3.2.1函数的单调性讲义-高一上学期数学人教A版

暑假新高一数学函数单调性与最大（小）值一、知识要点：(一)函数单调性的定义：1．如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数2．证明函数是单调函数的一般步骤：（1）在给定的区间内任取两个自变量的值x1，x2，时规定x1＜x2；（2）判定f（x1）－f（x2）的符号在给定的区间内是否不变，并由此得出f（x1）与f（x2）的大小关系；（3）得出f（x）在给定的区间上为单调函数．3．关于函数单调区间问题：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，有些函数在整个定义域内具有单调性．（2）有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间．（3）函数的单调区间是不能求并集的，即使单调性相同的区间也如此．例如，函数f（x）＝在区间（－∞，0，（0，＋∞上都是减函数，但不能说在集合（－∞，0∪（0，＋∞是减函数．（4）对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以．(二)函数最大（小）值的概念：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①对任意的，都有；②存在，使得.则称M是函数的最大（小）值.二、经典例题：类型一、通过图像研究单调性引入：列举初中学过的熟悉的函数，画出图像，并观察图像中y随着x增大时的变化规律。（1）（2）（3）（4）（5）总结：如果对于属于定义域I内某个区间y随着x增大而增大那么就说f（x）在这个区间上是增函数．y随着x增大而减少那么就说f（x）在这个区间上是减函数例1.（1）函数在区间(0，1)上是（）A．递增函数B．递减函数C．先递增再递减D．先递减再递增（2）若函数在上为增函数,则（）A．B．C．D．（3）如果函数在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）（A）a≥－3 （B）a≤－3 （C）a≤5 （D）a≥3（4）下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是（）A．B．C．D．（5）（多选题）下列函数中，满足对任意，，的是（）A． B．C． D．例2．（1）函数和的递增区间依次是（）A．B．C．D．（2）右图为的图象，则它的单调递减区间是__________________．（3）函数的单调递减区间是_________（4）（多选题）函数的定义域为，对任意的，都满足，下列结论正确的是（）A．函数在上是单调递减函数 B．C．的解为 D．类型二、利用定义研究单调性例3.求证：函数在上递减，在上递增。例4.判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果，函数是增函数还是减函数？类型三、复合（组合）函数的单调性例5.求下列函数的单调区间：（1）函数的单调递增区间为(2)函数的增区间是的增区间是类型四、已知含参的函数的单调性，求参数的范围例6.函数在上递减，则的取值范围是．例7.若在区间上是增函数，求的取值范围．题型五：函数单调性应用（最值、解不等式）例8.(1)函数()(A)有最大值(B)有最小值(C)有最小值(D)有最大值（2）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．（3）（多选题）已知函数（），，（），则下列结论正确的是（）A．，恒成立，则实数的取值范围是B．，恒成立，则实数的取值范围是C．，，则实数的取值范围是D．，，(4)已知函数在定义域上增函数,若,求的取值范围(5)已知，设，比较与的