平均变化率与瞬时变化率(课件)高二数学（北师大版2019选择性）

2.1平均变化率与瞬时变化率1.1平均变化率

实例1：物体从某一时刻开始运动，设S表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t).

在运动的过程中测得了一些数据，见表2-1.

物体在0s到2s和10s到13s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？解:通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢.在0s到2s这段时间内，物体的平均速度为

=3(m/s)；在10s到13s这段时间内，物体的平均速度为

=4(m/s).显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.实例2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图.

比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？解:根据图象可以看出：当时间x从0min到20min时，体温y从39℃变为38.5℃,下降了0.5℃；当时间x从20min到30min时，体温y从38.5℃变为38℃,下降了0.5℃.两段时间下降了相同的体温，而后一段时间比前一段短，所以体温从20min到30min这段时间下降得比从0min到20min这段时间快.也可以比较在这两段时间内，体温的平均变化率（单位时间内体温的平均变化量),

于是,当时间x从0min变到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为

（℃/min）；

当时间x从20min变到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为

（℃/min）；

这里出现了负号，它表示体温下降了.显然，绝对值越大，下降得越快.

因此,体温从20min到30min这段时间下降得比0min到20min这段时间要快.

oxy容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.称该比值为曲线在B,C之间这一段的平均变化率.●B●A●C交流与讨论通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x,函数值的变f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即用它来刻画函数值在区间［x1,x2]上变化的快慢.这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)抽象概括：平均变化率

对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间［x1,x2]的

平均变化率1、式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y

的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，△y=0理解3、变式:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考直线AB的斜率AB思考思考：函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率=的几何意义是什么？ΔyΔxf(x2)–f(x1)x2–x1答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率例1

求函数f(x)=x2

+1的平均变化率。解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2例2、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.

思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？

一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

A△x+2x0小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1.2瞬时变化率

上面用平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度.

如何求瞬时速度呢?实例1：一个小球从高空自由下落，其下落的高度h(单位:m)与时间t(单位:S)的函数关系为其中，g为重力加速度(g取9.8m/s2).估算小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.分析

当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度

有时用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.为了提高精度，可以缩短时间间隔，如求出5s到5.1s这段时间内的平均速度

用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况.

如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.【解析】将时间间隔每次缩短为上次的，计算出相应的平均速度,得到表2-2.当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

可以看岀，当时间t1趋于t0=5s时,平均速度趋于49m/s,因此，可以认为小球在t0=5s这个时刻的瞬时速度为49m/s.从上面的分析和计算可以看岀，瞬时速度为49m/s的物理意义是:如果小球保持这一时刻的速度进行运动,每秒将要运动49m.

同学们可以动手计算当t1从“左侧”趋近于t0=5s时的平均速度.实例2：如图2-2,一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m.设x(单位:m)表示OX这段棒的长以,y(单位:kg)表示OX这段棒的质 量，它们满足以下函数关系：

估计该合金棒在x=2m处的线密度(物理学的“线密度”定义为单位长度的质量).【解析】由，可以计算出相应的平均线密度，得到表2-4.可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.707kg/m.与实例1类似，同学们也可以动手计算当乃从“左侧”趋近于x0=2m时的平均线密度,会发现也趋于0.707kg/m.据此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度约为0.707kg/m.从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.707kg/m的物理意义是:如果有1m长的这种线密度的质量均匀的合金棒，其质量将为0.707kg.实例1和实例2都是通过减小自变量的改变量（为计算方便选取，也可以选取等）,用平均变化率“逼近"瞬时变化率.

抽象概括：瞬时变化率

×√√√巩固提升2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(

)A．6.3B．36.3C．3.3D．9.3答案：A

3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(

)A．6B．18C．54D．81答案：B

4．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．8

例3：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

hto1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?例4求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.1、先利用直线斜率的定义求出割线的斜率；2.求出当△x趋近于0时切线的斜率；3、然后利用点斜式求切线方程.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:易错辨析不能正确识图致误例5

A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(

)A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大答案：B解析：由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(

)A．1B．－1C．2D．－2答案：B

当堂检测2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为(