此选项正确，不符合题意；

D.y=x为任意实数，故此选项正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是明确分式、二次根式有意义的条件.

8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工

作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且

。。被水面截得的弦A8长为6米，半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦A8所

在直线的距离是（）

水面

图1

A.1米B.（4-々）米C.2米D.（4+J7）米

【答案】B

【解析】

【分析】连接0C交A8于。，根据圆的性质和垂径定理可知0ULA8,AO=8O=3,根据勾股定理求得

0。的长，由CO=OC-0。即可求解.

【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点,

连接。C交AB于。，贝iJOC_LA8,AD=HD=^AB=3,

在Rtz2i0AD中，0A=4,AD=3,

0D=yJo/r-AD1="2-32=不，

CD=0C-OD=4-V7，

即点。到弦AB所在直线的距离是（4-五）米,

水面

【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键.

9.下列说法正确的是（）

A.函数y=2x—3,y随x增大而减小

B,直线y=-x+2经过第一、二、三象限

2

C.函数y=-一（xVO）,y随x增大而增大

x

D.二次函数y=3（x-4『+5的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为y=3（x—10）2+5

【答案】C

【解析】

【分析】利用一次函数的图象与性质、反比例函数的图像与性质、二次函数的图象与性质逐一判断即可.

【详解】解：A选项中，：？〉。，

随X的增大而增大，故A选项错误；

B选项中，'：k<0,b>0,

图象经过一、二、四象限，故B选项错误；

C选项中，•.■该函数图象位于第二象限，

随x的增大而增大，故C选项正确；

D选项中，♦.•该二次函数图象向上平移6个单位得到的函数解析式为y=3（x—4『+11,

故D选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图像与性质、二次函数的图象与性质和平移等

内容，解题关键是牢记相关概念和图象平移法则.

10.如图，在放ZVIBC中，ZACB=90°,按以下步骤作图：①以8为圆心，任意长为半径作弧，分别交

BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射

2

线8尸，交边AC于。点.若AB=10,BC=6,则线段CC的长为（）

816

B.3D.

3T

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本作图得8。平分/ABC,过。点作OELA8于E,如图，根据角平分线的性质得到则

DE=DC,再利用勾股定理计算出AC=8,然后利用面积法得到'•QExlO+L・CDx6=Lx6x8,最后解方程

222

即可.

【详解】解：由作法得8。平分/ABC,

过。点作于E,如图，则OE=OC,

在RmABC中，AC=L-BC?=V102-62=8，

SAABD+5ABCD=5AABC,

A-«D£xlO+-«CDx6=-x6x8,

222

即5CD+3CD=24,

：.CD=3.

故选：A.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）.也考查了角平分线的性

质.

11.观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

1,4,7,10,13,16,19,22,25,…

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n等于（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

【解析】

【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，第〃个相同的数是

6（n-l）+l=6n-5,进而可得〃的值.

【详解】解：第1个相同的数是l=0x6+l,

第2个相同的数是7=lx6+l,

第3个相同的数是13=2x6+1,

第4个相同的数是19=3x6+1,

第"个相同的数是6（〃-1）+1=6〃-5,

所以6”—5=103,

解得〃=18.

答：第〃个相同的数是103,则“等于18.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键.

A

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4的坐标是（5,0）,点B是函数丁=1（工>0）图象上的一个动

点，过点3作BCL），轴交函数y=-2（x<0）的图象于点C,点3在x轴上（。在A的左侧），且

x

AD=BC,连接AB,CD.有如下四个结论：

①四边形ABCD可能是菱形；

②四边形488可能是正方形；

③四边形ABC。周长是定值；

④四边形ABCD的面积是定值.

所有正确结论的序号是（）

A.①②B.@@C.①③D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得四边形ABCO是平行四边形，设点则C［一根据8C=AB,可得

关于〃的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCZ）是正方形，则轴，ABA.BC,BC=AB,可得到

点8,C的坐标，从而得到A8WBC,可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面

积，可得平行四边的面积等于8,可得④正确，即可求解.

【详解】解：如图，

VBC±y$fh,

：.BC//ADf

•:AD=BC,

・・・四边形ABC。是平行四边形，

设点819,a],则—,a),

①若四边形ABC。是菱形，则8C=AB,

四边形A8CQ可能是菱形，故①正确；

②若四边形ABCD是正方形，则轴，ABLBC,BC=AB,

•••点A的坐标是(5,0),

点8的横坐标为5,

•.•点8是函数y=9(x>0)图象上，

X

.,.点B的纵坐标为

AB=—

5

轴，

.♦.点C的纵坐标为

2

•.•点C是函数y=——（x<0）的图象的一点，

X

.♦.点c的横坐标为一工，

3

.•.此时BC=5_（_g）=gwA3,

四边形ABC。不可能是正方形，故②错误；

③若”=1时，点B（6,l）,则。（一1,1）,

A£>=BC=7,CD=AB=J（6-5"+」二四,

.••此时四边形ABC。的周长为2（7+收）=14+2夜,

若”=2时，点8（3,2）,则C（—1,2）,

AD=BC=4,CD=AB=^/（3-5）2+22=272.

.••此时四边形ABC。的周长为2（4+2及）=8+4及,

四边形ABC。的周长不是定值，故③错误；

点B到x轴的距离为a,

Q

/.四边形ABCD的面积为一xa=8,

a

四边形A8CO的面积是定值，故④正确；

...正确的有①④.

故选：D

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平

行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13.写出一个无理数x,使得l<x<4,则x可以是（只要写出一个满足条件的x即可）

【答案】答案不唯一（如血，肛1.010010001…等）

【解析】

【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有兀的数，

【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足l<x<4即可；

所以可以写：

①开方开不尽的数：V2,

②无限不循环小数，1.010010001........,

7T

③含有兀的数一，等.只要写出一个满足条件的X即可.

2

故答案：答案不唯一(如0,肛1.01001()0()1.......等)

【点睛】本题考查了无理数定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限

不循环小数，③含有兀的数.

14.计算：+.

(a)a'-a

【答案】一。

【解析】

【分析】分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括

号外的除法运算，即可解答本题.

11—a1-a)a2-a

11

\—acr—a

=±xa(a-l)

=-a

故答案是：-a

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.

15.如图1,在QABCD中，AD>AB,NABC为锐角.要在对角线BO上找点N,M,使四边形ANCM为

平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是一

尸乒可_丙：a?

图］1!i}

;取3D中点O,作［•作/V」如于N：!作HNCM分别平分；

;BN=NOQM=AID;；CVLL3Z)于A,5；/BAD/BCD；

•-------------------------*।_____________!L_____________

图2

【答案】甲、乙、丙

【解析】

【分析】根据平行四边形判定定理分析甲、乙、丙三种方法即可知正确答案.

【详解】解：甲方法：

V四边形ABCD为平行四边形，

AAB\\CD,AB=CD.AD//BC,AD=BC,

：.ZABD=ZCDB,ZADB=NCBD,

•.•取8。中点。，作3N=NO,OM=MD,

BN=-BD,MD=-BD,即&V=MD,

44

在AABN和VCOM中，

ZABD=ZCDB

<AB=CD

BN=MD

：./\ABN^/\CDM(MS),

AN=CM,

同理：在△ADM和ACBN中，

ZADB=4CBD

<AD=BC

BN=MD

：.^\ADMg△CBN(SAS),

:.AM=NC,

：.四边形ANCM为平行四边形，

故甲方法可以；

乙方法：

V四边形ABCD为平行四边形，

AAB\\CD,AB=CD,AD//BC,AD=BC,

：.ZABD=ZCDB,ZADB=ZCBD,

•：AN±BD,CM1BD,

：.ZANB=ZANM=zLCMD=ZCMN=90°,

在和VCCV0中，

ZABD=ZCDB

<AB=CD

4ANB=4CMD

：.△ABN进ACDM(A4S),

AN=CM,

■:ZANM=NCMN=90°

AN//CM

...四边形ANCM为平行四边形，

故乙方法可以；

丙方法：

,/四边形ABC。为平行四边形，

AAB\\CD,AB=CD,AD//BC,AD=BC,

：.ZABD=ZCDB,ZADB=ZCBD,

：AN平分44。，CM平分/BCD,

：.ZBAN=ADAN=ZBCM=NDCM,

在AABN和VCDM中，

NABD=NCDB

<AB=CD

/BAN=NMCD

：.^ABN^CDM(ASA),

:.AN=CM,BN=DM,

同理：在△ADM和ACBN中，

NADB=NCBD

<AD=BC

BN=MD

：.△ADM迫ACBN(SAS),

:.AM=NC,

：.四边形ANCM为平行四边形，

故丙方法可以；

故答案为；甲、乙、丙

【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质.解题的关键是掌握平行四边形的

判定及性质，全等三角形的判定及性质.

16.若关于x的一元二次方程(k—l)x2+4x+l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

【答案】k<5且k#l.

【解析】

【详解】试题解析：；关于x的一元二次方程(攵-l)f+4x+l=0有两个不相等的实数根，

%-1#0

A=42-4(A:-l)>0.

解得：％<5且让1.

故答案为％<5且Zwl.

17.如图，在边长为2的等边△A8C中，。是8c边上的中点，以点A为圆心，为半径作弧与AB,AC

分别交于E,尸两点，则图中阴影部分的面积为.

TT

【答案】-

2

【解析】

【分析】连接AQ,根据等边三角形的性质可得N8=60。，BC=AB=2,ADrBC,从而得到

A£>=AB-sin60°=百，再利用扇形面积公式，即可求解.

【详解】解：连接如图，

•••△ABC是等边三角形，

：.ZB=60°,BC=AB=2,

•••£＞是BC边上的中点，

J.ADLBC,

/.AD=ABsin60==2x—=73.

2

图中阴影部分的面积为60%x(®=1T.

3602

故答案为：一31

2

【点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算、解直角三角形、等边三角形的性质；熟练掌握相关知识点是

解决问题的关键.

18.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45。的三角尺4OE固定不动，将含30。的三角尺ABC绕顶点A

顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2,当/54。=15。时，BC//DE,则

(o°<ZBAD<180°)其它所有可能符合条件的度数为

DBA

图1图2

【答案】45°,60°,105°,135°

【解析】

【分析】分四种情况讨论:当时，当BC〃A£>时，当BC〃AE时，当AB〃£>E时，即可求解.

【详解】解：如图,

当AC〃OE时，ZBAC=ZDEA=90a，此时点8在AE边上,

NBAO=/£)AE=45°；

当3C〃A。时，NBAD=NB=60。；

当8C〃AE时，NEAB=/B=60°,

：.ZBAD=ZDAE+ZEAB=45°+60°=105°；

当A8〃£>E时，NE=N£48=90。，

ZBAD=ZDAE+ZEAB=450+90°=135°.

故答案为：45°,60°,105°,135°.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性

质求解是解答此题的关键.

三、解答题(本大题共6小题，共48分)

19.某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航；

D.数字经济；E.小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注

的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图.

人数十最关注话题条形统计图最关注话题扇形统计图

BCDE话题

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

(1)数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；

(2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

(3)最关注话题扇形统计图中的,话题。所在扇形的圆心角是度；

(4)假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多

少？

【答案】(1)200；(2)图见解析；(3)25,36；(4)3000人

【解析】

【分析】(1)根据选择8的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；

(2)根据(1)中结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充

完整；

(3)根据统计图中的数据，可以得到。和话题。所在扇形的圆心角的度数；

(4)根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有

多少.

【详解】解：(1)调查的居民共有：60^30%=200(人)，

故答案为：200.

(2)选C的有：200x15%=30(人)，

选A的有：200-60-30-20-40=50(人)，

条形统计图补充如下：

(3)a%=50+200x100%=25%,话题。所在扇形的圆心角是：360°x——=36°,

200

故答案为：25,36.

(4)10000x30%=3000(人)，

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人.

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

20.从2022年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”

是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.

(1)若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是______；

(2)若小明在“1”中选择了物理，请用列表或画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.(请

在列表或树状图中用“表示化学、b表示生物、c表示思想政治、”表示地理)

【答案】⑴

3

(2)一.

6

【解析】

【分析】(1)根据概率公式即可得出答案：

(2)根据题意列出表格或画出树状图，得出所有可能的情况数为12,找出符合条件的情况数为2,然后

根据概率公式即可得出答案.

【小问1详解】

解：在“2”中选择了地理，从剩下的化学、生物、思想政治三科中任选一科，因此选择生物的概率为

2

3,

【小问2详解】

解：用列表法表示所有可能出现的结果如下表：

一科

第二拜abcd

abacada

babcbdb

cacbede

dadbdcd

共有12种可能的结果，其中选择化学和生物的有时，加两种,

21

所以选化学、生物的概率尸=一=一.

126

【点睛】本题主要考查了概率公式的应用及列表或画树状图求随机事件发生的概率.

21.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一

笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种

农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万

元，设购进甲种农机具，"件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

【答案】（1）购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需1.5万元、0.5万元；

（2）总共有3种购买方案，当购进甲种农机具5件，购进乙种农机具5件时，花费最少为10万元.

【解析】

【分析】（1）根据问题假设未知数，利用题干中等量关系式建立二元一次方程组，求解即可.

（2）由题意表示出所需购买资金与购进甲、乙两农机具件数之间的函数关系式，进而利用题中限制条件

“投入资金不少于9.8万元又不超过12万元”列出不等式，进而在满足条件的情况下进一步筛选出购买资

金花费最少的方案即可.

【小问1详解】

解：设购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需x、y万元.

2x+y=3.5

由题意可得：，

x+3y=3

x=l.5

解之得：《

y=0.5

.••购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需1.5万元、0.5万元.

【小问2详解】

解：设购进甲种农机具。件，则购进乙种农机（10-4）件，购买总资金为w万元.

由题意可得：卬=1.5。+0.5（10—。）=。+5,且9.8<a+5<12,

解之得：4.8<a<7,

•••〃取正整数，

.•・“可取5、6、7,共有三种购买方案.

①购进甲种农机具5件，购进乙种农机具5件，需花费10万元.

②购进甲种农机具6件，购进乙种农机具4件，需花费11万元.

③购进甲种农机具7件，购进乙种农机具3件，需花费12万元.

vl0<ll<12,

方案①购买资金最少，最少为10万元.

•••总共有3种购买方案，当购进甲种农机具5件，购进乙种农机具5件时，花费最少为10万元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数以及不等式的实际应用，是典型的方案选择问题，对相关

知识的熟练掌握是解决本题的关键.

22.综合与实践

在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动一

折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数

学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片ABCZ),使A。与BC重合，折痕为EF,把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上

的点N处，并使折痕经过点8,折痕为把纸片展平，连接AN,如图①；

图①图②

(1)折痕所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中AABN是什么特殊三角形？请写出解

答过程.

(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点”处，并使折痕经过点8,得到折痕BG,把纸片展平，如

图②，求/GBN的度数.

(3)拓展延伸:

如图③，折叠矩形纸片ABCZ),使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交8c边于点T,交4。边于点

S,把纸片展平，连接A4'交ST于点0,连接AT；求证：四边形S4/4'是菱形.

【答案】(1)折痕所在直线是线段4N的垂直平分线，AABN是等边三角形，过程见解析

(2)15°

(3)见解析

【解析】

【分析】(1)由折叠的性质可得AN=BN,AE=BE,NNEA=90。,垂直平分AN,/BAM=/BNM=

90°,可证△ABN是等边三角形；

(2)由折叠的性质可得乙48G=/"BG=45。，可求解；

(3)由折叠的性质可得AO=A'。，AA'LST,由“AAS”可证△ASO丝/WTO,可得SO=TO,由菱形的

判定可证四边形SAAT是菱形.

【小问1详解】

解：如图①，

:对折矩形纸片ABCZ),使AD与重合，

尸垂直平分4B,

：.AN=BN,AE=BE,NNEA=90。,

♦.♦再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处,

垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,

：.AB=BN,

:.AB=AN=BN,

...△ABN是等边三角形，

解：•••折叠纸片，使点A落在8c边上的点”处，

ZABG=NHBG=45。,

：.ZGBN=ZABN-ZABG=\5°,

【小问3详解】

证明：••,折叠矩形纸片ABC。，使点A落在8c边上的点4处，

.•.ST垂直平分A4，，

：.AO=A'O,AA'±ST,

-AD/7BC,

：.ZSAO=ZTA'O,ZASO=ZA'TO,

AASO^AA'TO(AAS)

：.SO=TO,

：.四边形ASA7是平行四边形，

又•.,AA'_LST,

四边形S474是菱形.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性

质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

23.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB于点E,点尸在弧8C上，A尸与C£＞交于点G,点”在。C的延

长线上，且HG=HF,延长HF交AB的延长线于点M.

4

（2）若sinM=《，BM=1,求AF的长.

【答案】（1）见解析（2）为叵

5

【解析】

【分析】（1）连接。凡根据COLA8,可得/A+/AGE=90°,再由4G=〃凡可得NHFG=NAGE,然

后根据。4=。尸，可得/A=NOM,即可求证；