中考数学一轮复习课件圆的基本性质

圆的基本性质

知识点1圆的相关概念与性质1.相关概念圆⁠

⁠圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点称为①

圆⁠，定长称为半径，如图，以点O为圆心的圆记作☉O，线段OA叫做半径圆心弦连接圆上任意两点的线段，如图中的AC，BC⁠

⁠直径经过②

圆心

⁠的弦，直径等于半径的2倍弧圆上任意两点间的部分，如图中的，，；优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图中的；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧圆周角在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB圆心角顶点在③

圆心

⁠的角叫做圆心角，如图中的∠AOB圆心圆心2.性质对称性（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；（2）圆是中心对称图形，④

圆心

⁠是它的对称中心旋转不变性圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合圆心【提分小练】1.下列说法正确的是

③⑥

⁠.（填序号）①弦是直径；②弧是半圆；③直径是圆中最长的弦；④半圆是圆中最长的弧；⑤圆的每一条直径都是它的对称轴；⑥圆有无数条对称轴.③⑥2.如图，点A，B，C均在半径为3的☉O上，连接AB，BC，AC，OB，已知AC过点O.（1）☉O的弦有

3

⁠条，最长的弦是

AC

⁠，其长度为

6

⁠；（2）弦AB所对的圆心角是

∠AOB

⁠，所对的圆周角是

∠ACB

⁠；（3）若BC＝a，则a的取值范围是

0＜a＜6

⁠.3AC6∠AOB∠ACB0＜a＜6知识点2弦、弧、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等3.下列说法中正确的是（

B

）A.等弦所对的弧相等B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.等弦所对的圆心角相等B【提分小练】知识点3圆周角定理及其推论定理（1）内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑤

一半

⁠；（2）常见图形：⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠（3）结论：∠APB＝⑥

​

⁠∠AOB推论（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是⑦

直角

⁠，90°的圆周角所对的弦是直径一半

直角【提分小练】4.如图，AB，CD是☉O的直径，连接AC，BC，AD.若∠ABC＝40°，则∠AOC＝

80°

⁠，∠ADC＝

40°

⁠，∠ACB＝

90°

⁠，∠BAC＝

50°

⁠.第4题图80°40°90°50°知识点4

❋垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径⑧

平分这条弦

⁠，并且平分弦所对的两条弧推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧结论⁠

⁠（1）＝；（2）⑨

⁠＝；（3）AE＝⑩

BE

⁠；（4）AB⊥CD（AB不是直径）；（5）CD是☉O的直径.若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”平分这条弦

BE【夺分宝典】半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理OB2＝OE2＋BE2，常用于在圆中求线段长.【提分小练】5.如图，在☉O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，AC，OB＝10.第5题图

①③④12

知识点5

三角形的外接圆定义外心（三角形外接圆圆心或三角形⑪

三边垂直平分线

⁠的交点）⁠

⁠性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离⑫

相等

⁠角度关系∠BOC＝2∠A三边垂直平分线相等6.如图，△ABC内接于☉O，∠A＝68°，则∠OBC的度数为

22°

⁠.第6题图22°【提分小练】知识点6

圆内接四边形定义所有顶点都在同一个圆上的四边形性质⁠

⁠（1）圆内接四边形的对角⑬

互补

⁠；如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°；（2）圆内接四边形的任一个角的外角等于它的内对角.如图，∠DCE＝∠A互补7.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠A＝40°，则∠BCD＝

140°

⁠，∠DCE＝

40°

⁠.第7题图140°40°【提分小练】

命题点1

垂径定理的相关计算1.如图，☉O的直径CD＝20，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为（

C

）A.8B.12C.16D.2第1题图C考点训练2.已知☉O的直径CD＝10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8，则AC的长为（

C

）A.2B.4C.2或4D.2或4C

3.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为

4

⁠cm.第3题图4命题点2

与圆周角定理有关的计算4.如图，OA，OB是☉O的两条半径，点C在☉O上.若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（

B

）A.30°B.40°C.50°D.60°第4题图B5.如图，半径为3的☉A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧☉A优弧上一点，则tan∠OBC的值为（

D

）A.B.2C.D.第5题图D6.如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC.若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（

B

）A.1B.C.D.第6题图B

第7题图

8.（2023·贵州）如图，已知☉O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长，交AB于点D，交☉O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角：

∠1（答案不唯一）

⁠，图中与△ACD全等的三角形是

△BCD

⁠；（2）求证：△AED∽△CEB；（2）证明：由题意，得∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠2，∴△AED∽△CEB.∠1（答案不唯一）△BCD（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由.（3）解：四边形OAEB为菱形.理由如下：∵∠AOE＝2∠1＝60°，∠BOE＝2∠2＝60°，OA＝OE＝OB，∴△AOE，△BOE是等边三角形，∴OA＝OB＝AE＝BE，∴四边形OAEB为菱形.

1.（2023·安顺模拟）如图，点A，B，C在☉O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（

D

）A.95°B.100°C.105°D.110°第1题图D巩固训练2.（2023·毕节期末）如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数为（

B

）A.20°B.40°C.50°D.80°第2题图B3.（2023·遵义模拟）如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（

A

）A.32°B.42°C.48°D.52°第3题图A4.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数为（

B

）A.80°B.100°C.140°D.160°第4题图B5.（2023·铜仁期末）如图，AB是☉O的弦，C是☉O上一点，OC⊥AB于点D.若∠A＝20°，则∠ABC的度数为（

C

）A.20°B.30°C.35°D.55°第5题图C6.（2023·贵阳模拟）如图，A，B，C是☉O上的三点，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，则∠BOC的度数是（

C

）A.20°B.25°C.40°D.50°第6题图C7.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB相交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（

B

）A.5B.4C.3D.2第7题图B

A.23°B.24°C.25°D.26°第8题图D9.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（

B

）A.20mB.28mC.35mD.40mB10.如图，四边形ABCD内接于☉O.若∠D＝100°，则∠B的度数是

80°

⁠.第10题图80°11.如图，点A，B，C在半径为2的☉O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交☉O于点D，连接OA，则OE的长为

1

⁠.第11题图112.如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC，OC，BC.（1）求证：∠BCO＝∠ACD；

（2）若AE＝4，BE＝16，求弦CD的长.

13.如图，在圆内接四边形AB