3 高二数学选择性必修第一册期中模拟试卷（新高考题型提高卷2）解析版

高二数学期中模拟试卷（新高考版提高卷2）考试范围：人教A版2019选择性必修第一册（全册）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由且，得存在实数使得，即可得方程组，解方程组得，因此.故选：A.2．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设关于直线对称的点为，则有，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：B.3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（

）A． B． C．8 D．【答案】A【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线E：其中一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，解得，所以抛物线的标准方程为，因为直线过焦点且倾斜角为，所以直线方程为，所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得，由韦达定理得，，所以弦长.故选：A4．（2023秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【详解】由题可得，圆的半径，圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，解得或（舍去），则点的坐标为，该点到圆心的距离为，所以点到圆上点的距离最大值为，故选:A.5．（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（

）.A． B．C． D．【答案】C【详解】取的中点M，连接，则，则，即，故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体的外接球.取的中点N，连接，则.由题可知，，则，，则.所以的最小值为，故选：C6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为【答案】D【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.

7．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（

）A．13 B．11 C．9 D．8【答案】D【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8．（2023秋·高二单元测试）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（

）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是【答案】D【详解】对于A中：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，所以A选项正确；对于B中：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，设，则，设直线与所成角为，则，因为，当时，可得，所以；当时，，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；

对于C中：因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，因为最大，不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；

对于D中，由，设，则设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以D错误.故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·全国·高二假期作业）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【详解】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC10．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】，当且仅当即时取等号，所以.故选：CD.11．（2023秋·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期末）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（

）A．平面PAC B．平面EFCC．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为【答案】AD【详解】解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示由题意可知，，，，，，，所以，，，.因为，所以，即，所以，即.又，所以平面PAC，故A正确；设平面EFC的法向量为，则，即，令，则，所以.因为，所以，故B不正确；设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；设点A到平面EFC的距离为d，，则，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确.故选：AD.12．（2023春·广东揭阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，其准线过点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，则（

）A．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到原点的距离为B．C．直线的斜率为D．若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为2【答案】ABD【详解】因为准线过点，所以，所以抛物线的方程为，当直线的斜率为0时，不合题意；当直线的斜率不为0时，设，，，．对于A，设，，，，则点到原点的距离为，故A正确；对于B，当直线的斜率为0时，不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立，化为，，，，，故B正确；对于C，设直线的方程为，代入抛物线方程可得：，或，，由B得，类比选项B可得，，故C错误；对于D，过作准线的垂线交准线于点，如图所示：

由抛物线的定义知：，即，当取最大值时，取最小值，即直线和抛物线相切，设直线的方程为，联立，整理得，故时，，解得，此时，所以，由于点在轴的上方，故．所以，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为.【答案】【详解】设，由得，则，即.故答案为：14．（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为．【答案】【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作，因为，，且，所以,则，，所以，则，即直线的倾斜角为.

故答案为：15．（2023秋·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）直线不过第二象限，则的取值范围为．【答案】【详解】当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意；当时，将直线化为斜截式为：.由于不过第二象限，所以，解得；综上：，故的取值范围为：.故答案为：.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形中，，，过点作交于点，，现将沿折起，使平面平面，连接、，则直线与平面所成角的正弦值为；当时，则二面角的余弦值为．【答案】．【详解】解：在等腰梯形中，，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又由在等腰梯形中，，所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，；所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以为平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值为．因为，，所以，设平面的法向量为，则所以取，平面的法向量，因为二面角的余弦值为，所以二面角的余弦值为．故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程为．(1)求直线的斜率；(2)求直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）将直线的一般式方程化为斜截式得：，直线的斜率．（2）设直线交轴于点，交轴于点．

方法一：对于直线方程，令，得；令，得，，，.方法二：将直线的一般式方程化为截距式得：，，，.18．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线，p为方程的根.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.【答案】(1)或(2)4【详解】（1）由题意得，解得或6.或.（2）联立与可得，即，由，故抛物线与直线有公共点，不合要求，舍去；联立与可得，即，由，故抛物线与直线无公共点，∴焦点，中令，可得，解得，.19．（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.

(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接，如图所示：

因为为正三角形，则.面面，面面，面，则面.面，故，又，，面，，所以面，面，故，则平行四边形为矩形.（2）如下图所示：

以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设，则，，，，，所以，，，，设面的法向量为，则，令，则，设点到平面的距离为，则，解得.所以.设面的法向量为，则，令，则，则.因为平面与平面所成角为锐角，所以平面与平面所成角的余弦值为.20．（2023秋·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）已知圆：，直线：.(1)若直线与圆相切，求的值；(2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标，【答案】(1)或(2)，【详解】（1）由已知，圆心到直线：的距离等于半径，即.解得：或.（2）当时，直线的方程为，四边形的面积∵为直角三角形，当最小时，切线长最短，显然当时，∴四边形的面积最小值为.此时，，，∴直线：，即.由，解得，即.21．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，是线段上的一动点，过点和直线的平面与，分别交于，两点.

(1)若为的中点，请在图中作出线段，并说明，的位置及作法理由；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)作图见解析，为的中点，为靠近点的三等分点，理由见解析(2)存在，【详解】（1）如图，取为的中点，为靠近点的三等分点.理由如下：由四边形为正方形得，，，又平面，平面，所以平面.又平面平面，为的中点，得，且为的中点.因为，，平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面平面，平面平面，平分，得平分，又，得到为的三等分点，且，从而作出线段.（2）由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，于是，，，设，则的坐标为.设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，假设存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，则有，解得，.所以线段上存在点，位于靠近点的三等分点处，使得直线与平面所成角的正弦值为.22．（2023