随机变量及其分布第3节随机变量的分布函数

随机变量及其分布第3节随机变量的分布函数REPORTING目录随机变量的分布函数定义常见的分布函数分布函数的计算方法分布函数的应用PART01随机变量的分布函数定义REPORTINGWENKUDESIGN分布函数是描述随机变量取值概率的函数，其定义域为全体实数，值域为[0,1]。对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量取值小于或等于x的概率。对于离散型随机变量，分布函数是其概率质量函数的积分；对于连续型随机变量，分布函数是其概率密度函数的积分。010203分布函数的定义010203分布函数具有非负性，即对于任意实数x，有F(x)>=0。分布函数具有归一性，即F(+∞)=1，F(-∞)=0。分布函数是单调非减的，即对于任意实数x1<x2，有F(x1)<=F(x2)。分布函数的性质离散型随机变量的分布函数对于离散型随机变量X，其分布函数为F(x)=∑P(X=xi)，其中i为所有可能取值的下标。离散型随机变量的分布函数在其取值点上可能存在跳跃，即F(x)在xi处可能不连续。VS对于连续型随机变量X，其分布函数为F(x)=∫(-∞到x)f(t)dt，其中f(t)为X的概率密度函数。连续型随机变量的分布函数是连续的，即在任意点x上，F(x)都存在且连续。连续型随机变量的分布函数PART02常见的分布函数REPORTINGWENKUDESIGN离散型随机变量的常见分布当从有限总体中不放回地抽取n个样本，且总体中包含的某一特定类别的个体数为m，则从总体中抽取的样本中属于该类别的个体数服从超几何分布。超几何分布当一个随机试验只有两种可能结果，且重复独立进行n次，则成功次数服从参数为p的二项分布。二项分布当一个随机试验在单位时间内发生的事件数是一个随机变量，且这个随机变量在时间趋于无穷时，其期望值和方差都趋于已知的常数，则这个随机变量服从泊松分布。泊松分布连续型随机变量的常见分布如果一个随机变量的概率密度函数是关于其均值对称的钟形曲线，且具有标准差为σ的高斯函数形式，则该随机变量服从正态分布。指数分布如果一个随机变量的概率密度函数是λe^(-λx)，其中λ>0，则该随机变量服从指数分布。均匀分布如果一个随机变量的概率密度函数是常数f(x)=1/b-a，其中a≤x≤b，则该随机变量服从均匀分布。正态分布PART03分布函数的计算方法REPORTINGWENKUDESIGN计算方法对于离散型随机变量X，其分布函数F(x)可以通过以下公式计算：$F(x)=P(Xleqx)$。举例假设随机变量X的取值为-1、0、1，其分布函数为：$F(x)=0,x<-1$；$F(x)=0.5,-1leqx<0$；$F(x)=1,xgeq0$。定义离散型随机变量的分布函数是累积概率，表示随机变量取值小于或等于某一数值的概率。离散型随机变量的分布函数计算连续型随机变量的分布函数计算计算方法对于连续型随机变量X，其分布函数F(x)可以通过以下公式计算：$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，其中f(t)是随机变量X的概率密度函数。定义连续型随机变量的分布函数是连续累积概率，表示随机变量取值小于或等于某一数值的概率。举例假设随机变量X的概率密度函数为f(x)=2x，其分布函数为：$F(x)=int_{0}^{x}2tdt=t^2|_{0}^{x}=x^2$。PART04分布函数的应用REPORTINGWENKUDESIGN分布函数完整地描述了随机变量的概率特性，包括取值范围、概率密度等。描述随机变量的概率特性通过分布函数，可以计算随机变量取任意值的概率。计算概率多个随机变量的联合概率可以通过它们的联合分布函数来描述。确定联合概率在概率论中的应用数据建模分布函数用于数据建模，帮助我们理解数据的分布特征。假设检验通过比较理论分布和样本数据，进行统计假设检验。参数估计利用样本数据估计分布的参数，如均值、方差等。在统计学中的应用风险评估分布函数用于评估投资或金融活动的风险，如股票价格、收益率等。资产定价