2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，利用诱导公式化简即可求解.【详解】解：，故选：B.2．已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（

）A．1 B．-1 C． D．-【答案】C【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出．【详解】平面向量，满足，且，，解得.故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题.3．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则角为（

）A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135°【答案】B【分析】利用正弦定理进行转化求解即可．【详解】解：由正弦定理得得得，，，得或，故选：B．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理进行求解是解决本题的关键．比较基础．4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】先将函数的化为正弦型函数，在将函数的解析式表示为，并结合的符号与绝对值确定平移的方向与长度．【详解】由诱导公式可得，因此，只需在将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选C．【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题；①两个函数的名称一定要一致；②左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量上变化了多少．5．已知，则A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案．【详解】因为，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6．已知，，那么M，N，P，Q之间的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由辅助角公式可得，逆用两角和的正弦公式可得，逆用两角差的正切公式可得，利用两角和正切公式的变形可得，从而即可求解.【详解】解：，，，又，即，所以，所以，故选：B.7．若关于x的方程在有两个不等实根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简三角函数为，再由的范围，得到函数的值域，由此得到m的取值范围.【详解】，方程在有两个不等实根，即与的图象有两个交点，因为，所以，所以，要使方程在有两个不等实根，如下图，即则.故选：C.8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若,使得，且的最小值为，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函数平移变换可得，可确定或；在时，可求得的取值，由可构造方程求得的值.【详解】，，，若,使得，则或，不妨设，，则，，解得：，，，，即，又，当时，，解得：.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数知识的综合应用，解题关键是能够通过函数值域确定分别对应的最大值和最小值点，从而利用整体对应的方式构造方程确定的值.二、多选题9．函数(，，是常数，，)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．B．在区间上单调递增C．的图象关于中心对称D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数【答案】ACD【分析】根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦型函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：由图可知，，解得，由五点作图法可得，即，所以，对A：，故选项A正确；对B：因为，所以，而在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，故选项B错误；对C：因为，所以的图象关于中心对称，故选项C正确；对D：将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，又，所以为偶函数，故选项D正确.故选：ACD.10．给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．，； B．，； C．，； D．，【答案】CD【解析】求出、的值域后可得正确的选项.【详解】因为，故A，B错误.因为，故CD正确.故选：CD.【点睛】本题考查二倍角的正弦、辅助角公式，注意利用三角变换公式把三角函数式整合成正弦型函数（或余弦型函数）的形式，从而可利用复合函数的方法来研究它们的性质，本题属于基础题.11．如图，在矩形ABCD中，，E为边AB的中点，若P为折线段DEC上的动点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出数量积，再根据二次函数的性质求出的取值范围，即可得解；【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系：则，，，，当在上时，设，，则，，所以，因为，所以，即．当在上时，设，，则，，所以，因为，所以，即．故选：AD12．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知O为的外心，，的面积S满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据余弦定理和三角形面积公式可得，利用两角差的正弦公式可得，根据为三角形的内角可得.再根据三角形的面积公式可求出三角形面积，知A正确；利用余弦定理求出，再根据正弦定理可求出，知B不正确；根据为三角形的外心可求出和，由此可求出，知C正确；将两边分别同时乘以和，得到两个方程，解方程组可得，知D正确.【详解】由得，得，得，得，得，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；由余弦定理得，所以，所以，所以，故B不正确；因为，所以，，所以，故C正确；又，所以，即，，所以，所以，联立，解得，所以，故D正确.故选：ACD三、填空题13．若，则___________.【答案】【分析】将两边同时平方可得，进而可得，，联立方程可得，从而根据二倍角公式即可求解.【详解】解：因为①，所以两边同时平方得，即，因为，所以，所以，所以②，联立①②可得，所以，故答案为：.14．在函数的图像对称中心中，与原点O最近的为点M，定点，则在上投影的数量是___________.【答案】【分析】由正切函数的性质可得函数的图像对称中心为，进而可得，从而利用向量数量积的几何意义即可求解在上投影的数量为.【详解】解：由题意，令，可得，所以函数的图像对称中心为，所以与原点O最近的为点，所以，，所以在上投影的数量为，故答案为：.15．设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.【答案】4【详解】解法1

有题设及余弦定理得.故.解法2

如图4，过点作，垂足为.则，.由题设得.又，联立解得，.故.解法3

由射影定理得.又，与上式联立解得，.故.16．若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据降幂公式及二倍角余弦公式化简函数解析式为，从而利用正弦型函数的图象与性质即可求解.【详解】解：函数，因为在内有且仅有一个最大值，且，，所以，即，解得，所以的取值范围是，故答案为：.四、解答题17．已知，其中为锐角，若与夹角为90°，(1)求的值(2)求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而求出，再利用诱导公式将式子化简，最后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】(1)解：因为与夹角为，所以，即，即，即，又，，即，所以，又为锐角，所以，所以(2)解：18．在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，___________.(1)求角A﹔(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）如选择①，根据平方关系得到，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得．选择②，由正弦定理将边化角，再利用诱导公式、和差公式即可得出．（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，进而可求的周长．【详解】(1)解：若选择①，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．若选择②，因为，由正弦定理可得，又，所以，则，所以．由于，，所以，，故．(2)因为，，的面积为，所以，由余弦定理，可得，解得，所以的周长．19．函数(1)求函数的单调增区间；(2)若锐角的三个角为A，B，C，其中，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和的正弦公式及降幂公式化简函数解析式为，解不等式即可得答案；（2）由，可得，进而由为锐角三角形，可得，从而利用正弦型函数的图象与性质即可求解的取值范围.【详解】(1)解：函数，由，可得，所以函数的单调增区间为；(2)解：因为，即，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以所以，所以的取值范围为.20．如图，在中，已知(1)求；(2)已知点是上一点，满足点是边上一点，满足，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）根据给定条件，结合向量数量积求出，再求出夹角B作答.（2）假定存在满足条件的实数，利用向量的线性运算、数量积运算求解作答.【详解】(1)在中，，，则，显然有，于是得，，所以.(2)假设存在非零实数，使得，由，得，则，又，则，于是得，而，解得，所以存在非零实数，使得.21．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设．（1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）．【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米.【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值；(2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.【详解】解：(1)∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即,当时，由三角形的面积公式得：，，则，，当，即时取等号，∴当时，取得最大值，当时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理得：，，，令，∵，∴，，，即时，的最大值为6.故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米.22．已知向量，若函数的最小正周期为，且在上单调递增.(1)求的解析式；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角