高等数学：微分方程

微分方程6.1微分方程的概念6.2一阶微分方程6.3二阶常系数线性微分方程本章小结

6.1微分方程的概念

引例1【曲线方程】已知某曲线经过点(0,1),并且在该曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为2x+1,求该曲线方程y=f(x).

解根据导数的几何意义,有

对式(6-1)两边积分,得

其中C为任意常数.

已知曲线经过点(0,1),即曲线方程y=f(x)满足条件

把式(6-3)代入式(6-2),得C=1,故所求的曲线方程为

引例2【自由落体运动】某物体在只受重力的作用下以v0的初速度开始自由垂直降落,求自由落体的运动规律.

解设自由落体运动的路程s随时间t变化的函数关系为s=s(t),根据导数的物理意义可知,路程s对时间t的二阶导数等于重力加速度g,即

定义6-1含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.

例如,方程(6-1)是一阶微分方程,方程(6-5)是二阶微分方程.又如,方程xy‴+x2y'-y2=3是三阶微分方程,方程y(4)-y‴+5y″-12y'+10y=sin2x是四阶微分方程.

n阶微分方程的一般形式为

其中最高阶导数y(n)必须含有,而x,y,y',…,y(n-1)可不含有.若能从式(6-10)中解出y(n),则可得

定义6-2形如

的方程称为线性微分方程,否则称为非线性微分方程.

如方程(1+x2)y″=2xy'是线性微分方程,而方程y3y″-1=0是非线性微分方程.

定义6-3代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,而且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微分方程的通解.通解中任意常数确定后的解称为微分方程的特解.

显然,函数关系式(6-2)和式(6-4)都是微分方程(6-1)的解,且分别是通解和特解;函数关系式(6-7)和式(6-9)也都是微分方程(6-5)的解,且分别是通解和特解.

注:上面所说的相互独立的任意常数,是指它们不能通过合并使得任意常数的个数减少.例如,式(6-7)中含有的两个任意常数C1、C2,并不能将其合并成一个常数,这时称C1、C2是相互独立的.而函数y=C1ex+C2ex=(C1+C2)ex=Cex,显然C1、C2不是相互独立的.

许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解.此时,这些附加条件就可以用来确定通解中的任意常数,这类附加条件称为初始条件.例如,式(6-3)和式(6-8)分别是微分方程(6-1)和(6-5)的初始条件.

一般地,一阶微分方程y'=f(x,y)的初始条件为

其中x0

和y0都是已知常数.

二阶微分方程y″=f(x,y,y')的初始条件为

其中x0、y0和y'0都是已知常数.

求微分方程满足初始条件的问题称为微分方程的初值问题.例如,一阶微分方程的初值问题记作

通过以上两个引例,我们介绍了微分方程的几个基本概念.微分方程在社会生产实践中是我们解决许多实际问题的有力工具.现将解决实际问题的方法步骤归纳如下:

(1)建立反映实际问题的微分方程;

(2)按实际问题写出初始条件;．

(3)求微分方程的通解;

(4)由初始条件确定所求的特解.

例6-2【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶,制动时列车的加速度为-0.4m/s2,问制动后多长时间列车才能停下?这段时间内列车行驶了多少米?

解设列车制动后t秒行驶了s米.由题意知,初始条件v(0)=20,s(0)=0,制动后列车行驶的加速度等于-0.4m/s2,即

方程两边同时积分,得速度为

再积分一次,得

将初始条件v(0)=20、s(0)=0代入v(t)和s(t),得C1=20,C2=0.

因此制动后列车的速度方程和运动方程分别为

令v(t)=0,得0=-0.4t+20,所以列车从开始制动到停住所需的时间为

把t=50代入s(t),得列车制动后行驶的路程为

6.2一阶微分方程一、可分离变量的微分方程我们把形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.该方程的特点是:等式左边是未知函数的导数dy/dx,等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个是只关于变量x的函数,另一个是只关于变量y的函数.根据方程的特点,我们可以通过对方程进行适当变形后直接积分的方法来求解.

例6-4【镭的衰变】镭的衰变规律是:衰变速度与它的现存量R成正比.由经验材料得知,镭经过1600年后,剩余量为原始量R0的一半.试求镭的量R与时间t的函数关系.

解(1)建立微分方程.设镭的量R与时间t的函数关系为R=R(t),根据题意可建立微分方程

其中λ(λ>0)是常数,叫做衰变系数.λ前面加负号是由于R随着t的增加而单调递减,即dR/dt<0的缘故

(2)求微分方程的通解.方程为可分离变量的微分方程,用分离变量法求方程的通解.分离变量,得

两边积分,得

用lnC表示任意常数,考虑到R>0,得积分结果

即

二、一阶线性微分方程

我们把形如

的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程

称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶线性非齐次微分方程.

一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,可用分离变量法求其通解.

分离变量,得

两边积分,得

由此得到方程(6-16)的通解为

现在我们来求一阶线性非齐次微分方程(6-15)的通解.上面已求得方程(6-15)对应的齐次方程(6-16)的通解(6-17),其中C为常数.方程(6-15)和方程(6-16)在形式上相似,可猜想其解也有某种联系,假设一阶线性非齐次微分方程(6-15)的通解为

即把式(6-17)中的常数C换成未知函数u(x).若把式(6-18)代入式(6-15)能求出u(x),则方程(6-15)的通解就找到了.因此,对式(6-18)求导,得

把式(6-18)和式(6-19)代入方程(6-15),得

把式(6-20)代入式(6-18),得方程(6-15)的通解为

公式(6-21)即为一阶线性非齐次微分方程(6-15)的通解公式.上述求该通解公式的方法称为常数变易法.

解法二题设方程为一阶线性非齐次微分方程,这里p(x)=2,q(x)=5e-x.由一阶线性非齐次微分方程的通解公式(6-21)得

故题设方程的通解为

例6-6-【电容器充电规律】如图6-1所示的RC电路,已知在开关S合上前电容C上没有电荷,电容C两端的电压为零,电源电压为E.把开关合上后,电源对电容充电,电容C上的电压uC逐渐升高,求电压uC随时间t变化的规律.图6-1图6-2

6.3二阶常系数线性微分方程

引例3【潜水艇下沉问题】质量为m的潜水艇从水面由静止状态下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为k的常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.

解潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮力及下沉时遇到的阻力.前两个力都是常量,其合力称为下沉力,即下沉力F=重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为

由牛顿第二定律,有

即

所求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系即为方程

t=F满

的解.

引例3中建立的微分方程就是二阶常系数线性微分方程.一般地,我们把形如

的方程称为二阶常系数线性微分方程.当f(x)≠0时,方程(6-29)称为二阶常系数非齐次线性微分方程;当f(x)≡0时,方程(6-29)为

称为二阶常系数齐次线性微分方程.

一、二阶常系数齐次线性微分方程

定义6-4设y1(x)、y2(x)是定义在区间I上的两个函数,如果存在两个不全为零的常数k1、k2,使得在区间I内恒有

则称这两个函数在区间I内线性相关,否则称为线性无关.

定理6-1若y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程(6-30)的两个解,则y=C1y1+C2y2也是方程(6-30)的解;如果y1与y2线性无关,则y=C1y1+C2y2是方程(6-30)的通解.

证明

所以y=C1y1+C2y2

是方程(6-30)的解.由于y1与y2线性无关,因此C1y1与C2y2

不能合并成一项,即C1、C2是两个独立的任意常数,故y=C1y1+C2y2是方程(6-30)的通解.

由上述定理可知,求二阶常系数齐次线性微分方程(6-30)的通解,只需先求两个线性无关的特解再组合即可.下面讨论方程(6-30)的两个特解的求法.

从方程(6-30)的形式上看,它的特点是:y″、y'和y各乘以常数因子后相加等于零.如果能找到一个函数y,使得与y″和y'之间只相差一个常数,这样的函数就有可能是方程(6-30)的特解.我们知道在初等函数中,指数函数erx具有上述特征,因此不妨假设y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx、y'=rerx、y″=r2erx代入方程(6-30),得

因为erx≠0,故有

由此可见,如果r是二次方程r2+pr+q=0的根,则y=erx就是方程(6-30)的特解.这样,齐次方程(6-30)的求解问题就转化为代数方程(6-31)的求根问题.在方程(6-31)中,r2、r的系数及常数项恰好依次是微分方程(6-30)中y″、y'和y的系数.我们称方程(6-31)为微分方程(6-30)的特征方程,特征方程的两个根r1、r2称为特征根.由初等代数的知识可知,特征方程(6-31)的特征根r1、r2可以由公式

给出.下面分三种情形进行讨论:

1.特征方程(6-31)有两个不相等的实根

当p2-4q>0时,特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根r1、r2,此时y1=er1x

和y2=er2x

是方程(6-30)的两个线性无关的特

解.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为

3.特征方程(6-31)有一对共轭复根

当p2-4q<0时,特征方程r2+pr+q=0有一对共轭复根,即r1=α+iβ,r2=α-iβ(其中α与β是实数,且β≠0).容易验证,y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx是方程(6-30)的两个线性无关的特解,故齐次方程(6-30)的通解为

求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py'+qy=0的通解的步骤如下:

第一步,写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0;

第二步,求出特征方程的特征根r1、r2;

第三步,对照特征根在表6-1中的情形写出对应形式的微分方程的通解.

例6-9求微分方程y″-4y'+5y=0的通解.解题设微分方程的特征方程为

其特征根为r1=2+i,r2=2-i,因此通解为

二*、二阶常系数非齐次线性微分方程

定理6-2若y*是二阶常系数非齐次线性微分方程(6-29)的一个特解,y-是方程(6-29)对应的齐次线性微分方程(6-30)的通解,则非齐次线性微分方程(6-29)的通解为

1.f(x)=Pm

(x)eλx型

f(x)=Pm

(x)eλx

型时,Pm

(x)为m次多项式,λ为常数.此时,可以证明方程(6-29)具有形如y*=xkQm(x)eλx的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的二重根依次取为0、1或2.

注:m次多项式的一般形式为a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am,其中a0≠0.

2.f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型

f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型时,Pm(x)为m次多项式,Pn(x)为n次多项式,λ、ω为常数.此时,可以证明方程(6-29)具有形如y*=xkeλx[Ql(x)cosωx+Rl(x)sinωx]的特解,其中Ql(x)与Rl(x)都是l次多项式,l=max{m,n},而k按λ+iω是否是特征方程的根分别取为1或0

本章小结

一、微分方程的基本概念(1)含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.(2)微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.(3)形如a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y'+an(x)y=f(x)的方程,称为线性微分方程,否则称为非线性微分方程.

(4)我们把代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.

(5)如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,而且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解.通解中任意常数确定后的解称为微分方程的特解.

(6)许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解,此时,这些附加条件就可以用来确定通解中的任意常数,这类附加条件称为初始条件.求微分方程满足初始条