离散型随机变量的均值同步练习 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值基础过关练题组一离散型随机变量的均值1.(2023河南驻马店高级中学月考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P3a1则EX=()A.32B.2C.522.(2024江西名校联合测评)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定义协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-EX·EY,已知X,Y的分布列如下表所示,其中0<p<1,则Cov(X,Y)的值为()X12Pp1-pY12P1-ppA.0B.1C.2D.43.(2023湖南衡山德华盛星源高级中学期中)一个口袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从口袋中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则EX=()A.2B.3C.103D.4.(2022湖北武汉华中师大一附中期中)对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,若该仪器一次检测中出现问题的概率为0.2,设检测次数为X,则X的数学期望为.

5.(2024四川宜宾南溪一中一诊)小青准备用9万元全部投资A,B两种股票,已知两种股票收益相互独立,且这两种股票的买入都是每股1万元,每股收益的分布列如下表所示,若投资A种股票a万元,则小青两种股票的收益期望和为万元.

股票A的每股收益分布列收益X/万元-103概率0.30.20.5股票B的每股收益分布列收益Y/万元-34概率0.40.66.(2022北京顺义牛栏山第一中学期中)假设两个队进行一系列比赛,一直到其中有一队赢了2局才结束.假设各局比赛胜负是相互独立的,并且A队获胜的概率为p,则当比赛的局数的期望最大时,p=.

7.(2024辽宁省实验中学期中)某职称考试有A,B两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,若某门课程今年通过,则下一年不再参加该科考试,只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今年通过的概率均为12;若两门课程今年均没有通过,则明年每门课程通过的概率均为23;若今年只有一门课程没有通过,则明年这门课程通过的概率为(1)求该考生两年内可获得该职称的概率;(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.题组二离散型随机变量的均值的性质8.(2022黑龙江肇东第四中学期末)设ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,则Eη等于()ξ1234P1111A.76B.176C.1739.(2022北京中国人民大学附属中学统考)已知随机变量X的分布列如表所示,则E(X+a)=()X123P11aA.52B.92C.94题组三离散型随机变量的均值的应用10.(2024云南楚雄州期中)某单位有200名职工,想通过验血的方法筛查某种病毒携带者,假设携带病毒的人占5%,每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案:方案1:对每个人的血样逐一化验,需要化验200次;方案2:随机按10个人为一组分组,然后将各组10个人的血样混合后再化验,如果混合血样呈阴性,说明这10个人的血样全部为阴性;如果混合血样呈阳性,说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性,就需要对这10个人每个人再分别化验一次.(1)某夫妻二人都在这个单位工作,若按照方案1,随机进行逐一筛查,则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少?(2)若每次化验的费用为16元,采用方案2进行化验时,此单位大约需要花费多少元?(参考数据:0.9510≈0.60)11.(2023北京入学定位考试)某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件,元件质量按测试指标划分:指标大于或等于76为正品,小于76为次品.现分别从两条生产线上随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标[60,68)[68,76)[76,84)[84,92)[92,100]元件甲12840337元件乙17840287(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率;(2)生产一件元件甲,若是正品则盈利90元,若是次品则亏损10元;生产一件元件乙,若是正品则盈利100元,若是次品则亏损20元,在(1)的前提下:①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300元的概率;②记X,Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润,试比较EX和EY的大小.(结论不要求证明)

答案与分层梯度式解析§3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值基础过关练1.A由题意得35+a+110=1,故EX=1×35故选A.2.AXY的分布列为XY124Pp(1-p)p2+(1-p)2p(1-p)E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,EX=2-p,EY=p+1,所以Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.故选A.3.C由题意得,X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=1C因此X的分布列为X234P111EX=2×16故选C.4.答案2.44解析由题意知,X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8=0.64,所以EX=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.5.答案10.8解析由题中两种股票每股收益的分布列可知,EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(万元),EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(万元),所以两种股票的收益期望和为aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(万元).6.答案1解析设比赛的局数为X,则X的可能取值为2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2,P(X=3)=C21p所以X的分布列为X23Pp2+(1-p)22p(1-p)所以EX=2p2+2(1-p)2+6p(1-p)=-2p-122+52,7.解析(1)设该考生两年内可获得该职称为事件A,则P(A)=12(2)由题意得,X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=12P(X=3)=12P(X=4)=1-所以X的分布列为X234P111EX=2×148.DEξ=1×16+2×16+3×故选D.9.C依题意可得14+12+a=1,解得a=14,所以EX=1×14+2×110.解析(1)由题意得,他们二人恰好是先筛查的两个人的概率P=C2(2)按方案2,设每组需要化验的次数为X,则X的可能取值为1,11.P(X=1)=(1-0.05)10=0.9510≈0.60,P(X=11)=1-0.60=0.40,所以X的分布列为X111P0.600.40EX=1×0.60+11×0.40=5.总的化验次数为20010故此单位大约需要花费100×16=1600(元).11.解析(1)抽取的100件元件甲中正品的频率为40+33+7100=45,抽取的100件元件乙中正品的频率为40+28+7100=3(2)①设生产的5件元件乙中正品的件数为x,则次品的件数为5-x,由题意知100x-20(5-x)≥300,所以x=4或x=5.设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件C,则P(C)=C5②设生产一件元件甲所获得的利润为ξ元,则ξ的可能取值为90,-10,则P(ξ=90)=45所以ξ的分布列为ξ90-10P41所以Eξ=9