2021年中考数学二轮复习《压轴题》培优练习二(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习二

L如图，抛物线y=axz+—x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C.直线y=--x-2经过点A,C.

22

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.

①当△「你1是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线1,使点M,B,B'到该直线的距离都相

等.当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线1：y=kx+b的解

析式.(k,b可用含m的式子表示)

备用困

2•如图，己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B,与直线AC:y=-x-6交y轴于点C、D,点D是抛物

线的顶点，且横坐标为-2.

(1)求出抛物线的解析式。

(2)判断4ACD的形状，并说明理由.

(3)直线AD交y轴于点F,在线段AD上是否存在一点P，使NADC=/PCF.若存在，直接写出

点P的坐标；若不存在，说明理由。

3•已知抛物线Cjy=ax2+4ax+4a+b(aWO,b>0)的顶点为M,经过原点0且与x轴另一交点为

A.

(1)求点A的坐标；

(2)若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线Q的解析式；

(3)现将抛物线C绕着点P(m,0)旋转180,°后得到抛物线C,若抛物线C的顶点为N,

122

当b=l,且顶点N在抛物线Q上时，求m的值.

4如图，已知抛物线y=-xz+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N.其

顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值；

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF〃BD交

抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若

不能，请说明理由；

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求aAPC的面积的最大值.

5•如图，己知抛物线y=xz+bx+c图象经过点以(T,0),B(0,-3),抛物线与x轴的另一个交点为C.

(1)求这个抛物线的解析式：

(2)若抛物线的对称轴上有一动点D,且△BCD为等腰三角形(CBWCD),试求点D的坐标；

(3)若点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线

于点M,点Q也在直线BC上，且PQ=vi，设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间

的函数关系式.

6,已知抛物线L的解析式为y=ax2-llax+24a(a<0),如图1抛物线L与x轴交于B、C两点(点

B在点C的左侧)，抛物线L上另有一点A在第一象限内，且NBAC=90°.

(1)求点B、点C的坐标；

(2)连接0A,若0A=AC.

①求此时抛物线的解析式；

②如图2,将抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L',点M为抛物线LA、C两点之间一动点，

且点M的横坐标为m,过动点M作x轴的垂线h与抛物线L'交于点M'.设四边形AMCM'

的面积为S.试确定S与m之N的函数关系式，并求出当m为何值时.S有最大值，最大值

为多少？

7.如图，在平面直角坐标系中，0为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐

标为(2,0),BC=6,NBCD=60°,点E是AB上一点，AE=3EB,OP过D,0,C三点，抛物线

y=axz+bx+c过点D,B,C三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：ED是。P的切线；

(3)若将4ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E'会落在抛物线y=ax?+bx+c上吗？请

说明理由；

(4)若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形

为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

各用座

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形0CDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A

在DE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=l交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点，

设运动时间为t秒.

(1)直接写出点A坐标，并求出该抛物线的解析式.

(2)在图1中，若点P在线段0C上从点0向点C以1个单位/秒的速度运动，同时

点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随

之停止运动.当t为何值时，4PCQ为直角三角形？

(3)在图2中，若点P在对称轴上从点B开始向点A以2个单位/秒的速度运动，过点P作PF

±AB,交AC于点F,过点F作FGJ_AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时，△

ACQ的面积最大？最大值是多少？

■IB2

答案解析

9•解:

⑴当炉0时,尸-石x-2=-2,.•.点C的坐标为(0.-2)；

当产0时，与-2=0,解得：x=-4,.•.点A的坐标为(-4,0).

WA(-4»0),C(0»-2)代入y=ax2--x+c,得:

驾2f得:，：.抛物线的解析式为y=jxa+yt-2.

⑵①；PM_Lx轴，:NPMCK90°,.••分两种情况考虑,如图1所示.

(i)当ZMPO90"时，PC//X轴，由P的纵坐标为-2.

廿2时，/-2=-2f解得:Xj=_2<x：=0»

.,.点P的坐标为(-2,-2)；

(ii),1,)ZPCM=900时，设PC与x轴交「点D.

VZOAC-ZOCA^O",ZOCA+ZOCTT9O",/.ZOAC=ZOCD.

ZVZA0C=ZC0D=90c,.,.Z\AOC^ACOD,•,黑=照，即端W

.,.点D的/世标为(1,0).出内战PC的解析式为y=/b(k工0),

:高解得:

将C(0,-2),D(L0)代入厂区+b,徐

，白线PC的解析式为尸2工-2.

联。直线PC和抛物线的解析式成万科组，得:

x-21

2=6

解得：•，点P的坐标为(6,10).

yj=-2'[y2=10

综上所述：当△!>0(是在角一角形时，点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).

②当尸0时,-2=0,解得：匕=-4,x：=2,.,.点B的坐标为(2,0).

:点C的坐标为(0,-2),点B,B,关于点C对称，.♦.点B'的山标为(-2,-4).

,/点P的横坐标为n(m>0ILmHO),二点M的坐标为(m,0).

分.种情况考虑，如图2所示:

二直线PB的解析式为尸:(m+4)x-^^+4)(可利用待定系数求出).

':点B,B'关/点C对称,点B,B',P到直线1的即鬲都相等,

•・超线I过点C,且出线1〃百线PB,二比线I的解析式为0(122.

10•解:

(1)由直线AC：y=-x-6,可得A(-6,0),C(0,-6),

..•抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B,抛物线的顶点D的横坐标为-2,，B(2,0).

把A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c,得

,(1

36a-6b+e=0Q=^：

2i

4a+2b+c=0，解得LT‘・••抛物线的解析式为y4x2+2x-6；

b-N2

c=-6.c

i[c--6

(2)aACD是直角三角形，理由如下：

Vyi+2x-6=-|(x+2)z-8,顶点D的坐标是(-2,-8).

VA(-6,0),C(0,-6),.\AC2=62+62=72,CDZ=2Z+(-8+6)2=8,AD^=(-2+6)2+82=80,

.,.AO+CD2=AD2,.♦.△ACD是直角三角形，ZACD=90°；

(3)假设在线段AD上存在一点P,使NADC=/PCF.

设直线AD的解析式为y=mx+n,

-6nH-n=0fin="2

VA(-6,0),D(-2,-8),.*.<cc，解得《c，

-2nrf-n=-8n=~12

...直线AD的解析式为y=-2x-12,

.••F点坐标为(0,-12),设点P的坐标为(x,-2x-12).

VZADC=ZDCF+ZDFC,ZPCF=ZDCF+ZPCD,ZADC=ZPCF,AZDFC=ZPCD.

ZPCD=ZPFCCPCD

在4CPD与aFPc中,,一，/.a△CPD-AFPC,二皆登

ZCPD=ZFPCFPFC

22

x+(-2x~12+6)8..z

--------------x----==,整理得，35X2+216X+324=0,

x2+⑵)2-6?

解得x--x=-(舍去)，当x=-■^时，-2x-12=-2X(--12=-

1725777

故所求点P的坐标为(-¥，-y).

11•解：

(1).・,抛物线Cjy=ax2+4ax+4a+b(aWO,b>0)经过原点0,0=4a+b,

/.当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0,解得：x=0或-4,

抛物线与x轴另一交点A坐标是(-4,0)；

(2).・,抛物线Cjy=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(aNO,b>0),(如图1)

，顶点M坐标为7-2,b),

•••△AMO为等腰直角三角形，・・・b=2,

;抛物线Cjy=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点，

.*.a(0+2)2+2=0,解得：a=-...抛物线Cjy=--^-x2-2x；

(3)Vb=l,抛物线Cjy=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点，(如图2)

.*.a=/.y=-(x+2)2+1二-±x2-x,

444

设N(n,-1),又因为点P(m,0),An-m=m+2,♦,.n=2ni+2

即点N的坐标是(2m+2,-1),

♦.•顶点N在抛物线C上，，-l=-3(2m+2+2)2+I,

14

12-解:

⑴由抛物线尸-X，bx+c过点A〈-1,0)及C⑶3)得，

-1-b+c=0(k=2

—4+2U.3,解得故抛物线为尸_X：+2X+3~

又设直线为产kx+n过点A(-1,0)C(2,3)得得]及二故AC为尸史+1;

[2k+n=3ln=l

(2)作W点关于直线x=3的对称点1，则V<6,3),由⑴得D(1,4),

故直线期’的国额关系式为尸-0.2x+4.2,

当M(3,n)在直线DN，上时，MN+MD的值最小，则m=-/义3卷=^；

⑶由⑴、(2)得D(1,4),B(1,2)'丁点E在直线AC上，设E(x,x+1),

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，贝帕(X,x+3),

；F在抛物线上，；.K+3=-X：+2X+3,解得，x=O或x=l(舍去)/.E<0,1>;

②当点E在线段M(或CA)延长线上时，点F在点E下方，贝亦(x,x-D

由F在抛物线上Ax-1=-x；+2x+3解得*匕位或x=生，L

.五(1一产WT7)或iWl?3WH)

综上，满足条件的点E为E<0,D、(上坐，呼)或(呼，有亘)；

⑷过点P作FQ_Lx轴交AC于点Q：过点C作CG_]_x轴于点G,如图1+,

设Q(x,x+1),则P(X,-x：+2x+3)；.PQ=(-x：+2x+3)-(x-l)=~x：+s+2

y."S^=SiiM.SiO<;=0.5PQ-AG=0.5(-x'+x+2)X3=-1.5(x-0.5)2卷•1

...面积的晶大值为3.

13.解：

(l)y=x:-2x-3j(2)(-1,而-3),(T,-南7-3),(T,T)j

(3)当0<t<3时，S=-0.5t：+L5t;当t〈O或t>3时，S=O.5ts-l.5t.

■•解：

(1)当y=0时，axa-llax+24a=0,解得xj3,xj8,

而点B在点C的左侧，所以B(3,0),C(8,0)；

(2)①作ADLBC于D,如图1,

:A0=AC,0D=CD=y0C=4,:.BD=0D-0B=4-3=1,

VZBAC=90°,.♦.NABD+NACB=90°,

而NABD+NBAD=90°,AZBAD=ZACB,.\RtAABD^RtACAD,

ABD：AD=AD：CD,即1：AD=AD：4,解得AD=2,AA(4,2),

把A(4,2)代入y=ax2-llax+24a得16a-44a+24a=2,解得a=--^",

•••抛物线解析式为y=-yx2-1-yx-12；

②作AD_LBC于D,如图2,设M(m,--m-12),

•.•抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L',且过点M作x轴的垂线h与抛物线L'交于点M',

点和M'关于x轴对称，邮'交x轴于点E,

.'MM'=2ME=-m2+llm-24,

，S=S+S±CD・MM'(-mHllm-24)=-2mz+22m-48

△AMM'△CJM'22

-2(m-y-)2号

15解:

(1)VC(2,0),BC=6,(-4,0),

在RtZXOCD中，TtanNOCD锲，.•.0D=2tan60(>=2\<3,/.D(0,2而,

oc

设抛物线的解析式为圻a(x+4)(x-2),

把D(0,2“)代入得a・4,(-2)=2依，解得a=-4,

二.抛物线的解析式为尸-当(x+4)(x-2)'

442

(2)在RtZkOCD中，CD=2OC=4,二四边形ABCD为平行四边形，

.'.AB=CD=4>AB//CD,NA=ZBCD=60°,AP=BC=6,

.AL3AEL6.3.AE.AD

.,AE=3BE,..AE-3,-----,

oc2,CD42"OC-CD,

而NDAE=NDCB,.,.AAEDCOACOD,.'.ZADE=ZCDO,

而NADE+N0DE=90°.,.ZCD0+Z0DE=90°,.".CD1DE,

•../D0C=9O°,：.CD为G)P的直径，」.ED是。P的切线；

⑶E点的对应点『不会落在抛物线产ax：+bx+c上.理由如下:

••・△AEDsAOD,.,.器晶即聂V解得DE=3倔

；NCDE=90°,DE>DC,

，△仙E绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E，在射线DC上,

而点C、D在抛物线上，二点E，不能在抛物线上；

(4)存在.

♦.•尸返+2仔-近(x+l):+色/.M(-1,3^),

42444

而B(-4,0),D(0,273),如图2,当平行四边形BDMN的对角线时,

点D向左平移4个单位，再向下平移2、行个单位得到点B,则点M(-l,乎)

向左平移4个单位，再向下平移2冷个单位得到点此(-5,