专题03立体几何大题 备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题03立体几何大题1.

空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2.

空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3.

异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）4.

直线与平面所成角，(为平面的法向量).5.

二面角的平面角（，为平面，的法向量）.6.

点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.一、解答题（22·23下·湖南·二模）1．如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，．

(1)求的长度；(2)求平面与平面夹角的余弦值．（22·23下·绍兴·二模）2．如图，在多面体中，平面为正三角形，为等腰Rt.(1)求证：；(2)若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值.（22·23·张家口·三模）3．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.（22·23·湛江·二模）4．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．

(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．（22·23下·长沙·三模）5．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.

(1)若平面，求；(2)若是的中点，求二面角的正弦值.（22·23下·湖北·二模）6．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.（22·23·深圳·二模）7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.（22·23下·温州·二模）8．已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正弦值．（22·23下·浙江·二模）9．如图，四面体中，，，，，，为上的点，且，与平面所成角为．(1)求三棱锥的体积；(2)求平面与平面夹角的余弦值．（22·23下·襄阳·三模）10．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.（22·23·唐山·二模）11．如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点．

(1)证明：．(2)求二面角的正弦值．（22·23下·盐城·三模）12．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.（22·23下·江苏·三模）13．如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.

(1)当时，证明：平面；(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.（22·23下·镇江·三模）14．如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.（22·23下·江苏·一模）15．在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.（22·23下·河北·三模）16．如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．

(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标．（22·23·汕头·三模）17．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.

(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.（19·20下·临沂·二模）18．如图①，在中，B为直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF将折起，使，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．

(1)求证：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．（22·23下·广州·三模）19．如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.（22·23下·长沙·一模）20．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．

(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离．（22·23下·长沙·三模）21．如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且∥平面.(1)求三棱锥的体积；(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.（22·23·衡水·一模）22．如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.(1)若直线平面，求证：平面；(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.（22·23下·湖北·三模）23．已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．（22·23下·武汉·三模）24．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：平面平面PBC；(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.（22·23下·黄冈·三模）25．如图1，在四边形中，，．将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体．

(1)若为的中点，证明：平面；(2)若为上一动点，且二面角的余弦值为，求的值．（22·23·德州·三模）26．图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值．（22·23·山东·二模）27．如图，在四棱锥中，平面，，，，．

(1)证明：；(2)若为线段的靠近点的四等分点，判断直线与平面是否相交？如果相交，求出到交点的距离，如果不相交，说明理由．（22·23·黄山·三模）28．如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．（22·23·菏泽·三模）29．已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．

(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．（22·23·福州·三模）30．如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.

(1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.（22·23·福州·二模）31．如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.

(1)当时，证明：平面平面；(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.（22·23·三明·三模）32．如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.

(1)当时，证明并求四棱锥的体积；(2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值.（22·23·宁德·一模）33．如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．(1)若为的中点，求四棱锥的体积；(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．（22·23·龙岩·二模）34．三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．

(1)求侧棱的长；(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．（22·23下·浙江·二模）35．如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．(1)若点是的重心，证明；点在平面内；(2)求二面角的正弦值．（22·23下·浙江·三模）36．如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.（22·23下·苏州·三模）37．如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.

(1)求二面角的余弦值；(2)在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.（22·23·沧州·三模）38．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.（23·24上·永州·一模）39．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．（22·23·潍坊·三模）40．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)【分析】（1）在中，用余弦定理可得到，在中，用余弦定理可得，即可求得；（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解【详解】（1）因为在直三棱柱中，，在中，由余弦定理得，解得，则，在中，由余弦定理得，解得，又，所以，因为平面，平面，所以，在直角三角形中，；（2）因为，所以，则，则两两互相垂直，以为原点，分别以所在的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系：

则点，则，设平面的法向量为，由，得，令，得平面的一个法向量为；平面的一个法向量为．设平面与平面夹角的大小为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．2．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（2）法一：由分析可知，就是直线与平面所成的线面角，设，当时，与重合，可得两点重合，不符合题意，当时，求出，即可得出答案；法二：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）设为中点，连接，则由为正三角形，得；平面，且为等腰直角三角形，计算可得：.面，于是面，面，从而.（2）法一：由（1）可知，过点作，垂足为，则就是直线与平面所成的线面角.当平面时，可得到平面的距离为.设，所以，可得，当时，，不妨设在底面射影为，则，此时与重合，可得两点重合，不符合题意，舍去；当时，，此时在的延长线上，作，由于为矩形，可得，可得，可得.于是.法二：建立如图坐标系，可得，由，解得，又平面，令，可得，解得.当时重合，所以，此时.不妨设平面的法向量为，则代入得，令，则，所以.由于，不妨设所成角为，则.3．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】（1）如图，连接，交于，连接.因为侧面为菱形，所以，且为的中点.又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因为平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，两两互相垂直，因此以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.故，，.设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.因为平面平面，所以也是平面的一个法向量.所以.所以平面与平面夹角的余弦值.

4．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可．【详解】（1）由题意得，，，因为，则，又，面，所以面，又面，则，又，，平面，平面，所以平面．（2）取的中点，可知，由，且可得，所以四边形是平行四边形，所以，则平面，设，以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，由图可知，二面角为锐角，所以面角的余弦值为．5．(1)(2)【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，依题意可得求出的值，即可得解；（2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）记中点为，连接、，为正三角形，，则，且.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又为正三角形，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，则，设，，则，因为平面，所以，解得，所以为的中点，此时.

（2）若是的中点，则点与点重合，则平面的一个法向量可以为，设二面角为，显然二面角为锐角，则，所以，所以二面角的正弦值为.

6．(1)(2)【分析】（1）作出辅助线，找到符合要求的，并利用垂径定理得到最小值；（2）在第一问基础上，得到当取得最小值时，，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）过点作交于点，过点H作⊥，此时满足平面，由平面几何知识易知，，当弦心距最大时，，弦长最短，即取得最小值，因为，所以，因为，由勾股定理得，故，连接，则，由勾股定理得，所以；（2）连接，则平面ACB，因为平面ACB，故，而，，所以平面，即有.以O为坐标原点，过点且平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面所成角的大小为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.7．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以.因为平面平面，所以平面平面，因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面，所以平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由题意可得两两垂直，设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，

因为点是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则，令可得，所以平面的一个法向量.，设，即，所以.又，所以，化简得，解得或（舍去）.所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.8．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，即可得证；（2）取正三角形的中心，连接，从而可得平面，则即为与平面所成角的平面角，进而可得，取中点为，连接，则，故即为二面角的平面角，解即可得解.【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，因为△是边长为3的正三角形，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取正三角形的中心，连接，则点在上，且，由，△是正三角形，得三棱锥为正三棱锥，则平面，故即为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的余弦值为，所以，即，即三棱锥是正四面体，取中点为，连接，则，故即为二面角的平面角，在中，，则，所以，所以二面角的平面角的正弦值．9．(1)或(2)或【分析】（1）取中点，可证明平面，可推导出是与平面所成的角，即，由正弦定理求得，有两个解，在时可证平面，在时，取中点证明平面，然后由棱锥体积公式计算体积；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）解：（1）取中点，连接、，因为，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以，由已知，，则，，所以，，由平面，平面得平面平面，因此在平面取中点内的射影就是直线，所以是与平面所成的角，即，，因此，在中，由正弦定理得，，为内角，所以或，，因为，则，若，则，即，，、平面，所以平面，；

若，则，，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，而平面，所以平面，，所以.

（2）解：若，以为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以点坐标为，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值是；

若，以为轴，为轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，，，，，，所以点坐标为，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值是．综上所述，平面与平面夹角的余弦值为或.10．(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】（1）如图，∵面，连，则，又，∴，又，面，面，于是面，又面，，所以面面.（2）由(1)可得，以为轴，建系如图，，，则因为,所以,则,因为,所以,设平面的一个法向量为，因为,所以，令，则，所以，设平面的一个法向量为，因为,所以，令，则，所以，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.11．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质、结合面面垂直的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式进行求解即sk.【详解】（1）取的中点，连接，，．在三棱柱中，由，得四边形为菱形，所以，

易知，则．

由是等边三角形，知，又平面平面，平面平面，平面，知平面，则，

又平面，得平面，

又平面，故．

.（2）连接，因为侧面为菱形，，则，则为等边三角形，所以，又由（1）易知，，两两垂直，故以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．不妨设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，所以，即二面角的正弦值为．12．(1)证明见解析(2)【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离.【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，所以，又为弧的中点，则是弧的中点，所以，而由题设知：，则，所以，即，由底面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，则，，，，所以，，，，若是面的一个法向量，则，令，则，若是面的一个法向量，则，令，则，所以，整理可得，则，又，由题设可知，此时点，，，则，，所以点到直线的距离.

.13．(1)证明见解析；(2)点在距离点处【分析】（1）利用勾股定理证明出和，再用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，又底面圆，底面圆，所以，在中，，所以，因为是正三角形，所以，，，所以，，同理可证，又，，平面，所以平面.（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.

设，（），所以，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设直线和平面所成的角为，则，当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，故点在距离点处.14．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）若选①，则作面，证明和重合从而得到面，从而得到面面垂直；若选②，计算得到到面的距离，得到面，从而得到面面垂直；若选③，通过余弦定理计算得到，再通过面，从而得到面面垂直；（2）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角计算公式计算即可；（3）通过点面距离的计算公式直接计算即可.【详解】（1）选①，连接，作面，垂足为.

与平面所成角相等，，在的中垂线上，在平面内，,和重合，面，又面，面面若选②，设到面的距离为，，得，即为到面的距离，即面，又面，面面.若选③，由余弦定理得，，，又面面，又面面面（2）因为面，面，所以，取中点，则，所以，又因为，所以建立如下图所示空间直角坐标系，

，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，由图可知二面角是钝角，所以二面角的大小为.（3），平面的一个法向量为，点到平面的距离.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）作交于点，由面面垂直的性质可得平面，可得，再由线面垂直的判定定理得平面，从而得到，再由线面垂直的判定定理可得答案；（2）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，可得，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为侧面为菱形，，，所以为边长为的等边三角形，作交于点，则点为的中点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，，取做的中点，连接，则，所以平面，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.16．(1)是的中点(2)，【分析】（1）根据面面平行的性质证明，即可得解；（2）先根据球的体积求出，然后根据空间中两点间的距离公式即可得解.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因为是的中点，所以是的中点；（2）由题意，解得，设，由题意，，则，则，则，解得或，当时，，则，当时，，设，则，所以，解得，则，综上所述点的坐标为，.

17．(1)作图见解析，理由见解析(2)【分析】(1)根据线面平行的判定和中位线定理即可求解;(2)根据几何关系或空间向量方法即可求解.【详解】（1）取中点，作直线即为所求，取中点，连接，则有，如图，在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形，

即有，又平面平面，所以平面.（2）法一：延长交于点，故平面平面故平面平面即在中，均为圆锥母线.

过点作于.在等腰梯形中，，此梯形的高等腰梯形的面积为，所以四棱锥的体积，解得，故点与重合，由，得，且，故.中，到距离.则面积,得：的最小值为：.法二：同法一求出的位置.以为原点，方向为轴正向建立空间直角坐标系，设面的法向量为，取，有；同理可得面的法向量为,由面面，可知，设的方向向量为，故取,下面分2个方法求求方法1：，，当时，取最小值为.求方法2：在上的投影向量的模为故的最小值即到的距离为.法三:在三角形中，,,所以.18．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由余弦定理计算证明，再利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理作答.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦作答.【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：，则，有，于是，即有，又平面，因此平面，而平面，则，又因为平面，从而平面，而平面，所以平面平面.（2）以为原点，以分别为轴，过点垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）知，平面，而，则有平面，则，，连接与交于点，连接，因为平面，平面，平面平面，则，有，在四边形中，由，得，即，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，于是，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）连接，分别是线段的中点，，底面四边形为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；设直线与平面所成角为，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距离为，.

20．(1)存在，(2)【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用斜三棱柱的性质求得各点坐标，再利用空间向量的数量积运算即可得解，（2）利用空间向量法的求点面距离公式即可得解.【详解】（1）连接，因为，为的中点，所以，由题意知平面ABC，又，，所以，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，由，得，由，得，设，得，又，，由，即，得，解得，又，所以，故存在点D且满足条件；（2）设平面的法向量为，又，，则有，取，则，又，所以点到平面的距离为，故所求距离为.21．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥的体积；（2）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出所成角为与的正余弦值，即可证明结论.【详解】（1）由题意，∵平面平面，且平面平面，，平面ABC∴平面，∵平面，∴，又，，平面ABC∴平面，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，∴.∴三棱锥底面的面积，高，∴其体积为：.（2）证明：由题意及（1）得，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则.设平面的法向量为，由，取，则，平面的一个法向量为，所以又因为，所以又，所以.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，，结合线面平行和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面，平面，，平面，平面，平面；，四点共面，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，四边形为平行四边形，，则，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，；平面轴，平面平面，平面轴，平面的一个法向量，，即锐二面角的余弦值为.23．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求线面角正弦即得.【详解】（1）连接AC和，由底面是菱形得，由与全等，得为的中点，又平面，平面，平面，

又平面平面平面．（2）以为x轴，以为y轴，以过O与底面垂直的直线为z轴，建立如图空间坐标系，则

过A作底面的垂线，垂足为H，由为正三棱锥知H为的重心，设，由，得，

又取平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则∴直线与平面所成角的正弦值为．24．(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦公式，求余弦值的最大值.【详解】（1）中，E为PB的中点，所以.在正方形ABCD中，.因为平面ABCD，平面ABCD，即.又因为，平面PAB，所以平面PAB.平面PAB，即，又因为，，平面PBC.所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC.（2）因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

有，，，，，PB中点，设，.，，，.设平面PCD的法向量，由，得，取.设平面的法向量，由，得，取.所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为.令，，则，所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值，此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值.25．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取BE中点O，先证CO⊥面ABE，再由CO∥DG，证线面垂直即可；（2）以E为中心建立空间直角坐标系，设F坐标，由空间向量计算二面角求得F的坐标即可得结果.【详解】（1）

如图，取的中点，连接，易得∥．因为∥，故∥，且，所以四边形为平行四边形，则∥．因为面，所以平面．而平面，所以．因为，所以．因为面，所以平面，所以平面．（2）如图，过点作直线∥，则直线面面，又，所以直线两两相互垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，．

设面的一个法向量为，则，令，则，即．设面的一个法向量为，则，令，则，即，由图象可知二面角为锐角，所以，解得或6（舍去），即，所以.26．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于，可证，平面，所以，平面平面；（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出的位置，再用空间向量求平面与所成角的余弦值．【详解】（1）证明：在图1中，连接，交于，

，所以，所以，四边形是菱形，所以，且．在图2中，满足，所以，所以，，又平面，所以，平面，又平面，所以，平面平面；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，所以，设平面的法向量为，则即，取，得，设，在线段上存在点使得与平面的正弦值为，所以解得或（舍），所以，设平面的法向量为，则即，取，得，设平面与平面的平面角为，所以，平面与所成角的余弦值为27．(1)证明见解析(2)相交，【分析】（1）依题意可得，，利用余弦定理求出，即可得到，在由线面垂直得到，即可得到平面，从而得证；（2）过点作直线，连接并延长交于点，即可证明点为直线与平面的交点，再利用三角形相似求出.【详解】（1）连接，因为，，，，所以为等腰直角三角形，∴，，∵在中，由余弦定理得，即，所以，∴，∴.又平面，平面，∴.又平面，∴平面，∵平面，∴.（2）过点作直线，连接并延长交于点，因为，且，所以，所以、、、四点共面，所以点平面，所以点为直线与平面的交点，易知，为线段的靠近点的四等分点，所以，所以.

28．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面；（2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：因为四边形为平行四边形，所以是中点，又点为线段的中点，则，且,又且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；

（2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面⊥平面，，可知，均为边长为2的正三角形，则有，设，则，为平面的法向量，所以，解得（其中舍去）,所以，设平面的法向量为，则有，令，则，故可取．设平面的法向量为，则有，令，则，故可取所以．所以二面角的正弦值为．即二面角的正弦值为.29．(1)证明见解析(2)存在，点是线段上靠近的三等分点【分析】（1）根据与底面所成角的余弦值为，推出是边长为的等边三角形，取的中点，的中点，连，再以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系：利用两个平面的法向量垂直可证两个平面垂直；（2）根据二面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）取的中点，连，因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为与底面所成角的余弦值为，所以与底面所成角的余弦值为，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以是与底面所成角，所以，所以，所以，又，所以是边长为的等边三角形，取的中点，的中点，连，则，，平面，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系：则，，，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，得，令，得，，，令，得，，，因为，所以，所以平面平面.（2）设，则，设平面的一个法向量为，则，若，则有，则，取，则，此时，不合题意；所以，令，得，，则，所以，整理得，解得.所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，点是线段上靠近的三等分点.

30．(1)当时，该组合体的体积最大，最大值为；(2)直线与平面所成角的正弦值为或【分析】（1）根据三角形面积公式与扇形面积公式确定底面积的最大值，即可求组合体的体积最大值；（2）建立空间直角坐标系，设，则，，，利用空间向量的坐标运算即可求得满足平面时，从而可计算直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）底面，面，所以则由旋转可得所以底面积，又，故当时，取最大值，则底面积的最大值为，故几何体体积为，故当时，该组合体的体积最大，最大值为；（2）如图，以为原点，为轴，为轴，在平面上作轴，建立空间直角坐标系

则，设，则，，，所以，设平面的法向量为，又所以，令，则，即因为平面，所以，则，所以或，因为，设平面的法向量为，①当，则，，所以，，则，取，则所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；②当，则，，所以，，则，取，则所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；综上，直线与平面所成角的正弦值为或.31．(1)证明见解析(2)存在，点为中点【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）由已知，有，且，平面，所以平面，因为平面，所以.在Rt中，，所以.因为，所以.且，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）由（1），所以为二面角的平面角，，因为为的中点，所以，，，，，如图，以为坐标原点，分别以为轴､轴正方向建立空间直角坐标系.

则.设，则,.设平面的一个法向量，由，得，令，则，所以.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍）.因此，当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为.32．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）首先取取的中点，连结，，由条件可先证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判断定理，以及勾股定理证明平面，最后根据锥体的体积公式，即可求解；（2）以点为原点，根据（1）中的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式，求二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取的中点，连结，，

因为为等边三角形，且，则，.因为，，，，所以，，那么，则也是等边三角形，所以，.因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，所以，因为，，平面，所以平面.所以.（2）由（1）知平面，以､所在直线分别为轴､轴，在平面内过作的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，在中，因为，所以，由则，过点作直线的垂线，垂足为，则，所以，，所以设，因为，所以，所以，，，即所以，，设平面的法向量为，则，不妨令，则，，所以不妨设平面的法向量为，设平面与平面的夹角为则，所以平面与平面夹角的余弦值是.33．(1)(2)存在，的值为【分析】（1）首先求出，及的长度，再证明平面，最后根据锥体的体积公式计算可得．（2）建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解.【详解】（1）由图①知，，所以，在中，因为，，可得，，所以．由图②知，平面平面，平面，平面平面，因为，所以平面，因为为的中点，所以．（2）由（1）知，，三者两两垂直，以点为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，，设，，，即，所以，设平面的法向量为，所以，则，令，得，设平面的法向量为，所以，解得或（舍去），所以此时的值为.34．(1)(2)【分析】（1）证明平面，结合题目条件，先计算出的值，然后即可以求得侧棱的长；（2）建立空间直角坐标系，设未知数，结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】（1）在平面内过作，垂足为，因为侧面为矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，易得，面，平面平面，所以平面，因为，所以，因为，，所以；（2）存在点满足题意，，理由如下：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，设，则，故，，设平面的法向量为则即，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，解得，故存在点E满足题意，所以.35．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取A中点N，连接，MN，由点G是的重心，得出，再证明四边形是平行四边形，即可证明点在平面内；（2）解法1：由⊥平面，，得出平行四边形为矩形，得出，再由点是的中点得出，证明出平面，得出，即可得出就是所求二面角的平面角，求出的正弦值即可得出答案；解法2：建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，求出两平面夹角的余弦，再求出正弦即可．【详解】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，因为点G是的重心，故G一定在中线上，因为点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，所以，且，又，所以，所以四边形是平行四边形，因为点，平面，所以点平面，即点在平面内．（2）解法1：因为⊥平面，，所以⊥平面，又因为平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，所以，因为为等边三角形，点是中点，所以，所以，又因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以，所以就是所求二面角的平面角，因为，所以，故二面角的正弦值为．解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面与平面的法向量分别为，则，不妨取.则，，不妨取，所以，故二面角的正弦值为．36．(1)存在，(2)【分析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，由此可得出结论；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，求出的值，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，则，又因为，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面，