2022-2023上海格致中学高三年级下册开学考数学试卷及答案

格致中学2022学年第二学期高三年级数学开学考

2023.2

一、填空题（本大题共有12题，满分54分。其中第1〜6题每题满分4分，第7〜12题每

题满分5分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1.若。=log43,则2"+2一"=____.

2.在（d+g）的展开式中常数项为（用数字作答）.

3.已知等差数列｛%｝前15项的和$=30,则%+%+%5=____.

4.若复数z=2卫（i为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范

l+2i

围为.

5.设/〃，〃是两个单位向量，向量。=机-2〃，且4=（2,1）,则取，〃的夹角为.

6.已知抛物线上的两个不同的点/、8的横坐标恰好是方程V+6x+4=0的根，

则直线的方程为______.

7.下列命题中错误的有.

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②在一组样本数据（为，y,）,（如必）…，（4，%,）（〃》2,为，x2,—,招不全相等）的

散点图中，若所有样本点5,%）（片1.2,…，n）都在直线y=—；x+l上，则这组样

本数据的线性相关系数为-,；

2

③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01

的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病.

8.设函数片/'（X）在（0,+8）内可导，且/（/）=》+/,则/'（1）=.

9.从1,2,3,…，15中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数,

则甲取到的数大于乙取到的数的概率为.

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10.在△/比■中，角/、B、C的对边分别是a、b、c,sinC+cosC=1-sin—.若

2

a2+b2=4(a+b)-S,则边c的值为.

11.正三棱柱NBC—481G中，所有棱长均为2,点£、尸分别为棱8片、4G的中点，

若过点4、E、尸作一截面，则截面的周长为.

12.已知函数歹=.f（x）=aYx-l+，-lnx-l,若关于x的方程f（x）=0在［e,e］上有

解；则/+〃的最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每

题满分5分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小

方格涂黑.

13.已知实数a、b,那么k+4=|4一例是仍＜0的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

14.设X〜Y〜N.2，吟,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论

B.

C.对任意正数t,P(X<t)>P(Y<t)D.对任意正数3P(X>t)>P(Y>t)

X—1

15.当xwR时，不等式一4疗一1恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.a=也B.a=2C.a>2D.*一'Wa£战

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为正整数）

16.数列｛a“｝中，%=1,an+l，使4<2021对任意的〃W%

不为正整数

（左为正整数）恒成立的最大左慎为（）

A.1209B.1211C.1213D.1215

三、解答题（本大题共有5题，满分78分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤。

17.（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

在三棱锥力一88中，AB=AD=BD=2,BC=DC=插,AC=2.

（1）求证：BDVAC-.

3

（2）若尸为〃■上一点，且/P=—NC,求直线8。与平面/磔

4

所成角的正弦值.

18.在△4SC中，a、氏。分别是内角/、6、。的对边，应=（2Q+C,3）,ri=（cos5,cosC）,

m-n=0.

（1）求角8的大小：

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(2)设^=/(x)=2cosxsinx+--2sin2xsin5+2sinxcosxcos(A-^-C),

rr27r

当xe时，求：y=f（x）的最小值及对应的x的值.

63

19.（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）

某市市区内的46两超市同时开业，第一年的全年销售额都为0万元。由于经营方式不同,

4超市第〃年的销售额比前一年销售额多p万元；6超市前〃年的总销售额为

一〃+2）万元.

（1）求两超市第〃年销售额的表达式；

（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市

收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年.

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20.（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题的8分）

已知椭圆G:+/=1（〃>1）的左、右焦点分别为［、乙、4、8分别为椭圆G的上、

下顶点，B到直线工大的距离为

（1）求椭圆G的方程;

（2）已知点”为抛物线C2：V=2px（p>0）上一点，直线居M与椭圆G的一个交点N

在y轴左侧，满足丽=2可7,求p的最大值；

（3）直线x=x0与椭圆C,交于不同的两点C、D,直线4C、4。分别交X轴于A0两点.问:

7T

y轴上是否存在点R,使得N。火尸+/。尺。=彳？若存在，求出点及坐标；若不存在，

请说明理由.

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21.(本题满分18分，第(1)题4分，第(2)匙6分，第(3)题的8分)

已知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,beR)在区间D上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求/?(x)的表达式：

(2)若/(x)=--x+1,g(x)=%lnx,h(x)=kx-k,£>=(0,+oo),求左的取值范围;

(3)若/(x)=/—2/,g(x)=4，—8,/2(X)=4(/3-/)X-3/4+2/2(0<|/|<V2),

D=[m,»]<z[-V2,V2],求证：n-m<-Jl.

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参考答案

一、填空题

,473

1.-------2.45；3.64.(-4,1)；5.90；6.3x+y+2=0

3

910.1+V7；11.275+^^

7.①②④8.2；9.—；12.-

143e

二、选择题

13.D;14.C;15.B15.B

三、解答题

473

17.(1)证明略；(2)，一

7

7

18.(1)—；(2)当工二五乃时，/(x)有最小值为2

p,〃二l

19.(1)A：B:

(〃一>2

(2)第七年A超市的年销售额不足B超市的一半，A超市将被B超市收购

20.(1)—+/=]；(2)---；(3)存在，且R(0,±2)

236

21.已知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与力(x)=Ax+b/,beR)在区间。上恒有

/(x)>h(x)>g(x).

2

(1)若f(x)=工2+2]，g(x)=-x+2x,D=(-oo9+oo),求方(x)的表达式：

(2)若/(x)=--x+i,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,。=(0,+8),求左的取值范围;

(3)若/(x)=/—2/,g(x)=4，_8,h(x)=4(r3-r)x-3?+2z2(0<|/|<72),

D=[m,n]CL[-V2,V2