2023年新高考数学创新题型08 数列（新定义）（解析版）

2023年新高考数学创新题型微专题（数学文

化、新定义）专题08数列专题（新定义）

一、单选题

1.（2023春•甘肃张掖•高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列｛q,｝中，定义：

G=MW!上士%为数列｛叫的，，匀称直，已知数列｛q｝的，，匀称值，,为G,,=〃+2,则该数列中的

n

aIO=（）

A8R129ɔ21

35410

2.（2023春・浙江•高三开学考试）对任意正整数对e,Q,定义函数/S,口如下：f（l,∕）=l,

（i+∖）f（i+l,j）=（j-i）f（i,j）,i<j,则（）

A./（7+1,7）=1B./（z√∙）=2C;'

C.∑[y2√σ,7）]=J∙（27-l）D.∑∑[y√σ√∙）]=2π+n-2

i=l7=1i=∣

3.（2023春•安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义:对于数列｛%｝,如果存在一个常数T（TWN"）,

使得对任意的正整数“≥%恒有%+r=4,则称数列｛%｝是从第"。项起的周期为T的周期数列.已知周期数

列｛〃,｝满足：4=1,3=3,bn=bn_i-b„_2（∏≥3）,则如3=（）

A.-1B.-3C.-2D.1

q

4.（2023秋・福建南平•高二统考期末）若数列｛q｝的前〃项和为S〃，b.二∖则称数列也｝是数列｛4｝的“均

n

值数列已知数列｛〃,｝是数列｛4｝的“均值数列''且〃=〃，设数列・"的前〃项和为7.，若

〉-胆+指-3）<7；对“eN”恒成立，则实数，〃的取值范围为（

A.[-1,2]

C.(→o,-l)u(2,+∞)D.(→o,-l]u[2,+∞)

5.（2023秋・山西长治•高三校联考阶段练习）对于一个W项数列

A-.al,a2,,an,Sk=ai+a2++ak（∖<k<n,keN^,记A的“CeSam平均值”为+S?++Sn）,若数列

q,%,,αH）H）的“Cecam平均值”为2022,数列x,q,%,,q°H）的“Ces“m平均值”为2046,贝!∣x=（）

A.24B.26C.1036D.1541

6.（2023春♦湖北咸宁♦高二校考开学考试）等比数列｛%｝中％=512,公比“=用口“=。「的……4表示

它的前〃项之积，则n∣,π2.........口“中最大的是（）

A.∏llB.∏∣0C.∏9D.∏8

7.（2022秋・北京•高二北京二中校考期末）如果数列｛α,,｝满足联-%t=a（%为常数），那么数列｛q｝叫做

an+lan

等比差数列，及叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是（）

①若数列满足%L=2〃，则该数列是等比差数列；

a∏

②数列｛〃•2"｝是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③®

8.（2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习）定义在（y,0）U（0,4w）上的函数〃x）,如果对于任意给定

的等比数列｛q,｝,｛∕（q）｝仍是等比数列，则称/（x）为“保等比数列函数现有定义在（9,0）U（O,y）上

的如下函数：①Ax）=/；②〃χ）=2*;③〃X）=J④"x）=ln∣Λ∣,其中是“保等比数列函数”的序号为

（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

12

9.（2023秋・吉林・高二吉林一中校考期末）若数列｛q｝满足-------=0,则称｛《,｝为“必会数列”，已知正

an+∖an

项数列｛α,,｝为“必会数列”，若4+%=3,则/+%=（）.

A.-B.1C.6D.12

9

10.（2022秋.陕西渭南.高二统考期末）设｛%｝是无穷数列，若存在正整数%,使得对任意的〃WN*,均有

aπ+k>an,则称｛4｝是间隔递增数列，女是｛4｝的间隔数.若他｝是间隔递增数列，则数列也｝的通项不可能

是（）

9

A.b=2n--B.⅛,,=3π+l

nn

,

C.bn=ɪ-ɪD.b=-Λ（-2Y

11∙（2023∙全国•高三专题练习）对于数列｛%｝,若存在正整数k（ZN2）,使得4<%τ,4<%M,则称应是

O

数列｛%｝的“谷值”，A是数列｛4｝的“谷值点在数列｛4“｝中，若/=〃+78,则数列｛叫的“谷值点”为

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

12.（2O23∙全国•高二专题练习）若数列｛%｝满足可M=2∕-1,则称｛4,,｝为“对奇数列”.已知正项数歹Ij他,+1｝

为“对奇数列”，且々=2,则％=（）

A.2×3,,^lB.2π^'C.2,"+'D.2"

13.（2022春•辽宁葫芦岛•高二校联考阶段练习）设C（%）表示落在区间[〃,%]内的偶数个数.在等比数列

｛α,,一〃｝中，α∣=4,«2=11,贝IJam）=（）

A.21B.20C.41D.40

14.（2023春•湖北♦高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列｛4,J,定义A,=4+2/++2”％,为数列也｝

的“加权和”，已知某数列｛《,｝的“加权和"A,="∙2"∣,记数列｛α,+p"｝的前〃项和为1,，若（≤T;对任意的

neN-恒成立，则实数p的取值范围为（）

「127]「167]「512^]「169'

A.——τB.ZC.———D.--,-^^

L53j173」L25J174」

15.（2023.全国•高三专题练习）若数列出｝满足：若2=b,,（m,w∈N'）,则％=%,则称数列低｝为“等

同数列己知数列｛4,,｝满足％=5,且q="（α,,M-4）,若“等同数歹W〃,｝的前〃项和为S,,,且仇=4=仇，

瓦=4,S5=aw,则SM22=（）

A.4711B.4712C.4714D.4718

16.（2022・全国•高三专题练习）设数列｛%｝,若存在常数人对任意小的正数S,总存在正整数%,当

时，h,τ∣<s,则数列｛氏｝为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是（）

A.若等比数列｛4,,｝是收敛数列，则公比4«0,1）

B,等差数列不可能是收敛数列

C.设公差不为O的等差数列｛4｝的前"项和为S,,(S,,≠0),则数列♦一定是收敛数列

D.设数列｛%｝的前八项和为S“，满足q=l,Se=q,+1,则数列｛q｝是收敛数列

17.(2022春・安徽亳州•高三蒙城县第六中学校联考开学考试)设数列｛A,,｝：%，生，…，am(rn≥2),若

存在公比为q的等比数列｛纥,J：⅛,,b1,...,⅛m+1,使得也<¾<⅛+l,其中Z=I,2,…，m,则称数列｛氏J

为数列｛4｝的“等比分割数列若数列｛4>｝的通项公式为4=2"("=1,2,,10),其“等比分割数列”｛%｝的

首项为1，则数列｛%｝的公比q的取值范围是()

A.伊,2)B.(2$,2)C.(2,2^)D.(2,2,

18.(2022春•江苏无锡•高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试)若数列｛曲｝满足

a2-^al<a3-^a2<<¾-∣¾.l<……，则称数列｛即｝为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列｛CTJ｝的前n

项和S〃满足S,,+2q=2I5eΛΓ),则实数/的取值范围是()

A.(―∞,-)B.(-00,1)

C.(―,+∞)D.(1,+8)

19.(2022∙浙江.高二学业考试)通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,

得到数列2,6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类

似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数

列记为｛4｝,则%)25的值是()

A.6B.12C.18D.108

二、多选题

20.(2022秋.安徽阜阳.高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)若数列｛4｝满足：对任意正整数

〃，｛。向-%｝为递减数列,则称数列｛%｝为“差递减数列给出下列数列｛4,｝("eN"),其中是“差递减数列”

的有()

2

A.an=TB.an=n

a=y∕n

C.nD.an=Inn

21.（2023春•江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列｛q｝满足：3ΛB∈R,AB≠O,使得对

于V〃eN*，都有a2=Aa向+&,,则称｛为｝具有“三项相关性”，下列说法正确的有（）.

A.若数列｛4｝是等差数列，则｛4｝具有“三项相关性”

B.若数列｛q｝是等比数列，则｛6,｝具有“三项相关性”

C.若数列｛《,｝是周期数列，则｛q｝具有“三项相关性”

D.若数列｛%｝具有正项“三项相关性”，且正数A,3满足A+1=B,al+a2=B,数列｛〃｝的通项公式为

⅛=B",｛%｝与｛〃,｝的前”项和分别为S,，T1,,则对V〃eN*,S“<7；恒成立

22.（2023春•广东惠州•高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多・斐波那契

以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用勺表示斐波

那契数列的第〃项，则数列｛4｝满足：al=a2=∖,al,+2=a^+al,,记fq=q+4+…+〃“，则下列结论正

I=I

确的是（）

A.数列｛4｝是递增数列B.2¾=¾,2+¾+1（M≥3）

20222021

C∙Z%=4022'。2023D∙Z0=〃2023—1

/=1/=I

23.（2023秋・河北邯郸・高二统考期末）若｛〃“｝不是等比数列，但｛为｝中存在互不相同的三项可以构成等比

数列，则称｛勺｝是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（）

ʌ-｛H）"+8｝B.f｝C-桂一击｝D.苗+25｝

24.（2023春•安徽蚌埠•高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列｛凡｝是各项均为正数且公比不等于1的等比

数列（"∈N*）,对于函数“X）,若数列｛lη∕∙（%）｝为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数“，则定义

在（0,+8）上的如下函数中是“保比差数列函数''的有（）

A."x）=g为“保比差数列函数“B./（x）=χ2为“保比差数列函数”

C./（x）=e'为"保比差数列函数”D./（X）=五为“保比差数列函数”

25.（2022秋.福建福州.高二校联考期末）在数列｛q,｝中，若a；=p（"*2,〃eN*,p为常数），则称｛q,｝为

“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（）

A.｛（-2）"｝是平方等差数列

B.若｛q｝是平方等差数列，则｛〃；｝是等差数列

C.若｛q｝是平方等差数列，则｛她+A｝（Z,AeN∙,M力为常数）也是平方等差数列

D.若｛4｝是平方等差数列，则｛6做｝伙,beN*,k,6为常数）也是平方等差数列

26.（2023秋•山西吕梁•高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，

这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4;第二

次得到数列1,4,4,16,4,L,设第"次“美好成长”后得到的数列为1,和w,L,x*,4,并记

α,,=Iog4（l×xl×x2×L×xi×4）,贝IJ（）

A.%=5B.«„+1=3an-l

C.k=2"+lD.数列卜?叫的前〃项和为3"“（2〃.）；3+2〃（1+〃）

27.（2023春•安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数

列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，

将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；...；第〃（〃eN*）次得

到数列1,xx,x2,⅞,...,¾,2.记α,,=1+%+%+…+々+2,数列｛〃"｝的前”项和为S"，则（）

A.〃3=42B.an+i=3att-3

C.¾=∣（n2+3n）D.5“=（（3用+2”-3）

三、填空题

28.（2022春・上海长宁•高二上海市延安中学校考期中）对于数列｛q｝,若存在正整数加，使得对任意正整

数”，都有〃“+皿=勺4（其中夕为非零常数），则称数列｛%｝是以“为周期，以4为周期公比的“类周期性等

比数列若“类周期性等比数歹『'的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列｛《,｝前21项的和

为

29.（2022秋•福建泉州•高二统考期末）对于数列｛%｝,记：△?）=今旦，A[=%AP=编•,…，邸）=藕

（其中"∈N）,并称数列｛△?｝为数列｛4｝的k阶商分数列.特殊地，当｛△!?｝为非零常数数列时，称数列｛凡｝

20

是左阶等比数列.已知数列｛α,,｝是2阶等比数列，且α1=2,々=2048,α3=2,若4=4_“,则

30.（2023•河南郑州•统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外

观描述”.例如：取第一项为1,将其外观描述为“1个1”，则第二项为11;将描述为“2个1”，则第三项为

21；将21描述为“1个2,1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1,1个2,2个1"，则第五项为

111221,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则

对于外观数列｛q,｝,下列说法正确的有.

①若4=3,则从小开始出现数字2；

②若q=k（k=l,2,3,9）,则％（"∈N'）的最后一个数字均为公

③｛4｝不可能为等差数列或等比数列；

④若q=123,则%（，?eN*）均不包含数字4.

31.（2023秋・内蒙古阿拉善盟•高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列｛q｝的前〃项和为S,,,对任意"GN”

都有4,+c*=fC为常数），则称该数列为“f数列”，若数列｛α,,｝为“2数列"，且4=-1,则Szim=.

n

32.（2023秋・宁夏吴忠♦高二吴忠中学校考期末）定义〃个正数月必，…,P”的"均倒数''为-------------，若

P,+P1+-+pn

各项均为正数的数列｛4｝的前n项的“均倒数”为不二，则¾oi3的值为

33.（2023秋•安徽淮北•高二淮北一中校考期末）对给定的数列｛%｝（《产0）,记瓦=誓，则称数列也｝为

n

数列｛《,｝的一阶商数列；记％=?",则称数列｛g｝为数列｛为｝的二阶商数列；以此类推，可得数列｛4｝的

P阶商数歹MPeN•）,已知数列｛叫的二阶商数列的各项均为e,且4=1,%=1,贝Ij"=.

34.（2022秋.上海.高二期中）定义:对于任意数列假如存在一个常数”使得对任意的正整数〃都有",,<4,

且㈣％=α,则称α为数列｛%｝的“上渐近值”•已知数列｛4｝有4=。，生=P（。为常数,且〃>°）,它的前“

L

项和为S（I,并且满足S,,=返二51,令分=+也+削,记数列｛四+P,++pn-2n｝的“上渐近值”为八则

2oM+!4+2

1004g/七必

cos——的值为

K

35.（2023∙高二课时练习）定义：各项均不为零的数列｛4｝中，所有满足4∙4u<0的正整数i的个数称为这

z4

个数列｛4｝的变号数.己知数列｛〃｝的前”项和S,,=∕-6"+α(M∈N∙,a≠5∖令a“=l-丁("eN,),

若数列｛%｝的变号数为2,则实数“的取值范围是.

36.(2023春•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习)已知数列｛4｝满足4=[og(〃+[)“>2代"，

定义使4∙%∙4%TeM)为整数的％叫做“幸福数”，则区间[1,2022]内所有“幸福数”的和为.

37.(2022春•高二单元测试)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的

之和，构造一个新的数列，现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,

11，5,依此类推，第〃次得到数列1,4，反，…，5.记第〃次得到的数列的各项之和为s“，则｛S,,｝

的通项公式S,,=.

38.(2022.黑龙江绥化.绥化市第一中学校考模拟预测)定义:若有穷数列4,出，…eN*),满足4=%,

%=%，…，Cin=a,,即a,=4”(i∙∈N∖且l≤i≤"),则称该数列为“对称数列若数列出｝是项数

为2%-I(AeN*)的对称数列，且“，鼠，…,砥T构成首项为30,公差为-2的等差数列，记数列也｝的

前2Z-1项的和为邑1,则S”T取得最大值时Z的值为.

39.(2020秋•陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和

为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列｛4｝是等和数列，且

4=-2,⅛=8,则这个数列的前2020项的和为.

40.(2020秋•陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积

为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列｛4｝是等积数列，且

4=-2,公积为5,那么这个数列的前2020项的和为一.

四、解答题

41.(2023秋•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期末)设数列｛《,｝的前N项和为S”.若

J≤也≤2(〃eN,〃≥1),贝IJ称｛q｝是“紧密数列”.

QOQl

(1)已知数列｛凡是“紧密数列”，其前5项依次为1,WX,3，求X的取值范围；

2416

(2)若数列｛4｝的前n项和为S„=l(n2+3n),判断｛4,,｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

(3)设数列依｝是公比为9的等比数歹山若数列｛%｝与｛S,,｝都是“紧密数列”，求4的取值范围.

42.(2023•全国•高三专题练习)对于给定的正整数A,若数列｛q｝满足:

a+a++a+a

n-kn-k+∖+∙∙∙+¾-∣¾+∣+∙∙∙,,+k-∖n+k=2ka”,对任意正整数〃(〃>左)总成立，则称数列｛4｝是“P(k)

数列”.若数列｛〃〃｝既是“尸(2)数列“，又是“P(3)数列”，证明：｛4｝是等差数列.

43.(2023春・安徽淮北•高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)如果一个数列的各项都是实数，且

从第2项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列

的公方差.

⑴设数列｛q,｝(a,,>0)是公方差为p(p>0)的等方差数列，且4=1,求数列｛叫的通项公式；

(2)若数列｛〃“｝既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列｛《,｝为常数列.

44.(2022春•上海黄浦♦高三校考阶段练习)对于给定数列｛g｝,如果存在实常数。、夕使得%+∣=pq,+q对

于任意〃eN*都成立，我们称数列｛cn｝是“M类数列”.

⑴若。=2”,hn=3-T,"∈N*,数列&｝、血｝是否为““类数列”?

(2)若数列｛q,｝是“M类数列”，求证:数列｛%+%+J也是“M类数列”；

(3)若数列｛q』满足4=2,4,+4M=3f∙2"("∈N*),，为常数.求数列｛4,,｝前2022项的和.

45.(2023•高二课时练习)定义：称.+.+0为〃个正数P∣,P2,...,Pn,的“均倒数己知数列｛叫

的前〃项的“均倒数”为丁!，

2/7+1

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设q,=#v，试判断并说明C.一q,(〃为正整数)的符号；

(3)设函数/(x)=-f+4x-U,是否存在最大的实数2,当x≤4时，对于一切的自然数”都有/(x)40.

2n+∖

专题08数列专题(新定义)

一、单选题

1.(2023春•甘肃张掖•高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列｛%｝中，定义：

G,J+2%+3：+…+S为数列｛叫的“匀称值，，已知数列｛4｝的“匀称值”为G,,=〃+2,则该数列中的

4o=()

8c12-9n21

A.-B.—C.—D.—

35410

【答案】D

【分析】确定="("+2)=4+羽+3%+…+”,取〃=10和〃=9带入式子，相减得到答案.

【详解】G,=&+生.+阳£+二.+“%=”+2,即〃G,="("+2)=q+%+3%+∙→%,

n~

故q+2Λ,+3q+…+IOo10=IoX(IO+2)；α∣+2d,+34+…+9%=9x(9+2)；

21

两式相减得1。4。=21,所以/噎.

故选：D

2.(2023春・浙江•高三开学考试)对任意正整数对(〃,幻，定义函数/(〃,Q如下：F(Lj)=1,

(i+↑)f(i+↑,j)=(j-i)f(i,j),i≤j,则()

A./(7+l√)=IB./(Z,j)=2C;'

C.∑[r∙∕(∕,7)]=7∙(2y-l)D.∑∑[j√(U∙)]=2π+∕ι-2

i=lJ=Ii=l

【答案】C

【分析】根据新定义得噜乎=令，=/即可判断A,根据

f(ι,j)/+1

需W=V'*4=.'嘿总=与’累乘可判断B,利用二项式定理求得

f(l∕)2/(2,7)3/(3√)4

C>C>+C>2--1,结合£[六•",/)]==一1)判断C,∑∑[j∙√(∕.j)]=∑(27-l),结

/=I/=I√=1/=1J=I

合等比数列的前〃项和公式判断D.

【详解】(Z+l)∕(Z+l,∙)=(7-z∙)∕(∕∙,∙),Λ夕V)=G,

77

J∖l9J)lɪɪ

令i=J,则/”？)=0,.∙.∕(7÷1J)=O,A错误；

/(√√)

fQ、j)j-lf(3,j)j-2f(4,j)j-3f(i,j)j-i+∖

/(1,力一2'f(2,j)~31(3,力一4'•'/(l,j)一/'

(

累乘得：船JfMT：)(…DJC

/(1,7)2×3×4×5××ιj

/(I,J)=1,.∙./(/；7•)=⅛.,(Z≤J),令j=l,则B错误；

J

因为(ι+ι)"=CJ+C,+C++c;,所以c：+c：++c"n=2"-∖,

2i7

∑[J√G,7)]=J∑Cj=√(2-l),则C正确;

r=IZ=I

∑∑[j∙∕0√')]=∑(2y-l)=ʒʃ—〃=2^t1-n-2,则D错误.

j=∖/=Ij=ι1-2

故选：C.

3.(2023春•安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)定义:对于数列｛a,,｝,如果存在一个常数T(TeN*),

使得对任意的正整数“≥时恒有α,,+τ=%,则称数列｛%｝是从第"。项起的周期为T的周期数列.已知周期数

列｛2｝满足：4=1,b2=3,⅛=/>„_,~hn_2(n≥3),则4023=()

A.-1B.-3C.-2D.1

【答案】D

【分析】写出周期数列也,｝的前几项，发现周期为6,进而求得打⑵的值.

【详解】写出周期数列色｝的前几项：

1,312,—1,—3，—2,I»3,2,—1,—3,—2，I,,

发现周期数列他,｝是周期为6的周期数列,

∙'∙%23=¾37x6+I=4=1.

故选：D.

c

4.（2023秋•福建南平•高二统考期末）若数列｛。“｝的前〃项和为5“，则称数列｛%｝是数列｛4｝的“均

]

值数列”.已知数列｛〃｝是数列｛q｝的“均值数列”且勿=n设数列■的前n项和为I，若

7¾+∖∕¾Σ

；（£—"?+括-3）<Z,对”wN*恒成立，则实数，”的取值范围为（）

A.[-1,2]B.（-1,2）

C.（-co,-1）u（2,+8）D.（-00,-l]u[2,+∞）

【答案】B

【分析】由新定义求得S,,,然后由∕=S,,-S,ι求得/，从而可求得7；（裂项相消法）后得。的最小值，解

相应不等式可得结论.

【详解】由题意区=",即S,,=/,

n

22

.∙.〃≥2时，an=Sn-S,,-1=n-（n-1）=2n-∖,

又4=§=1,4∈N*时,时=2n-l,

11+

a

∖∕¾^+∖∣ll+∖∖∣2n-∖+>j2n+∖2

T√3-l√5-√3√2n+l-√2n-l√2M+1-1

=----h----++----------=------，

n2222

易知｛而?7｝是递增数列,.∙.｛而?T｝的最小值是存1（〃=1时取得），

由题意!（"/一"'+代一3）<叵口，解得一l<〃z<2.

22

故选:B.

5.（2023秋•山西长治•高三校联考阶段练习）对于一个〃项数列

A-.al,a2,,an,Sk=ai+a2++ak（∖<k<n,keN^,记A的“CeSaw平均值”为'（S∣+S?++Sj,若数列

q,%,,ακno的“Cesar。平均值”为2022,数列x,q,/,,。皿。的“Cesar。平均值”为2046,贝（∣x=（）

A.24B.26C.1036D.1541

【答案】B

【分析】先求出$+$2++5血。的值，再根据CeSaW平均值的求法列出等式，即可求出X的值.

【详解】因为数列4，%，，4。H）的“Cesar。平均值“为$=2022,

所以S∣+S2++Sl0l0=2022×1010.

因为x,4,%,,amoCesaro平均值”为上色⑶t坪霜二⅛1⅛l=2046，

所以———------=2046,所以x+2020=2046,解得χ=26,

故选:B.

6.（2023春♦湖北咸宁•高二校考开学考试）等比数列｛叫中4=512,公比q=_g,用口“=卬。••…凡表示

它的前"项之积，则以，∏2,...,nf,中最大的是（〉

A.∏l,B.∏l0C.∏9D.∏κ

【答案】C

【分析】根据题意分析4,,n”的符号，结合前”项之积的性质运算求解.

【详解】VΛl>0,⅞=-l<0,则当〃为奇数时，απ>0.当〃为偶数时，¾<0,

.∙.当”=4左一3（&eN*）或〃=4MZeN*）时，∏,,>0,

当"=44-2,eN*）或鼠=4Z-1（%∈N*）时，∏,,<0,

由题意可得：％=512（-；］，令同=512（；］≥1,解得"≤10,

若∏“取到最大,则&=3,〃=9,即｛∏,｝中最大的是∏9∙

故选：C.

7.（2022秋♦北京•高二北京二中校考期末）如果数列｛α,,｝满足署-竽=Z（A为常数），那么数列｛《,｝叫做

等比差数列，上叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是（）

①若数列｛《,｝满足TL=2〃，则该数列是等比差数列；

②数列｛"•2"｝是等比差数列：

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【答案】B

【分析】根据比等差数列的定义--NlL=A（%为常数），逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到

a

¾+ι,,

答案.

【详解】①数列｛4｝满足也=2"，则--W=N"+］）-2”=2,

a

n¾+l

满足等比差数列的定义，故①正确；

②数列｛"∙2"｝,

2

⅜÷2⅛-ω+2)∙r÷(n÷l)∙2-'

/M¾5+l)∙2向“∙2"

_/I∙(n÷2)-2-(n+1)2-2_2

1/4、—/Λ∖，

H∙(H÷1)/?•(/?+1)

不满足等比差数列的定义，故②错误；

③设等比数列的公比为q,则--驮=q-q=O,

⅛÷ι%

满足等比差数列，故③正确；

④设等差数列的公差为d,

则⅞÷2⅞÷l4+2._a,,+d=-/,

`«„+i«„a“+danan(an+d)'

故当d=o时，--=θ,故存在等差数列是等比差数列，即④正确；

⅛÷lan

故答案为：①③④

故选：B.

8.(2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习)定义在(y,0)U(0,+∞)上的函数”x),如果对于任意给定

的等比数列｛4｝，｛./'(q)｝仍是等比数列，则称/(x)为“保等比数列函数现有定义在(e,0)U(0,4W)上

的如下函数：①.Ax)=/；②/(x)=2';③Ax)=：；④/(x)=In国，其中是“保等比数列函数”的序号为

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根据新定义，结合等比数列性质%%+2=。3,一一加以判断，即可得到结论.通过积的乘方，即

可判断①；通过指数的累的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断

④.

【详解】设｛q,｝是等比数列，由等比数列性质知α,4+2=",",

对于①，〃卬)〃%)=◎3=(。3)2=尸(%)，叫/(%)｝仍是等比数列，故正确；

u+u2a2

对于②，/(¾)∕(¾+2)=乎2"=2"-≠2-'=f(¾t,),

即｛/(q)｝不是等比数列,故不正确；

对于③，/(%)/(。〃+2)=-L一=k=∕2(%+J,即｛〃q)｝是等比数列，故正确；

%+24?+1

对于④，/(%)〃%+2)=In∣¾∣ln∣¾+2∣≠(lnIqM))/(。向)，

即｛∕(q)｝不是等比数列，故不正确；

故选：C.

12

9.(2023秋・吉林・高二吉林一中校考期末)若数列｛q｝满足^--=0,则称｛%｝为“必会数列”，已知正

项数列｛叫为“必会数列”，若4+%=3,则々+%=().

1

BC6a2

A.9-

【答案】D

【分析】根据数列新定义可得数列｛/｝是以4=；为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答

案.

121

【详解】由题意数列｛4｝满足-------=0，可得。向=

an+∖an2

故正项数列｛%｝是以q=g为公比的等比数列，

则/+%=<∕2(¾+¾)=~(¾÷¾)=3^∙,∙生+%=12,

故选：D

10.(2022秋.陕西渭南•高二统考期末)设｛为｝是无穷数列，若存在正整数3使得对任意的〃eN,,均有

Ck>%,则称｛%｝是间隔递增数列，及是｛q｝的间隔数.若也,｝是间隔递增数列，则数列也｝的通项不可熊

是()

9

A.b=2n--B.⅛=3π+l

lln

1”

cbidz

∙'∙=~^∙bt,=-n(-2)

【答案】D

【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.

99

【详解】对于A：⅛÷*-⅛=2(n+Λ)-^r^-2n+-,

9

化简得：b-b=k2+——>0,

n+knn[n+k)

存在正整数3使得对任意的〃eN*,d+*-2>0恒成立，

所以低｝是间隔递增数列；

对于B：bn+k-bn=3""+1—3"—1=(3J1)3",

因为左为正整数且〃eN,,所以(3*-1)3">0,

所以如£-a>0,所以也｝是间隔递增数列；

对于c：**一2=1一表一1+摄$(1-£|，

因为/为正整数且〃eN∙,所以《H>°，

所以bi-",>0,所以也｝是间隔递增数列；

+i

对于D：bn+k-bll=-(n+k)(-2)"+n(-2)"

=(-2),1[n-(π+⅛)(-2)i],

当Ie正奇数,"∈N*时，n-(n+⅛)(-2)*>0,

(-2)"的正负由”的奇偶性决定，此时心「4>0不恒成立，

不符合间隔递增数列的定义：

当&∈正偶数，"∈N*时，n-(n+λ)(-2)i<0,

(-2)"的正负由n的奇偶性决定，此时bιl+k-hι,>O不恒成立，

不符合间隔递增数列的定义；

故选：D.

11.(2023,全国♦高三专题练习)对于数列｛可｝,若存在正整数上(%N2),使得4<4τ,ak<ak^,则称应是

Q

数列｛4｝的“谷值”，A是数列｛4｝的“谷值点在数列｛叫中，若为="+力-8,则数列｛”,,｝的“谷值点，，为

()

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

【分析】先求出4=2,¾=|,a3=2fɑ4=,%=[，&=g,%=g,¾=|,再得到八≥7,τz∈N,

9

n+-8>0,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解.

n

9

【详解】因为q=〃+——8,

n

376129

所以q=2,¾=-,%=2,a

4456278

999

当κ≥7,"∈N,n+——8>0,所以=〃+—―8=〃+-—8,

nnn

Q

因为函数y=χ+2-8在［7,÷∞)上单调递增，

Q

所以〃27时，数列--8为单调递增数列,

所以〃2<q,。2<〃3，%<〃6，%<〃8,

所以数列｛%｝的“谷值点''为2,7.

故选：C.

12.(2023•全国•高二专题练习)若数列｛4｝满足。向=2对-1,则称｛%｝为“对奇数列”.已知正项数列也,+1｝

为''对奇数列"，且4=2,则〃,=()

A.2×3,,^'